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(002)数学与物理的发端.txt

(002)数学与物理的发端

王治国
2018-09-18 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《(002)数学与物理的发端txt》,可适用于人文社科领域

数学与物理的发端科学之王――数学古印度数学的传说数学是最集中、最深刻、最典型地反映了人类理性和逻辑思维所能达到的高度所以世纪大数学家、物理学家和天文学家高斯说:ldquo数学是科学之王。rdquo话说在印度舍罕王时代舍罕王发出命令:谁能发明一件让人娱乐又要在娱乐中使人增长知识使人头脑变得更加聪明的东西本王就让他终身为官并且皇宫中的贵重物品任其挑眩于是乎全国上下能工巧匠纷纷而动发明创造的一件又一件东西被送到舍罕王的面前但是没有一件让他满意。这是一个风和日丽的早晨舍罕王闲着无聊便和众爱卿准备到格拉察湖去钓鱼。舍罕王忽然发现宰相西萨・班・达依尔没有同来便问道:ldquo宰相干什么去了?rdquoldquo宰相因宫中有一件事未处理好正在那里琢磨呢。rdquo一个大臣答道。舍罕王没有追问下去便拿起鱼竿钓起鱼来众爱卿均忙乎着于是一枝枝长竿便同指湖心。这时小湖起着微微的涟漪湖面在阳光照射下闪烁出金刚钻、绿宝石般的光芒耀得人直眨眼。垂柳的枝条沐浴在湖水之中湖岸边长满了菖蒲。不一会儿薄云遮住了太阳太阳仿佛骤然扭过脸去不理睬小湖于是湖泊、村庄和树林全都在刹那间黯淡下来浮云一过湖水便又闪闪发光庄稼简直像镀上一层黄金。舍罕王贪婪地吸着这乡野的新鲜空气眼前的美景使他目不暇接连鱼竿都横躺在湖面上了。正在这时有人来报:宰相达依尔飞马来到。达依尔匆匆下马来到舍罕王的面前禀道:ldquo陛下为臣在家中琢磨了许多天终于发明了象棋不知大王满意否?rdquo舍罕王一听此言连忙说道:ldquo什么象棋赶快拿来看看。rdquo原来这位宰相有着超人的智慧和聪明的头脑尤其喜爱发明创造以及严密的数学推理。他发明的象棋是国际象棋整个棋盘是由个小方格组成的正方形。国际象棋共个棋子每方各个它包括王一枚、王后一枚、仕两枚、马两枚、车两枚、卒八枚。双方的棋子在格内移动以消灭对方的王为胜。舍罕王看到此物后喜不胜收连忙招呼其他大臣与他对弈一时间马腾蹄、卒拱动车急驰不一会舍罕王大胜。舍罕王于是打算重赏自己的宰相便说道:ldquo官不能再封了你已做到顶了如再要封恐怕只有我让位了。现在重赏你财物你要些什么?rdquo宰相ldquo扑通rdquo跪在国王面前说:ldquo陛下为臣别无他求只请您在这张棋盘的第一个小格内赏给我一粒麦子在第二个小格内给二粒第三格内给四粒第四格内给八粒。总之每一格内都比前一格加一倍。陛下啊把这样摆满棋盘上所有格的麦粒都赏给我我就心满意足了。rdquo看来这位聪明的宰相胃口并不大于是国王说道:ldquo爱卿你所求的并不多啊你当然会如愿以偿的。rdquo国王心里为自己对这样一件奇妙的发明所许下的慷慨赏诺不致破费太多而暗喜。便令人把一袋麦子拿到宝座前。计数麦粒的工作开始。第一格放一粒第二格两粒helliphellip还不到第格袋子已经空了。一袋又一袋的麦子被扛到国王面前。但是麦粒数一格接一格地增长得那样迅速开始是人扛后来是马车拉再后来干脆一个粮库也填不满一个小格。很快就可以看出即便拿来全印度的粮食国王也兑现不了他对宰相许下的诺言了。这到底是怎么回事让我们来算一算这位宰相到底要多少麦粒:helliphellip上面这个算式就是宰相所需要的麦粒让我们用现代的数学方法算出其结果即:这个数字不像宇宙间的原子总数那样大不过也已经够可观的。蒲式尔(约升)小麦约有万颗照这个数那就得给宰相拿来四万亿蒲式尔才行。这位宰相所要求的竟是全世界在年内所生产的全部小麦!这样一来舍罕王觉得自己金言一出又不能兑现怎么办?一大臣献计找个原因杀他的头。宰相西萨・班・达依尔的头就这样被献上数学的祭坛。上面这个故事可能是前人所编只是传说。但它说明一个问题就是说古印度在数学科学方面已有相当大的成就。中国古代的数学中国古代从ldquo结绳记事rdquo时起就有了初步的数学。古代甲骨文、金文中就有了记数的符号。如有ldquordquo、ldquordquo、ldquordquo等记数法这些记号可从出土的彩陶上得到证实。中国古代的进位制主要是十进位。