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首页 《合情推理与演绎推理》教学初探

《合情推理与演绎推理》教学初探.pdf

《合情推理与演绎推理》教学初探

蚁族丨奋斗
2017-12-21 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《《合情推理与演绎推理》教学初探pdf》,可适用于领域

中学数学研究年第期《合情推理与演绎推理》教学初探广州市教育局教研室(moo)谭国华合情推理与演绎推理是目前课改新增加的高中数学课程内容本文仅对这部分内容从教学要求上应如何把握提供一些初步的建议对与之相关的内容提供一些补充材料希望能对参与高中课程实验的数学教师有所帮助.一、内容概述在高中数学课程标准中本部分内容主要包括合情推理的含义、归纳推理、类比推理和演绎推理.合情推理和演绎推理是本部分的两个主要概念高中数学课程标准对它们是这样界定的:()合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.归纳、类比是合情推理常用的思维方法.在解决问题的过程中合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用有利于创新意识的培养.()演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程培养和提高学生的演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课程的重要目标.合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成.本部分的主要教学目标大致包括四个方面:()了解推理的含义、结构和基本类型.()结合已学过的数学实例和生活中的实例了解合情推理的含义能利用归纳和类比等进行简单的推理体会并认识合情推理在数学发现中的作用.()结合已学过的数学实例和生活中的实例体会演绎推理的重要性掌握演绎推理的基本模式并能运用它们进行一些简单推理.()通过实例了解两者的联系和差异.本部分的教学重点是归纳推理、类比推理和演绎推理教学难点是类比推理和演绎推理的基本模式.二、主要建议.关于推理的教学建议()在讲合情推理之前可以结合实例使学生了解推理的基本含义和基本结构.推理是根据一个或几个已知的判断得出一个新的判断的思维过程.推理由前提、结论和推理形式构成.前提是已知的判断是整个推理的出发点通常叫做推理的根据或理由.结论是推理所引出的新判断是推理的目的和结果.推理形式提供关于前提和结论之间的逻辑规则.例如:矩形的对角线相等正方形是矩形.middot.正方形的对角线相等这就是一个推理.这个推理由ldquo矩形的对角线相等rdquo和ldquo正方形是矩形rdquo这两个已知的判断得出ldquo正方形的对角线相等rdquo这个新的判断.其中两个已知的判断构成这个推理的前提新的判断是这个推理的结论.推理的形式是三段论这在后面的教学内容中将会学到.()使学生了解考察一个推理应包括两个方面:①前提是否真实这是由实践和各门具体科学解决的问题②推理形式是否正确即推理的形式结构是否符合思维的规律和规则.正确的推理首先要求前提必须真实其次必须遵守推理规则合乎逻辑这样才能反映客观事物间的逻辑关系.()要使学生了解学习推理的目的.人类的思维是通过概念、判断和推理等形式抽象地反映客观世界.概念是反映事物的特有属性的思维形式判断是对事物状况有所肯定或否定的思维形式而推理则是根据维普资讯http:wwwcqvipcomOO年第期中学数学研究一个或几个已知的判断得出一个新判断的思维过程.推理在人们认识客观世界的过程中有着巨大的作用.人类知识中的大部分都是通过推理获得的ldquo间接的知识rdquo.没有推理人们的知识和思想就不会比经验或事实走得更远..关于合情推理的教学建议(I)要注意结合实际例子使学生了解合情推理的含义了解合情推理和演绎推理一样是我们过去的数学学习和生活实际中经常使用的一种思维形式.