2016-1-数模选修课-动态模型

动态模型北京理工大学王宏洲1、动态模型的适用范围 研究对象的特征，会随时间/空间的变化而变化，这种变化可以是连续的，也可以是不连续的——微分/差分方程比如，问题中涉及到：(1)物体的运动、振动、受力形变(2)生物(动植物、微生物)的数量变化或密度变化(3)物质、能量的扩散、传递(4)消费品在市场上的销售过程(5)信息的扩散与传播比如，问题中涉及到：(1)物体的运动、振动、受力形变；(2)生物(动植物、微生物)的数量变化或密度变化；(3)物质、能量的扩散、传递；(4)消费品在市场上的销售过程；(5)信息的扩散与传播。导弹的运动轨迹测算，运动目标的跟踪与拦截；高层建筑、桥梁的防震、防强风设计；桥梁、微型手术器械的形变与控制，弹性杆受力形变自然环境中植物的生长，两种或多种生物之间的相互依赖、促进，食物链问题；动植物、微生物在环境中的扩散与增长；传染病的传播与控制粉尘、烟雾、化学物质在空气、水、土壤中的扩散与沉积，化学反应过程的描述，热量在同种或不同物质间的传导如果研究的是事物在一段时间内的变化情况，或者说在这个过程中发生了什么————微分方程的求解和求数值解如果研究的是事物未来的发展趋势，稳态情形，或者无法/无须获得精确的解————可以利用微分方程几何理论2、微分方程模型的 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 方法3、建立微分方程模型的依据随着时间/空间的变化，问题中的某些指标的变化速度或加速度，与另外一些指标的数值或速度、加速度呈现比例关系，或其他的简单函数关系，则可以据此建立微分方程模型。建立微分方程模型时，需要注意： 守恒定律； 欲得解析解，尽量简化方程； 掌握微分方程几何理论，用于定性讨论； 差分方程模型，可粗略转化为微分方程； 微分方程方法更适合做定性讨论或精度要求不高情形。4、案例－消费品在市场上的销售过程新产品入市之后，如果对销量进行预测？或者说，如何描述新产品占领市场的过程？设需求量有一个上界，并记此上界为K，记t时刻已销售出的产品数量为x(t)，则尚未使用的人数大致为K－x(t)，则基于阻滞增长模型，可以认为：记比例系数为k：研究机构预测某种商品近期的销量时，一般采用线性估计办法给出销量区间。如果希望预测较长时间内的销量，则可以采用上面的形式。在预测商品的销量时，连续性模型一般不便于使用，采用离散形式的阻滞增长模型更方便一些。如果考虑更复杂一些的情形，比如部分早期用户更新对销量的影响，可以采用时滞微分方程。考虑早期用户更新的因素，可以采用时滞微分方程。搜集数据，计算方程中的参数，即可得到销量的递推公式求解时滞微分方程求解需要初始条件！求解需要初始条件！已知过去一段时间的情况，希望了解将来。根据已知的数据，推算过去发生了什么。xt5、微分方程定性分析方法简介不求解，直接分析解的一些性态。xy2x+4y=0 希望知道时间充分长以后会如何，即研究事物最终的发展趋势。6、稳定性模型比如，前面提到的：(1)物体的运动、振动、受力形变——极限是什么？(2)生物(动植物、微生物)的量变或密度变化——稳定状态？(3)物质、能量的扩散、传递——均衡状态是怎样的？(4)消费品在市场上的销售过程——市场容量是多少？(5)信息的扩散与传播——最大影响范围是什么？(1)运动状态稳定下来之后会是什么情形？长期受力的结果是什么？(2)对生态系统放任自流，或者加以干涉，最终会导致什么后果？比如，前面提到的：(1)物体的运动、振动、受力形变(2)生物(动植物、微生物)的数量变化或密度变化(3)物质、能量的扩散、传递(4)消费品在市场上的销售过程(5)信息的扩散与传播(3)如果不断有物质或能量的补充，那么最终物质和能量的分布情况如何？