无论是进位制还是长度都与古人的生理结构直接有关如人的手指、脚趾都是十个等。中国古代对ldquo几何学rdquo的认识也非常早如他们使用的石器、骨器、陶器以及住宅、坟墓等都具有一定的几何形状。中国古代原始社会晚期对数和形的初步认识以及他们制做各种形状并有一定比例的用具时就出现了初等数学的萌芽。到了夏、商、周时期我国的记数方式以十进位的方式从一记到万。如用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万等的组合来记十万以内的自然数。在这一时期商代的数学系统比古巴比伦、古埃及同时代更先进、更科学。大约在西周时期出现了一种十分重要的计算方法――筹算。筹算是用算筹来进行的。算筹是圆形竹棍直径约厘米长约厘米以根为一ldquo握rdquo。在这一时期还出现了简单的四则运算这在数学史上应该说是一件非常了不起的事情是一个创举。而春秋战国时期数学的进步主要表现在四则运算的完善和计算工具的进步方面。如在出土的战国楚墓里有一个竹筒内装毛笔、铜削、天平、砝码、算筹等。总之当时在数学上既有工具又有符号还有部分口诀如把这些成就和其他地区比较可以明显看出是处于先进地位。到了秦汉时期我国的数学科学有了重大进步这表现在许多数学专著的出现。这一时期有我国最早的天文数学专著《周髀算经》、《九章算术》等。在《周髀算经》中有一段被尊为古代圣人的周公同一个名叫商高的数学家的对话在对话中就提到了勾股弦定理也即毕达哥拉斯定理。这个定理就是ldquo直角三角形斜边平方等于两个直角边平方之和rdquo这个定理在中国也被称作是ldquo商高定理rdquo。下面简要介绍商高定理部分周公和商高的部分对话:周公:ldquo我听说你很精通数的艺术。可否请您谈谈古人是怎样测定天球度数的?没有一种梯子可以使人攀登上天地也无法用尺来测量。这些数据从何而来?rdquo商高:ldquo数的艺术从圆形和方形开始圆形出自方形而方形又出自矩形矩形出自times=这个事实。ldquo假如把矩形的对角线切开让宽等于个单位长长等于个单位那么对角线的长度就是个单位。古代大禹用来治理天下的方形就是从这些数字中发展出来的。rdquo周公感叹地说:ldquo数学这门艺术真是了不起啊!我想再请教怎样应用直角三角尺?rdquo商高:ldquo使直角三角尺平卧在地上可以用绳子设计出平直的和方形的工程。把直角三角尺竖立起来可以测量高度。倒立的直角三角尺可以用来测量深浅而平放着就可以测量距离。让它旋转就可以画圆把几个合起来就可以得到正方形和长方形。rdquo周公:ldquo这真是太奇妙了!rdquo《周髀算经》的伟大不仅仅在于对数学知识的阐述更重要的是在占星术和卜筮占支配地位时他们在讨论天地现象时却丝毫不带有迷信色彩!这部数学专著还谈到日影、不同纬度上日影的长度差、用窥管测量太阳直径等等还列出了一年中各个节气的日影长度表。《九章算术》和《周髀算经》几乎同时还有一部数学专著科学史上称它为《九章算术》这是我国第一部最重要的数学专著。《九章算术》大约成书于东汉初年书中载有个应用题目的解法涉及到算术、初等代数、初等几何等多方面内容。其中所载述的分数四则运算、比例算法、用勾股定理解决一些测量中的问题等都是当时世界最高科学水平的工作。而关于负数的概念和正负数加减法则的记载也是世界数学科学史中最早的。书中还讲述了开平方、开立方、一元二次方程的数值解法、联立一次方程解法等许多问题。《九章算术》在我国古代数学史上有很大影响在世界数学史上也占有重要地位。《九章算术》大致可分为个方面内容:()土地测量。书中列有直角三角形、梯形、三角形、圆、弧与环形等并给出计算这些形状面积的方法。()百分法和比例根据比例关系来求问题答案。()算术级数和几何级数。()处理当图形面积及一边长度已知时求其他边长的问题。还有求平方根、立方根等问题。()立体图形体积的测量和计算实际计算的有墙、城墙、堤防、水道和河流等。()解决征收税收中的数学问题。像人们从产地运送谷物到京城交税所需的时间等有关问题还有按人口征税的问题。()过剩与不足的问题。也就是解决axb=的问题。()解方程和不定方程。()直角三角形的性质。在ldquo直角三角形的性质rdquo这一章中有这样一个问题:一个水池长宽各一丈有棵芦苇生在池中央芦苇出水面一尺高让芦苇倒向池边正好芦苇尖与池边平齐。问水有多深?这个问题后来又见于印度的数学著作中又传到了中世纪的欧洲。