例!【Ⅱ我f见到=l=l:从而得到结论:两个数相加交换加数的位置它们的和不变(加法交换律).这一过程使用的就是合情推理.又如生活中常说的ldquo它可能是⋯rdquo(猜测)ldquo可以想象⋯rdquo(联想)ldquo将心比心rdquo(类比)ldquo由上述可得⋯rdquo(归纳)等等都包含合情推理的思想.可以这样说合情推理就是ldquo合乎情理rdquo的推理.()要使学生了解归纳和类比是合情推理两种最常用的推理形式并通过以往学过的一些简单的数学例子掌握归纳推理和类比推理的基本方法.应该说对于归纳推理学生并不陌生.在数列的教学中我们就经常使用这种方式求数列的通项公式.但在以往的数学教学内容中类比推理就不如归纳推理那样明确而且在教学中是否介绍类比推理往往与教师的经验有关.例如在立体几何的教学中有经验的教师经常会类比平面几何的有关知识引出立体几何中的概念和定理而有的教师就不一定会这样做.因此教学中应给予类比推理更多的关注.掌握归纳推理和类比推理的关键:一是要明确两种推理的基本要求二是要熟悉两种推理的基本步骤.归纳推理的基本要求是由个别事实概括出一般性结论其推理过程大致可分为两步:一是通过观察或实验由一些个别事实中寻找共同特征二是将前一步所找到的共同特征概括为一般性结论.类比推理的基本要求是从具有某种相似性的两类事物中推测出它们所具有的其它相似的性质其推理过程大致也可分为两步:一是为所要研究的对象寻找一个具有某种相似性的另一类事物二是从另一类事物所具有的一些性质去推测研究对象所具有的性质.()历史上或现实生活中有许多有关归纳推理或类比推理的故事在教学中适当介绍一些这方面的故事可以提高学生学习推理的兴趣.例如光波概念的提出者荷兰物理学家、数学家惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较发现它们具有一系列相同的性质如直线传播、有反射和干扰等.又已知声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态惠更斯由此推理光也可能有呈波动状态的属性从而提出了光波这一科学概念.这种推理就是类比推理.又如《内经middot针刺篇》说:一个患头痛的樵夫上山砍柴不慎碰破足趾出了点血但头却不疼了.当时没引起注意.后来头疼复发又偶然碰破原处头疼又好了.这次引起了注意.以后头疼时他就有意刺破该处都有效应(这个地方即现在所称的ldquo大敦穴rdquo).樵夫根据两次特殊经验作出了有关碰破足趾能治好头痛的一般性结论.这种推理也属于归纳推理.()数学史上有许多著名的猜想为了将这些猜想变为定理历代数学家通过自己的工作极大地革新并丰富了数学的内容与方法.适当介绍一些这样的猜想可以帮助学生更好地体会合情推理的作用.例如哥德巴赫猜想费马大定理等..关于演绎推理的教学建议演绎推理是大家最为熟悉的一种推理其主要形式是三段论.三段论有四格、式以及l种有效式.作为一种基本的教学要求在教学中一般只需要介绍其中最为常用的一种格式用公式表示这种格式即:是PS是肘.。.S是P三段论推理的根据用集合论的观点来讲就是:若集合肘的所有元素都具有性质PS是肘的子集所以S中所有元素都具有性质P.维普资讯http:wwwcqvipcom中学数学研究OO年第期三段论的公式中包含三个判断.第一个判断称为大前提它提供了一个一般的原理第二个判断叫小前提它指出了一个特殊情况这两个判断联合起来揭示了一般原理和特殊情况的内在联系从而产生了第三个判断mdashmdash结论.演绎推理是一种必然性推理.演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系因而只要前提是真实的推理的形式是正确的那么结论必定是真实的.但错误的前提可能导致错误的结论..关于教学设计的建议在解决问题的过程中合情推理的结论往往超越了前提所包容的范围具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用.