(4)商品不断销售，用户也会报废旧品，最终稳定下来的市场销量会是多少？(5)如果对信息的扩散与传播加以干涉，那么信息最后的分布情况如何？考虑各种因素的微分方程建模北京理工大学王宏洲1、指数增长模型x(t)~时刻t的种群数量基本假设:种群(相对)增长率r是常数随着时间增加，种群按指数规律无限增长2、阻滞增长模型(Logistic模型)资源、环境等因素对种群增长有阻滞作用假设r~固有增长率(x很小时)xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）且阻滞作用随人口数量增加而变大x(t)~S形曲线,x增加先快后慢阻滞增长模型(Logistic模型)3、考虑外界突发干扰突发的外界干扰，诸如战争、自然灾害、传染病等，对种群规模影响很大。虽有偶然性，但可以近似的看作有一定规律的脉冲性影响。比如每隔若干年，江河泛滥、地震、干旱等。脉冲微分方程3、考虑外界突发干扰再比如人类监测发现田鼠、蝗虫多到一定数量时，会采取大规模杀灭行动。4、考虑阶段性影响不同年龄对人口增长的作用不同：0-17；18-40；41以上将年龄分层考虑：传染病问题中，人的状态变化：健康人病人（潜伏期）病人（已发现）移出者（免疫）5、考虑时滞影响计算机通常五年报废购买新机考虑到不到5年，也有损坏的设备；满5年的设备，也有继续使用的6、长期演进：稳定性态时间充分长会如何？事物最终的发展趋势。比如，商品的价格与其价值的变化关系；食肉动物与草食性动物数量的变化规律；侵入人体的病菌与白血球的数量变化关系；投入一粒石子的池塘水面振幅变化规律。是已知的常数时，可以分析其几何性态；当变化时，方程或方程组的几何性态会发生怎样的变化？tx事物发展的稳定与不稳定时间这些现象在现实中都有实用背景和研究价值事物的某些特征差分方程建模北京理工大学王宏洲多数大型哺乳动物有繁殖周期经济运行也具有一定的阶段性：农产品、股市植物有固定的繁殖周期每年多次繁殖的啮齿类动物，也有一定的繁殖间隔差分方程模型的实际背景1、指数增长模型实验室培养果蝇，不考虑自然灾害、疾病、资源突然短缺等因素的影响。另外假设： 第n个繁殖周期，果蝇的总量为x(n)； 每个繁殖周期，果蝇以一定的比例r产生下一代； 每个繁殖周期，果蝇有一定的比例d死亡； 不考虑果蝇的年龄结构、性别结构等。相邻两个繁殖周期果蝇数量变化x(n+1)-x(n)=rx(n)–dx(n)求解，得到：x(n)=x(0)(1+r–d)n按照此模型来预测，果蝇的总量将快速增加，甚至趋于无穷！种群个体数量增多之后，增速实际上会逐渐放缓，需要对指数增长模型做改进。假设 果蝇的繁殖率r会随着总数x(n)增加而减少； 果蝇的死亡率d会随着总数x(n)增加而增加；2、果蝇资源受限模型将r设为最简单的减函数r(x)=a–bx，将d设为最简单的增函数d(x)=p+qx，其中a、b、p、q均为非负常数。 受生存资源限制，果蝇总数不会无限制增长； 同样不考虑果蝇的年龄结构、性别结构等。x(n+1)=(1+r–d)*x(n)x(n+1)=[A–Bx(n)]*x(n)其中A=1+a–p，B=b+q当果蝇数量较少而资源充足时，即x(n)很小时，果蝇数量必然是增加的，即x(n+1)>x(n)，此时A–Bx(n)>1；x(n+1)=[A–Bx(n)]*x(n)但是当果蝇数量x(n)太大时，比如x(n)>(A–1)/B，此时A–Bx(n)<1，于是果蝇数量将出现回落。