解决此问题只有利用相似直角三角形来完成。《九章算术》对中国古代数学发生的影响正像古希腊欧几里得《几何原本》对西方数学所产生的影响一样是非常深刻的。在此后的一千多年的时间里它一直被直接作为教科书使用。日本、朝鲜也都曾用它作教科书。各代学者都十分重视对这部算书的研究在欧洲和阿拉伯的早期数学著作中过剩与不足问题的算法就被称为ldquo中国算法rdquo可见其独创性。我国古代杰出的数学家到了三国两晋南北朝时代我国的数学科学已闪烁着耀眼的光芒出现了历史上杰出的数学家刘徽和祖冲之。这两个不朽的人物为我国数学奠定了牢固的基矗先说刘徽他是三国时代魏国人。关于他的身世和生平事迹由于资料有限我们了解得很少。他的活动区域大致在山东半岛和江苏北部一带。刘徽自幼熟读《九章算术》在魏陈留王景元四年()前后为我国古代数学经典著作《九章算术》作注做了许多创造性的数学理论工作对我国古代数学体系的形成和发展影响很大在数学史上占有突出的地位。《九章算术》体现了中国古代自先秦到东汉以来的数学成就。但当时没有发明印书的方法这样好的书也只能靠笔来抄写。在辗转传抄的过程中难免会出现很多的错误加上原书中是以问题集的形式编成文字过于简单对解法的理论也没有科学的说明。这种状况明显地妨碍了数学科学的进一步发展。刘徽为《九章算术》作注在很大程度上弥补了这个重大的缺陷。在《九章算术注》中他精辟地阐明了各种解题方法的道理提出了简要的证明指出个别解法的错误。尤其可贵的是他还做了许多创造性的工作提出了不少远远超过原著的新理论。可以说刘徽的数学理论工作为建立具有独特风格的我国古代数学科学的理论体系打下了坚实的基矗刘徽在《九章算术注》中最主要的贡献是创立了ldquo割圆术rdquo为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法开创了圆周率研究的新阶段。圆周率即圆的周长和直径的比率它是数学上的一个重要的数据因此推算出它的准确数值在理论上和实践上都有重要的意义和贡献。在世界数学史上许多国家的数学家都曾经把圆周率作为重要研究课题为求出它的精确数值作了很大努力。在某种意义上说一个国家历史上圆周率精确数值的准确程度可以衡量这个国家数学的发展情况。《九章算术》原著中沿用自古以来的数据即所谓ldquo径一周三rdquo取pi=这是很不精确的。到了后来三国时期的王蕃(~)采用了这虽然比ldquo径一周三rdquo有了进步但仍不够精密而且也没有理论根据。怎样才能算出比较精密的圆周率呢?刘徽苦苦地思索着。一天刘徽信步走出门去去大自然呼吸新鲜的空气。在他的眼前群山绵绵不断地伸展开去好像数学哲理似的奥妙莫测。刘徽的思路仿佛进人群山的巍峨中鉴证着大自然的不可思议的创造。刘徽抬眼望去远处一个高耸入云的顶峰上有一座小小的庙宇他猜测着数学的殿堂是不是也和这庙宇一样风光而又曲折。一阵叮叮当当的响声引起了刘徽的注意他朝着响声走去原来这是座石料加工常这里的石匠师傅们正把方形的石头打凿成圆柱形的柱子。刘徽颇感有趣蹲在石匠师傅的身边认真地观看着。只见一块方石经石匠师傅砍去四角就变成一块八角形的石头再去掉八角又变成十六角形这样一凿一斧的干下去一方形石料加工成光滑的圆柱了。刘徽恍然大悟马上跑回家去认真地在地上比划着原来方和圆是可以互相转化的。他把一个圆周分成相等的段连接这些分点组成圆内正六边形再将每一分弧二等分又可得到圆内接正边形如此无穷尽地分割下去就可得到一个与圆完全相合的正ldquo多边形rdquo。刘徽由此指出:圆内接正多边形的面积小于圆面积但ldquo割之弥细所失弥少。割之又割以至于不可割则与圆周合体而无所失矣。rdquo这段话包含有初步的极限思想思路非常明晰为我国古代的圆周率计算确立了理论基矗综合上面的论述刘徽实际上建立了下面的不等式:S<S<S(SS)nnnn这里S是圆面积S、S是圆内接正多边形的面积n是边数。nn刘徽使用了这个方法从圆内接正边形算起边数依次加倍直到正边形的面积得到的圆周率pi的近似值是这相当于pi=。他还继续计算直到求出了正边形的面积进一步得到pi的近似值是这相当于pi=。和这两个数据的准确程度比较高在当时世界上是很先进的数据。刘徽还明确地概括了正负数的加减法则提出了多元一次方程组的计算程序论证了求最大公约数的原理对最小公倍数的算法也有一定的研究。这些都是富有创造性的成果因此可以说刘徽通过注解《九章算术》丰富和完善了中国古代的数学科学体系为后世的数学发展奠立了基矗刘徽撰写的《重差》原是《九章算术注》的第十卷后来单独刊行被称作《海岛算经》。