因此在本节的教学设计中一方面要安排一些简单的归纳推理和类比推理的练习题帮助学生熟悉这两种推理形式另一方面应安排适当的探究性活动使学生体会如何运用归纳或类比的方法猜测问题的结论、引出解题的思路或者要求学生自己运用归纳推理和类比推理提出问题作出猜想并运用演绎推理或举反例的方式对作出的猜想加以证实或证伪.开始时探究的难度不要太大在全部讲完合情推理与演绎推理、直接证明与间接证明和数学归纳法后再安排这种活动时探究的难度就可以适当提高.三、相关补充由于本章是高中数学的新增内容教学要求应如何把握值得我们去尝试.对于数学基础较好的学生笔者认为可以适当补充一些教学内容..关于归纳推理的补充内容归纳推理又称归纳法是由个别事实中概括出一般结论的一种推理形式.这种推理的前提是若干已知的个别事实是个别或特殊的判断、陈述结论是从前提中通过推理而获得的猜想是普遍性的判断、陈述.归纳法的一般形式可表示为:设Ml⋯是研究对象M的特例若Ml⋯具有性质P则由此猜想M也可能具有性质P.归纳法一般分为完全归纳法和不完全归纳法.如果U:M这时的归纳法称为完全归纳法.i=I由于它穷尽了研究对象的一切情形因而结论是正确的.完全归纳法是一种必然性的推理可以作为论证的方法.但应用完全归纳进行推理时要注意对考察事物的各种特殊情形都要进行讨论既不重复又不遗漏即前提判断范围的总和不能小于结论判断的范围.例如:①证明三角形三条中线交于一点可以分别证明锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三条中线交于一点从而推出任意三角形三条中线交于一点的结论.②在证明同弧所对的圆心角是圆周角的二倍时可以分圆心在圆周角内、在圆周角外、在圆周角边上三种情况分别加以证明.③余弦定理可在考察了锐角三角形、钝角三角形、直角三角形之后得到.如果U尬是M的真子集这时的归纳法称为不完i=I全归纳法.例如:①由三角形的内角和是(mdash)timesl四边形的内角和是(mdash)timesl五边形的内角和是(mdash)times~得出结论:n边形的内角和是(n一)timeslp.②设n)=nn.由)=)=.厂()=均是质数得出结论:当n为任意正整数时厂(n)是质数.由于不完全归纳法没有穷尽全部研究对象得出的结论只能算猜想结论的正确与否有待进一步确认.如前两例第一个是正确的第二个可举反例说明其为假如)=ol=l不是质数.虽然不完全归纳法不能作为数学上的严格推理方法使用但它却能帮助我们比较迅速地发现事物的规律由它所得的结论往往是真理的先导.如四色问题、费马问题等著名问题都源于不完全归纳法..关于类比推理的补充内容类比推理是从特殊到特殊的推理是根据两个或两类事物在某些属性上的相同或相似从而推测它们在其他属性上也相同或相似的一种推理形式.类比推理的一般形式可表示为:维普资讯http:wwwcqvipcomO年第期中学数学研究对象A具有属性ala⋯akd对象具有属性ala⋯a由此推测对象具有属性d.其中属性al和ala和a⋯a和ad和d分别相同或相似.类比推理具有以下特点:①类比是从已掌握了的事物属性推测研究中的事物属性它以已有认识作基础类比出新结果.②类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.③类比的结果是猜测性的不一定可靠但它却具有发现的功能.并非任何两类事物都可作类比.类比的前提是两类事物之间在某些方面存在着某种类型的相似性或一致性而且这种相似性或一致性是可以清楚定义的.要提高类比推理结论的可靠性必须注意以下几点:①类比对象相同属性愈多则结论可靠程度愈高.②类比对象相同本质属性愈多则结论可靠程度愈高.③类比对象共有属性与推出属性之间的联系愈紧密则结论可靠程度愈高.类比推理要注意避免ldquo机械类比rdquo的错误.所谓ldquo机械类比rdquo就是指仅仅依据表面相似或偶然相似的情况进行类比从而导致荒谬的结论.例如有基督教神学家在说明ldquo地球是太阳系的中心rdquo时作了这样的推理:太阳是被上帝创造出来照亮地球的就像人们总是移动火把去照亮房子而不是移动房子去被火把照亮一样.