(A–1)/B根据参数选取的不同，通解的性态会有很大差异3、考虑年龄因素假设果蝇的生存环境始终保持稳定，而且 第n个繁殖周期，果蝇的总量为x(n)； 果蝇需要k个繁殖周期才能进入成年期； 每个繁殖周期，果蝇以一定的比例r产生下一代； 每个繁殖周期，果蝇有一定的比例d死亡； 不考虑果蝇的性别结构等。从第n期到第n+1期新增个体数量，应由第n-k个周期时的种群总量决定.x(n+1)-x(n)=r(1-d)kx(n-k)-dx(n).假设果蝇的生存环境始终保持稳定，而且 第n个繁殖周期，果蝇的总量为x(n)； 果蝇中雌性的比例为s； 每个繁殖周期，雌性果蝇以一定的比例r产生下一代； 每个繁殖周期，果蝇有一定的比例d死亡.4、考虑性别因素从第n期到第n+1期新增个体数量，应由第n个周期时的雌性果蝇的数量决定。x(n+1)-x(n)=s*r*x(n)-dx(n).假设果蝇的生存环境始终保持稳定，而且 第n个繁殖周期，果蝇的总量为x(n)； 果蝇中雌性的比例为s； 果蝇需要k个繁殖周期才能进入成年期； 每个繁殖周期，雌性果蝇以一定的比例r产生下一代； 每个繁殖周期，果蝇有一定的比例d死亡； 不考虑果蝇的性别结构等。5、结合考虑成熟周期与性别因素性别结构：x(n+1)-x(n)=s*r*x(n)-dx(n).成熟周期：x(n+1)-x(n)=r(1-d)kx(n-k)-dx(n).x(n+1)-x(n)=s*r*(1-d)kx(n-k)-dx(n).6、考虑突发因素以田鼠为例，假设 第n年，鼠总量为x(n)； 每年鼠以一定的比例r产生下一代； 每年鼠有一定的比例d死亡； 城市每5年举行灭鼠运动杀灭90%，草场鼠数量超过2万只时人为灭杀90%； 不考虑鼠的年龄结构、性别结构等。x(n+1)-x(n)=rx(n)–dx(n)–T(n)·0.9·x(n)如果采取监控，发现数量达到一定程度就采取杀灭措施，可以建立如下差分方程模型：x(n+1)-x(n)=rx(n)–dx(n)–S(x(n))·0.9·x(n)7、考虑年龄结构的种群生物不同年龄层次的死亡率各有不同，而且产生下一代的作用也不同。以一种五年生河虾为例，成年虾直接孵化出幼虾，幼虾一年后即成年可以产卵，五龄虾产卵之后会迅速死亡。假设： 第n年幼虾、一龄、二龄、三龄、四龄、五龄虾的数量分别为A(n)，B(n)，C(n)，D(n)，E(n)，F(n)； 各年龄层存活到下一年龄层的比例分别为R1，R2，R3，R4，R5； 每个一龄到五龄虾产生幼虾的个数为S1，S2，S3，S4，S5； 不考虑果蝇的性别结构等。假设： 第n年幼虾、一龄、二龄、三龄、四龄、五龄虾的数量分别为A(n)，B(n)，C(n)，D(n)，E(n)，F(n)； 各年龄层存活到下一年龄层的比例分别为R1，R2，R3，R4，R5； 每个一龄到五龄虾产生幼虾的个数为S1，S2，S3，S4，S5； 不考虑果蝇的性别结构等。XT(n)=MXT(n-1)多维的状态转移方程，又称为Leslie模型8、蛛网模型商品的产量与价格之间存在很明显的互动变化关系：以大蒜为例，主产地一年产出一季。假设 第n年，大蒜产量为x(n)； 第n年，大蒜价格为y(n)； 当年产量多少，决定了当年价格高低； 当年价格高低，决定了次年农民种植的积极性(即产量)y(n)=f(x(n))x(n+1)=g(y(n))模型中的函数f称为需求函数，由于产量越高则价格越低，产量偏低时价格会上升，所以需求函数f应为单调递减函数；函数g称为供给函数，如果当年价格偏高，会激励农民种植的积极性，所以次年产量会提升，供给函数g应为单调递增函数。f(x)=a–bx，g(y)=-c+dy以大蒜为例，主产地一年产出一季。假设 第n年，大蒜产量为x(n)； 第n年，大蒜价格为y(n)；y(n)=f(x(n))x(n+1)=g(y(n))