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首页 复合材料力学Lecture-3

复合材料力学Lecture-3.ppt

复合材料力学Lecture-3

swp3762153
2019-04-01 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《复合材料力学Lecture-3ppt》,可适用于综合领域

应力-应变关系右手螺旋法则下的直角坐标系通常用(x,y,z)和(x,x,x)表示:符号记法如果他们表示同一个坐标系通常总是有x=x,y=x,z=x。一点的应力是一个张量(矩阵)其分量用ij表示:i代表该应力作用平面的外法线沿xi方向j代表该应力指向xj方向。{i}T={,,,,,}={,,,,,}()一点的应力张量(矩阵)总是对称的即ji=ij这样就只有个应力分量是独立的可以缩减成一个应力矢量{i}:再令u、u、u代表一点分别沿x、x、x方向的位移分量那么{i}T={,,,,,}={,,,,,}()联系应力与应变之间关系的Hooke定律:{i}=Sij{j}或{i}=Kij{j}()Sij=柔度矩阵,Kij=刚度矩阵(Kij=Sij)就代表该点的小应变张量分量。显而易见它也是对称的。因此可以将应变张量也写成缩减式的应变矢量{i}:尤其需要注意的是为了方便定义弹性矩阵应变矢量的后三个分量都有系数还要注意应变矢量分量的下标位置与应力矢量的位置对应。对任何材料刚度矩阵Kij和柔度矩阵Sij总是对称、正定的。将应力与应变之间的关系称为本构关系而将描述应力与应变之间关系的方程称为本构方程类似()式。Hooke定律给出的是线弹性本构方程即Kij和Sij均保持常量不随应力或应变不同而改变。各向同性材料本课程中更多采用柔度矩阵Sij。若需要刚度矩阵只需对柔度矩阵求逆。各向同性材料的柔度矩阵是:其中Sij和Sij分别是与正应力和剪应力相关的分块柔度矩阵:G=E()()三个工程弹性常数之间满足如下关系:横观各向同性材料这种材料有一根旋转对称轴在与该轴垂直的平面内力学性能沿任意方向都相同。单向复合材料(又称为单向板)就是横观各向同性的。这种材料有个独立的弹性常数属于各向异性材料但是一种最弱的各向异性材料。对横观各向同性材料其材料主轴坐标系是指x与旋转对称轴一致x和x则在与旋转轴垂直的平面内。于是沿x方向的弹性常数与沿x方向的弹性常数相等。在材料主轴坐标系内横观各向同性材料的柔度矩阵的分块式与()式相同但子块分别是:E、E=沿x、x(或x)方向的弹性模量,、=两个不同平面内的泊松比, G、G=xx(或xx)与xx平面内的剪切模量。G=E()()其中各向同性平面内的三个弹性常数之间满足如下关系:正交各向异性材料正交各向异性材料的分块柔度矩阵与()相同但两个分块子矩阵分别是:E,E,E=沿x,x,x方向的弹性模量ij=(jjii),这里ii和jj分别是指沿xi方向施加单向载荷引起的沿xi和xj方向的应变Gij=xixj平内的剪切模量。正交各向异性材料有个独立的弹性常数是具有()式柔度矩阵形式的最一般的各向异性材料。()式表明:正应力与剪应力之间的响应互不耦合。任何具有多于个独立弹性常数的各向异性材料都会产生耦合响应即正应力产生剪应变、剪应力产生正应变。ijEii=jiEjj,i,j=,,()注意不同方向的泊松比与弹性模量之间满足以下关系:刚度矩阵可以由对柔度矩阵各子阵求逆得到:对正交各向异性材料直接求逆可得:=例:求各向同性材料的刚度矩阵解:刚度矩阵由柔度矩阵求逆得到:其中平面应力状态弹性矩阵如果一点处与第三个方向有关的应力皆为即===就说该点处于平面应力状态。由于复合材料通常为薄壁结构一般都按平面应力状态处理因此平面状态下的应力-应变关系就特别重要。如果用柔度矩阵联系平面应变-应力关系那么平面柔度矩阵Sij就是三维柔度矩阵Sij的缩减式即:这里Sij是三维柔度矩阵中的对应元素。例如对各向同性材料有:然而如果用刚度矩阵联系平面应力-应变关系那么平面刚度矩阵Cij就与三维刚度矩阵Kij的缩减式Kij不同即:事实上通过求逆有:例:求各向同性材料的平面刚度矩阵解:另一方面从例可知从而有:坐标变换由于复合材料本征上是各相异性体其分析往往需要借助不同的坐标系因此必须考虑它们之间的坐标变换。如前所述材料主轴(或局部)坐标系(x,x,x)总是这样选取使得x总是沿单向复合材料的轴线方向。