因此只能是太阳绕着地球旋转而不是地球绕着太阳运行.以太阳照亮地球与移动火把照亮房子的表面相似进行类比得出ldquo太阳绕地球旋转rdquo的结论是不能成立的.因为地球和太阳都在不停地转动(地球除了自转还有公转)而房子相对于移动的火把却是不动的.所以不能把这两种根本不同的情况拿来类比..关于合情推理与演绎推理关系的补充边容数学中的推理包括合情推理与演绎推理.以往的数学课程中比较重视演绎推理忽视合情推理以至于使人们误以为学习数学就是学习演绎推理就是学习逻辑证明.新一轮基础教育数学课程改革中要求给予合情推理以应有的关注.那么我们应该怎样认识合情推理合情推理与演绎推理又有着怎样的联系与区别下面简要介绍美国著名数学家和教育家.波利亚在其《数学与猜想》(李志尧、王日爽、李心灿译科学出版社出版)一书中提出的一些观点供大家参考.首先是怎样认识合情推理的问题.波利亚认为数学被人们看作是一门论证科学.然而这仅仅是它的一个方面.以最后确定的形式出现的定型的数学好像是仅合证明的纯论证性的材料然而数学的创造过程是与任何其它知识的创造过程一样的.在证明一个数学定理之前你先得猜测这个定理的内容在你完全作出详细证明之前你先得推测证明的思路.你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比你得一次又一次地尝试.数学家的创造性工作成果是论证推理即证明.但是这个证明是通过合情推理通过猜想而发现的.只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话那么就应当让猜测、合情推理占有适当的位置.其次是关于论证推理(演绎推理)与合情推理的联系与区别.波利亚认为这两种推理之间的差异相当大而且是多方面的.无疑论证推理是可靠的、无可置辩的和终决的.合情推理是冒风险的、有争议的和暂时的.论证推理在科学中的渗透深度恰好和数学在科学中的渗透深度一样但是论证推理本身(如数学本身那样)并不能产生关于我们周围世界本质上的新知识.我们所学到的关于世界的任何新东西都包含着合情推理它是我们日常事务中所关心的仅有的一种推理.论证推理有被逻辑(形式逻辑或论证逻辑)所制定和阐明的严格标准而逻辑则是论证推理的一种理论.合情推理的标准是不固定的并且这种推理在清晰程度上不能与论证逻辑相比或能博得相似的公认.但这两种推理并不矛盾相反地它们是互相补充的.在严格的推理中首要的事情是区别证明与推测区别正确的论证与不正确的尝试.而在合情推理中首要的事情是区别一种推测与另一种推测区别理由较维普资讯http:wwwcqvipcom中学数学研究OO年第期多的推测与理由较少的推测.如果注意到这两种区别你就会对两者有更清楚的认识.参考文献:中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验).北京:人民教育出版社.严士健张奠宙王尚志.普通高中数学课程标准(实验)解读.南京:江苏教育出版社OO.编者按:谭国华先生(一)江西九江人.年毕业于江西师范大学.广州市教育局教研室中学数学科科长硕士高级讲师中国数学奥林匹克高级教练.兼任广东省数学会理事华南师范大学教育硕士导师广东教育学会中学数学教学专业委员会常务理事广东省基础教育学科教学指导委员会专家组成员广州市中学教师继续教育课程设置与评审委员会成员广州市中小学教材教辅选用指导委员会成员广州市中学数学教学研究会副会长.谭国华先生从事数学教学和研究二十多年主要研究方向为数学教育包括数学课程、数学教学和数学学习等.熟悉我国中学数学教育发展状况和国内外数学教育研究动态对中学数学教学大纲、课程标准和教材有深刻的研究能准确把握中学数学教学内容和要求.熟稔我国数学高考与中考的内容、要求和命题的特点主持广州市数学高考复习指导和模拟考试命题与评卷多年获高度好评.通过对众多优秀中学数学教师教学经验的总结和提升形成一系列有效的数学课堂教学策略有力的推动了广州市中学数学教育的发展.