这是一部说明各种高度或距离的测量和计算方法的著作。就是关于几何测量方面的著作。有一次刘徽和朋友们到海边去散步刘徽抬眼望去那是一片伟丽而宁静的、碧蓝无边的海。它在眼光所及的远处与淡蓝色的云天相连。微风爱怜地抚摸着海的绸缎似的胸膛太阳用自己的热烈的光线温暖着它。而海在这些爱抚的温柔力量之下睡梦似的喘息着使沸热的空气充满了蒸发的盐味。淡绿的波浪跑到黄沙上来抛掷着雪白的泡沫吻着刘徽及朋友们的脚刘徽心旷神怡索性坐在沙滩上让那微咸的海水润湿着裤脚。这时一个朋友指着茫茫大海中耸立着的一座孤岛问道:ldquo谁知道小岛有多高?多远?rdquo另一朋友想了想:ldquo只要准备一只小船和足够的绳子我就能量出小岛的距离和高度。rdquo众人哄地笑了起来这得需要多少绳子即使给你绳子你也量不出小岛的距离和高度。因为绳子有伸缩性而小岛有斜坡。再说这办法也太笨了。这时刘徽在一旁沉默不语有人请他发表意见。刘徽说:ldquo我根本不需要到小岛去只需两根竹竿即可量出它的高和远。rdquo朋友们睁大双眼愣愣的望着刘徽刘徽见朋友不相信他便在水滩上画出图来。然后解释道:ldquo在岸边垂直竖立两根一样长的杆子GH和EF使它们与小岛AB位于同一方向上然后分别在与两杆顶E、G与岛尖A成一直线的地面C和D点作记号便可以了。这样一来CF、DH、HF、EF的长度我们都可量出来现在来算出岛的距离BF和岛的高度AB刘徽算出的结果是:EFtimesHFABDHCFtimesHFBFDH具体怎样计算我们就不再一一赘述了读者诸君如有兴趣的话不妨一试来证明刘徽的公式。刘徽在《九章算术注》的自序中说:ldquo事类相类各有攸归。故枝条虽分而同本干者知发其一端而已。rdquo刘徽的研究方法和研究成果对我国古代数学的发展产生了非常深刻的影响为我国数学科学史增添了光辉的一页。近年来国内外出版了许多种关于研究的专集和专著他的《九章算术注》和《海岛算经》被翻译成许多国家的文字向世界显示了中华民族灿烂的古代文明。刘徽之后的年我国南北朝时期又出现了一位大科学家祖冲之。他认为刘徽采用割圆术只算到正边形就停止了得出的结果还是不够准确。如果能在刘徽边形的基础上割之又割作出、helliphellip边形不就可以求出更精确的圆周率吗?祖冲之不满足于前人的成就决定攀登新的高峰。他通过长期刻苦钻研在儿子祖�的协助下反复测算终于求得了精确度更高的圆周率。《隋书・律历志》记载了他的成就:ldquo宋末南徐州从事史祖冲之更开密法以圆径一亿为一丈圆周盈数丈尺寸分厘毫秒忽(丈)�数丈尺寸分厘毫秒忽(丈)正数在盈�之间。密律:圆径圆周。约律:圆径周。rdquo从上述文字记载来看祖冲之对圆周率贡献有点:计算出圆周率在到之间即<pi<在世界数学史上第一次把圆周率推算准确到小数点后位。这在国外直到年后世纪阿拉伯数学家阿尔・卡西计算到小数位才打破祖冲之的纪录。祖冲之明确地指出了圆周率的上限和下限用两个高准确度的固定数作界限精确地说明了圆周率的大小范围实际上已确定了误差范围这是前所未有的。祖冲之提出约率和密率。这一密率值是世界上第一次提出所以有人主张叫它ldquo祖率rdquo。在欧洲德国人奥托和荷兰人安托尼兹得到这一结果已是世纪了。祖冲之是怎样得出这一结果的呢?他应该是从圆内接正边形、边形、边形helliphellip一直计算到边形和边形依次求出它们的边长和面积。这需要对有位有效数字的大数进行加减乘除和开方运算共一百多步其中近次的乘方和开方有效数字达位之多。当时数字运算还没有用纸、笔和数码而是用落后的筹算法。通过纵横相间的小竹棍来演算可见祖冲之付出多么艰巨的劳动需要具备多么严肃认真的精神。祖冲之和他的儿子祖�还用巧妙的方法解决了球体积的计算问题。在他们之前《九章算术》中已经正确地解决了圆面积和圆柱体体积的计算问题。但是在这本书中关于球体积的计算公式却是错误的。刘徽虽然在《九章算术注》中指出了这个错误但是也未能求出球体积的计算公式。年后祖冲之父子继续刘徽的工作在我国数学史上第一次导出了正确的球体积公式。值得注意的是祖�在推算求证的过程中得出了ldquo等高处的横截面积相等那么二个立体的体积必然相等rdquo的结论。这个问题在年后才由意大利数学家卡瓦列利提出被人称为ldquo卡瓦列利定理rdquo其实我们完全有权利称它为ldquo祖�定理rdquo。