为确定从局部坐标系(x,x,x)到总体坐标系(x,y,z)变换关系定义方向余弦:li=cos(xi,x),mi=cos(xi,y),ni=cos(xi,z),i=,,()因此坐标系之间的变换为:根据张量变换法则:klG=eikejlij,直接相乘后得到:类似再由应变张量变换法则klG=eikejlij导得:由于推得:例:写出平面变换矩阵Tijc和Tijsl=cos(),m=sin(),l=sin(),m=cos()解:两坐标系之间的方向余弦矩阵为:G=eiejij=eeeeeeee=(m)(m)mmG=eiejij=eeeeeeee=lmlm(lmlm)于是有:再由klG=eikejlij导出:G=eiejij=eeeeeeee=(l)(l)ll()G=eiejij=eeeeeeee=(m)(m)mm()G=lmlm(lmlm)()G=eiejij=eeeeeeee=lmlm(lmlm)类似有:注意利用公式()和()平面柔度矩阵和平面刚度矩阵的变换公式与三维公式相同即:解:根据()和()我们有:l=cos(),m=sin(),l=sin(),m=cos()PrandtlReuss弹塑性理论由各向同性材料的Hooke定律:、三维公式推出:其中rsquo=E()塑性应变增量与应力全量而不是与应力增量成比例即:各向同性材料屈服后的典型特征是:()在塑性范围内表现为不可压缩(体积不变):塑性不可压在()式中=表示一点的应力偏量。代入()式、整理并注意到=得:这便是LevyMises塑性流动理论。更一般的PrandtlReuss塑性流动法则为:其中定义八面体塑性剪应变增量:其中由两边乘以各自本身(重复下标求和)得:八面体剪应力:将()代入()给出:从轴向拉伸应力-应变曲线ET=dd,E=dd(e)及d=d(e)d(p),推出:得到:对()微分有:将()代入上式得到:利用外加力的静水压力分量所做塑性功为的条件(否则塑性体积应变将不为与不可压缩性条件相悖)也就是:将()代入()就有:方程()变为:再根据条件:写成矩阵形式就得到增量型的弹塑性本构方程:{di}=Sij{dj},()注:塑性分量仅在加载出现卸装时只有弹性分量注:由于在()和()中用到了材料单向试验曲线参数当材料受复杂应力作用时按如下原则处理:根据材料的三个主应力之和是否大于零确定其受等效拉伸还是等效压缩作用进而采用拉伸或压缩试验曲线定义材料性能参数:、二维公式实际应用中一般只涉及平面应力、、。各向同性材料的平面弹塑性本构方程为:、、分别是第一、第二和第三主应力注:应力应变曲线通常用折线段表示(Y)=MPa,(Y)=MPa,(Y)=MPa,(Y)=MPa,(ET)=GPa,(ET)=GPa,(ET)=GPa,(ET)=GPa解:例:假定材料拉、压性能相同单向试验曲线材料参数由下表给出并且=。已知应力状态为:{,,}={,,}(MPa)求此瞬时的柔度矩阵Sij()求主应力判断等效拉伸或等效压缩:e=()()()()=y=()求Mises等效应力:i(Y)i(MPa)(ET)i(GPa)S(e)=S(e)=(GPa),S(e)=S(e)=(GPa),S(e)=()E=(GPa)S(p)=(GPa),S(p)=(GPa),因为=(y)e(y)=,ET=GPa(E=GPa)()根据Mises等效应力确定材料的硬化模量及MT:()求柔度矩阵的弹性分量:()求应力偏量:MT=()()()=(GPa)()求柔度矩阵的塑性分量:S(p)=S(p)=S(p)=S(p)=S(p)=()叠加弹性和塑性分量得到当前(瞬态)柔度矩阵:、参见下图单向复合材料受偏轴拉伸xx==PMa作用偏轴角=。试求复合材料在主轴坐标系下的各应力(提示:yy=xy=)。、横观各向同性材料的弹性常数见下表。分别计算其平面刚度矩阵和三维刚度矩阵的缩减式。E(GPa)E(GPa)G(GPa)、材料单向拉伸实验参数见例=。所受应力状态为:{,,}={,,}。求此时对应的瞬态柔度矩阵。、同题但受yy=MPa和xy=MPa作用求复合材料在主轴坐标系下的各应力分量。、材料单向拉伸和压缩性能参数见下表=。所受应力状态为:{,,}={,,}求此时对应的瞬态柔度矩阵。、材料参数同上题所受应力状态为:{,,}={,,}求此时对应的瞬态柔度矩阵。EndofChapterthree

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