在学术会议、学术杂志宣读、发表论文二十多篇主要有:《初等函数的凹凸性质及其应用》、《中学数学思想方法阶段性教学的尝试》、《关于在普通高中开设(数学模型)选修课的研究》(华南师范大学学报).主编《数学模型》(教材广东教育出版社)《数学高考备考指南》(华南理工大学出版社OmdashX}再版六次)《决胜六月mdashmdash高考热点、难点破译middot数学》(广西师范大学出版社)《中学数学课型与教学模式》(新世纪出版社)《普通高中课程标准实验教科书导学丛书middot数学同步导学》(教育科学出版社)副主编《高中新课程必修课教与学mdashmdash数学》、《高中新课程选修课教与学mdashmdash数学》(北京大学出版社).多次主讲省、市级数学教师教育课程为华南师大教育硕士研究生作专题讲座具代表性的有《数学高考考点分析与命题趋势研究》《数学新课程高考复习研究》等.预告:本刊特邀谭国华先生撰写系列讲座《谭老师谈高考》将从今年第期到明年第期分十期连载敬请有关人士关注欢迎高考一线师生向编辑部订购各期杂志.数学疑难之:动圆旋转了几圈山东师范大学数学科学学院()王剑山东省济南中学胡锡娥如图ol(r)和o()外切于点A.固定o让ol紧贴o作不滑动的旋转滚动当ol回到原来的位置【注】时ol旋转了几图圈改ldquo外切rdquo为ldquo内切rdquo呢(注:ldquool回到原来的位置rdquo是指o。作为整体与出发时的位置重合并非指o的每一个点都回到出发时的位置.)我们猜想答案是鲁l(外切)或I鲁一lI(内切).维普资讯http:wwwcqvipcom免费论文查重:http:freepaperyycom亿免费文献下载:http:wwwixueshucom超值论文自动降重:http:wwwpaperyycomreducerepetitionPPT免费模版下载:http:pptixueshucom阅读此文的还阅读了:合情推理与演绎推理的对比学习谈应用ldquo直观、推理、类比、想像rdquo的思维方式中等艺术学校语文教学初探合情推理(教学设计)培养合情推理能力渗透演绎推理思想工作记忆和推理加强初中英语阅读教学策略初探公文写作课教学初探高中政治情感教学初探剖析合情推理与演绎推理的常见误区牛顿第二定律中a与Fm成正比的推理小学数学教学中要处理好合情推理和演绎推理的关系合情推理与数学教学数学概念教学与能力培养浅谈合情推理的教学合情推理,我们合情了吗合情推理与演绎推理例析聚焦演绎推理比翼齐飞:合情推理与演绎推理培养学生论证、推理和修正原有概念的能力:以《地球的运动》单元的教学为例《合情推理与演绎推理》教学设计与反思演绎推理的汉语形式初探在尝试探索中学会推理mdashmdashldquo塔塔利亚的小白鼠rdquo的教学关于合情演绎推理的一个教学案例让学生的合情推理和演绎推理能力同步发展mdashmdash苏科版八年级上册ldquo探索三角形全等的条件()rdquo教学设计与点评初中思想品德课教学印象整适初探例谈解题中的合情推理与演绎推理ldquo理rdquo是生理学的灵魂mdash谈教学中我的一点体会中学武术课教学初探新课改下中等职业学校体育课引入心理学游戏教学初探当前学校毽球运动教学初探高中生物实验教学中学生实验能力培养初探合情分析演绎推理自然解题"合情推理与演绎推理"自测题B卷合情推理与演绎推理单元检测试题合情推理教学回眸演绎推理中可能性推理初探平面几何入门教学浅议初中英语教学改革初探ldquo合情推理与演绎推理rdquo自测题B卷ldquo合情推理与演绎推理rdquo自测题A卷演绎推理与生物教学分析推理解简答题类比之于ldquo高代rdquo教学合情推理ldquo索果rdquo演绎推理ldquo探因rdquomdashmdash对一道中考试题的探究与思考闭合电路欧姆定律教学初探合情推理及其教学开展《园林植物栽培养护》生产式教学初探ldquo智慧课堂rdquo培养学生的推理能力中专学校应用文教学初探

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