祖冲之父子的研究成果汇集在一部名叫《缀术》的著作中被定为ldquo十部算经rdquo之一。可惜的是到了宋朝以后这部伟大的著作就失传了。祖冲之的科学成就在我国以至世界科学技术发展史上将永远放射光芒。为了纪念这位伟大的科学家国际上把月球背面的一个山谷命名为ldquo祖冲之rdquo可见人们对祖冲之的敬仰。李淳风与数学到了隋唐五代时期数学科学有了较大的发展在这一时期国家创办的学校中设置了数学教育在科举中有ldquo明算科rdquo。在数学教育时学生主要学习十部算经:《九章算术》、《海岛》、《孙子》、《五曹》、《张邱建》、《夏侯阳》、《周髀算经》、《五经算》、《缀术》、《缉古算经》等。其中《缉古算经》是唐代著名数学家王孝通的专著其他算经均是前人所著。在《缉古算经》中王孝通已经提出解三次(高次)方程的问题。在数学科学上有特出贡献的要算是唐高宗时代的李淳风。他的贡献倒不是在数学上有多大才能而是注释和校核了《算经十书》。唐朝初年统治者为了培养能够胜任计算工作的低级官员决定开设专门考试数学的ldquo明算科rdquo。并在国子监中设置算学馆招收ldquo算学生rdquo学习数学。一开始考试和学习都没有统一教材于是李淳风奉命与梁述等人一起编辑整理一套规范的数学教材它们就是我们上面介绍的十部算经。这是一项十分艰巨的工作因为这些书不是成于一时一世古代又没有发明印刷术全凭人手来抄工程巨大。另外由于时代的局限性古人的著作中也难免会有一些错误如果完全照搬下来岂不是误人子弟?因此李淳风在这项工作中不但对各种抄本进行了认真的核对而且还校正了若干错误为当时的ldquo算学生rdquo和后人的学习带来了极大的便利。更重要的是他把自己对某个数学问题的见解与其他后学者的科学成就以注解的形式附于有关正文之后为中华民族的文化宝库保存了不少瑰丽的珠宝。其中最有代表性的要算祖�推导球体积公式的记载原来祖�的成就和祖冲之一起被记载在《缀术》中但后来《缀术》失传只能从李淳风的注释中得知。纵观中国古代数学自《九章算术》成书后出现了两个高潮期:一是我们前面说过的魏晋南北朝一是我们马上就要谈到的宋朝和元朝。在第一个高潮期以ldquo算经十书rdquo为代表的中国古代数学体系已经形成第二个高潮期将要出现一系列具有世界意义的成果。李淳风正是处于这两个高潮期之间的一个最为关键的人物。设想一下如果没有唐初李淳风校注的ldquo算经十书rdquo可能也不会有北宋年间的大量的刊刻算书和数学知识的普及那么宋元时代的数学发展也许会推迟。因此李淳风在中国数学史上占有不容忽视的地位。另外隋唐五代时的应用数学发展较快在历法和天体的计算中徐昂于公元年创立了二次内插法并把数学用于税收、工商业活动的大量的实际计算中。秦九韶的高次方程公元年月日英国人霍纳在皇家学会宣读了一篇数学论文提出了一种解任意高次方程的巧妙方法一时引起了英国数学界的轰动。由于这一方法有其独到之处而且对数学科学有很大的推进作用因而这一方法被命名为ldquo霍纳方法rdquo。但是没过多久意大利数学界就提出了异议因为他们发现自己的同胞鲁菲尼已在年前就得到了同样的方法只是没有及时地报道罢了。因此意大利数学界要求将这一数学方法命名为ldquo鲁菲尼方法rdquo。于是英、意双方开始了喋喋不休的争论。正巧有个阿拉伯人前往欧洲听到了双方的争论后不置可否地大笑起来。争论双方问他为何这般嘲笑。这位阿拉伯人从背包中掏出一本书递与争论双方说道:ldquo你们都不要争了依我看来这个方法应该称作lsquo秦九韶方法rsquordquo。他们这才知道早在多年前有个叫秦九韶的中国人就发明了这种方法。双方觉得他们的这场争论已显得毫无意义了。秦九韶生于年南宋普州安岳(今四川安岳)人。他自幼随做官的父亲周游过许多地方。岁的时候秦九韶随父亲来到南宋的都城――临安(今杭州)。秦九韶被父亲送到掌管天文历法的大史院学习。在这里他了解了制定历法的一些基本算法和理论依据这对于他后来写作著名的《数书九章》大有益处。后来他回到四川老家在一个县城里当县尉这时北方的元兵大举进犯战乱频繁。他在这种动乱的环境中度过他的壮年。后来他在《数书九章》中写了ldquo天时rdquo和ldquo军旅rdquo等问题想必与这段生活有关。过了几年秦九韶的母亲去世了他按照封建社会的传统回家为母亲守孝三年。正是在这段时间里秦九韶完成了他的辉煌的数学著作――《数书九章》。《数书九章》共分九大类每类各有九题全书共有道数学题目内容包括天时、军旅、赋役、钱谷、市易等类问题。在这道题目中有的题目比较复杂但题后大多附有算式和解法。正是在这些解法中包含着许多杰出的数学创造高次方程的解法就是其中最重要的一项。高次方程就是未知数的最高次幂在次以上的。对于一元二次方程我们可以用求根公式来解三、四次的求根公式很复杂至于五次以上的方程那就没有求根公式。那么用什么办法来解决呢?秦九韶创造的这种解法是一种近似的解法但是它能够把结果算到任意精确的程度只要你按照一些简单的程序反复地进行四则运算即可。除了高次幂方程的解法之外这本书中的另一项伟大成就是关于同余式方面的工作。什么叫同余式呢?我们还是从ldquo韩信点兵rdquo的故事来说起:传说汉代开国功臣韩信有一次到练兵场只见军士们龙腾虎跃你来我往好不热闹。韩信问带兵的军官:ldquo你们这里共有多少士兵?rdquo军官说:ldquo人太多太乱数不准确。rdquo韩信说:ldquo你把令旗给我我来给你点数。rdquo军官一听慌忙将令旗奉上只见韩信挥起令旗命令道:ldquo排一长队。rdquo韩信见军士们已排好长队便交待道:ldquo先从到报数再从到报数最后从到报数。报完后把剩余的人数告诉我我便知总的军士人数。于是军士们便认真地报起数来第一报数后余第报数后余第报数后余韩信掐指一算共计人。其实ldquo韩信点兵rdquo问题又叫ldquo孙子问题rdquo最早出现在公元世纪的数学著作《孙子算经》中。原来的问题是这样表述的:ldquo有物不知其数三个一数余五个一数余七个一数余问该物总数几何?rdquo这个问题按照现在的人可以列出方程来:设总数为NX为人一数的次数Y为人一数的次数Z为人一数的次数则:N=xN=yN=z三个方程式但却有四个未知数这就叫不定方程。解不定方程在现代数论中有一个著名定理:剩余定理。但这个问题出现在公元世纪的中国算书中他们虽然给出了算法但却没有明确地表述和证明这个定理。到公元世纪大数学家秦九韶集前人之大成在同余式的研究上获得了超越前人的成果。什么叫同余式呢?在上面的故事中如果三人一组剩人那么总人数可能是、是、也可能是helliphellip。换句话说、、helliphellip这些数被除后余数相等那么我们就说、、helliphellip等数对于是同余的用数学符号写出来就是equivequiv(mod)这个式子叫同余式。秦九韶在写作《数书九章》时把当年在太史局学到的天文学知识与《孙子算经》的数学问题结合起来发展了同余式的理论和算法从而圆满解决了韩信点兵之类问题。秦九韶还有许多数学创造他是世界上最早提出十进小数概念和表示法的人。他还独立地推导出已知三边求三角形面积的公式:aS秦九韶在多元一次方程组和几何测量方面也有创新。他是世界上最伟大数学家之一《数书九章》标志着中国的古代数学达到了一个新的高峰。杨辉与数学宋元数学四大家之一的杨辉他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。说起杨辉的这一成就还得从偶然的一件小事说起。一天台州府的地方官杨辉出外巡游路上前面铜锣开道后面衙役殿后中间大轿抬起好不威风。迷人的春天慷慨地散布着芳香的气息带来了生活的欢乐和幸福。杜鹃隐藏在芒果树的枝头。用它那圆润、甜蜜、动人心弦的鸣啭来唤醒人们的希望。成群的画眉鸟像迎亲似的蹲在树的枝丫上发出婉丽的啼声。楝树、花梨树和栗树都仿佛被自身的芬芳熏醉了。杨辉撩起轿帘看那杂花生树飞鸟穿林真乃春色怡人淡复浓唤侣黄鹂弄晓风。更是一年好景旖旎风光。走着、走着只见开道的镗锣停了下来前面传来孩童的大声喊叫声接着是衙役恶狠狠的训斥声。杨辉忙问怎么回事差人来报:ldquo孩童不让过说等他把题目算完后才让走要不就绕道。rdquo杨辉一看来了兴趣连忙下轿抬步来到前面。衙役急忙说:ldquo是不是把这孩童哄走?rdquo杨辉摸着孩童头说:ldquo为何不让本官从此处经过?rdquo孩童答道:ldquo不是不让经过我是怕你们把我的算式踩掉我又想不起来了。rdquoldquo什么算式?rdquoldquo就是把到的数字分三行排列不论直着加横着加还是斜着加结果都是等于。我们先生让下午一定要把这道题做好。我正算到关键之处。rdquo杨辉连忙蹲下身仔细地看那孩童的算式觉得这个数字从哪见过仔细一想原来是西汉学者戴德编纂的《大戴礼》书中所写的文章中提及的。杨辉和孩童俩人连忙一起算了起来直到天已过午俩人才舒了一口气结果出来了他们又验算了一下觉得结果全是这才站了起来。我们把算式摆出来:(在左边的方块中无论你横、竖、斜着加结果都是。请试一下)孩童望着这位慈祥和善的地方官说:ldquo耽搁你的时间了到我家吃饭吧!rdquo杨辉一听说:ldquo好好下午我也去见见你先生。rdquo孩童望着杨辉泪眼汪汪杨辉心想这里肯定有什么蹊跷温和地问道:ldquo到底是怎么回事?rdquo孩童这才一五一十把原因道出:原来这孩童并未上学家中穷得连饭都吃不饱哪有钱读书。而这孩童给地主家放牛每到学生上学时他就偷偷地躲在学生的窗下偷听今天上午先生出了这道题这孩童用心自学终于把它解决了。杨辉听到此感动万分一个小小的孩童竟有这番苦心实在不易。便对孩童说:ldquo这是两银子你拿回家去吧。下午你到学校去我在那儿等你。rdquo下午杨辉带着孩童找到先生把这孩童的情况向先生说了一遍又掏出银两给孩童补了名额孩童一家感激不荆自此这孩童方才有了真正的先生。教书先生对杨辉的清廉为人非常敬佩于是俩人谈论起数学。杨辉说道:ldquo方才我和孩童做的那道题好像是《大戴礼》书中的?rdquo那先生笑着说:ldquo是啊《大戴礼》虽然是一部记载各种礼仪制度的文集但其中也包含着一定的数学知识。方才你说的题目就是我给孩子们出的数学游戏题。rdquo教书先生看到杨辉疑惑的神情又说道:ldquo南北朝的甄鸾在《数术记遗》一书中就写过:ldquo九宫者二四为肩六八为足左三右七戴九履一五居中央。rdquo杨辉默念一遍发现他说的正与上午他和孩童摆的数字一样便问道:ldquo你可知道这个九宫图是如何造出来的?rdquo教书先生也不知出处。杨辉回到家中反复琢磨一有空闲就在桌上摆弄着这些数字终于发现一条规律。他把这条规律总结成四句话:九子斜排上下对易左右相更四维挺出rdquo。就是说:一开始将九个数字从大到小斜排三行然后将和对换左边和右边对换最后将位于四角的、、、分别向外移动排成纵横三行就构成了九宫图。下面我们演示一下:(九子斜排)(上下对易左右相更)(四维挺出)按照类似的规律杨辉又得到了ldquo花图rdquo就是从到的数字排列在四行四列的方格中使每一横行、纵行、斜行四数之和均为。读者诸君不妨一试。后来杨辉又将散见于前人著作和流传于民间的有关这类问题加以整理得到了ldquo五五图rdquo、ldquo六六图rdquo、ldquo衍数图rdquo、ldquo易数图rdquo、ldquo九九图rdquo、ldquo百子图rdquo等许多类似的图。杨辉把这些图总称为纵横图并于年写进自己的数学著作《续古摘奇算法》一书中并流传后世。纵横图也叫幻方它要求把从到n个连续的自然数安置在n个格子n(里使纵、横、斜各线上的数字和等于这其中包含着很深刻的道理。但长期以来人们习惯于把它当作纯粹的数学游戏没有给予应有重视。随着近代组合数学的发展纵横图显示了越来越强大的生命力在图论、组合分析、对策论、计算机科学等领域中找到了用武之地。杨辉可以说是世界上第一个给出了如此丰富的纵横图和讨论了其构成规律的数学家。杨辉除此成就之外还有一项重大贡献就是ldquo杨辉三角rdquo。有一次杨辉得到一本《黄帝九章算法细草》这是北宋数家贾宪写的。这里面有不少了不起的成就如贾宪描画了一张图叫作ldquo开方作法本源图rdquo。图中的数字排列成一个大三角形位于两腰上的数字均是其余数字则等于它上面两数字之和。从第二行开始这个大三角形的每行数字都对应于一组二项展开式的系数下面试举例说明:在第三行中、、、这个数字恰好是对应于(X)=XXX再如第四行对应于(X+)=XXXX。以此类推。杨辉把贾宪的这张画忠实地记录下来并保存在自己的《详解九章算术》一书中。后来人们发现这个大三角形不仅可以用来开方和解方程而且与组合、高阶等差级数、内插法等数学知识都有密切关系。在西方直到世纪才有人在一本书的封面上绘出类似的图形。法国数学家巴斯加在年的论文中详细地讨论了这个图形的性质所以在西方又称ldquo巴斯加三角rdquo。杨辉除上述成就外还分别写了《日用算法》、《乘除通变本末》和《田亩比类乘除捷法》等书这为后世的人们了解当时的数学面貌提供了极为重要的资料。杨辉的几部著作极大地丰富了我国古代数学宝库为数学科学的发展做出了卓越的贡献他不愧为ldquo宋元四大家rdquo之一。朱世杰的《四元玉鉴》朱世杰是元朝一位杰出的数学科学家。朱世杰字汉卿号松庭燕山(今北京)人氏。他长期从事数学研究和教育事业以数学名家周游各地多年四方登门来学习的人很多。他的主要著作有《算学启蒙》三卷和《四元玉鉴》三卷。说起朱世杰周游各地这里还有一段鲜为人知的佳话我们把这段佳话介绍给读者。世纪末历经战乱的祖国为元王朝所统一遭到破坏的经济和文化又很快繁荣起来。蒙古统治者为了兴邦安国便尊重知识选拔人才把各门科学推向新的高峰。有一天风景秀丽的扬州瘦西湖畔来了一位教书先生在寓所门前挂起一块招牌上面用大字写着:ldquo燕山朱松庭先生专门教授四元术rdquo。不几天朱世杰门前门庭若市求知者络绎不绝就在朱世杰在接待学生报名之时突然一声声叫骂声引起他的注意。只见一穿绸戴银半老徐娘追着一年轻的姑娘边打边骂:ldquo你这贱女人大把的银子你不抓难道想做大家闺秀只怕你投错了胎下辈子也别想了。rdquo那姑娘被打得皮开肉绽连内身衣服都被撕坏了。姑娘蜷成一团任凭她打也不跟她回去。朱世杰路见不平便上前询问那半老徐娘见冒出一个爱管闲事之人就嘲笑道:ldquo你难道想抱打不平你送上两银子这姑娘就归你了!rdquo朱世杰见此情景大怒道:ldquo难道我掏不出两银子。光天化日之下竟胡作非为难道没有王法不成?rdquo那半老徐娘讽刺道:ldquo你这穷鬼还谈什么王法银子就是王法你若能掏出两银子我便不打了。rdquo朱世杰愤怒已极从口袋里抓出两银子摔在半老徐娘面前拉起姑娘就回到自己的教书之地。原来那半老徐娘是妓女院的鸨母而这姑娘的父亲因借鸨母的两银子由于天灾还不起银子只好卖女儿抵债。今天碰巧遇上朱世杰才把姑娘救出苦海。后来在朱世杰的精心教导下这姑娘也颇懂些数学知识成了朱世杰的得力助手不几年两人便结成夫妻。所以扬州民间至今还流传着这样一句话:元朝朱汉卿教书又育人救人出苦海婚姻大事成上面这段佳话是不是事实已不好考证但说明了朱世杰在做学问的同时还有着一颗慈爱的心。再说朱世杰在数学科学上全面地继承了秦九韶、李冶、杨辉的数学成就并给予创造性的发展写出了《算学启蒙》、《四元玉鉴》等著名作品把我国古代数学推向更高的境界形成宋元时期中国数学的最高峰。《算学启蒙》是朱世杰在元成宗大德三年()刊印的全书共三卷门总计个问题和相应的解答。这部书从乘除运算起一直讲到当时数学发展的最高成就ldquo天元术rdquo全面介绍了当时数学所包含的各方面内容。它的体系完整内容深入浅出通俗易懂是一部很著名的启蒙读物。这部著作后来流传到朝鲜、日本等国出版过翻刻本和注释本产生过一定的影响。而《四元玉鉴》更是一部成就辉煌的数学名著。它受到近代数学史研究者的高度评价认为是中国古代数学科学著作中最重要的、最有贡献的一部数学名著。《四元玉鉴》成书于大德七年()共三卷门问介绍了朱世杰在多元高次方程组的解法――四元术以及高阶等差级数的计算――垛积术、招差术等方面的研究和成果。ldquo天元术rdquo是设ldquo天元为某某rdquo即某某为x。但当未知数不止一个的时候除设未知数天元(x)外还需设地元(y)、人元(z)及物元(u)再列出二元、三元甚至四元的高次联方程组然后求解。这在欧洲解联立一次方程开始于世纪关于多元高次联立方程的研究还是至世纪的事了。朱世杰的另一重大贡献是对于ldquo垛积术rdquo的研究。他对于一系列新的垛形的级数求和问题作了研究从中归纳为ldquo三角垛rdquo的公式实际上得到了这一类任意高阶等差级数求和问题的系统、普遍的解法。朱世杰还把三角垛公式引用到ldquo招差术rdquo中指出招差公式中的系数恰好依次是各三角垛的积这样就得到了包含有四次差的招差公式。他还把这个招差公式推广为包含任意高次差的招差公式这在世界数学史上是第一次比欧洲牛顿的同样成就要早近个世纪。正因为如此朱世杰和他的著作《四元玉鉴》才享有巨大的国际声誉。近代日本、法国、美国、比利时以及亚、欧、美许多国家都有人向本国介绍《四元玉鉴》。美国已故的著名的科学史家萨顿是这样评说朱世杰的:ldquo(朱世杰)是中华民族的、他所生活的时代的、同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学科学家。rdquoldquo《四元玉鉴》是中国数学著作中最重要的同时也是中世纪最杰出的数学著作之一。它是世界数学宝库中不可多得的瑰宝。rdquo从此中可以看出宋元时期的科学家及其著作在世界数学史上起到了不可估量的作用。除了以上成就外朱世杰还在他的著作中提出了许多值得注意的内容:在中国数学史上他第一次正式提出了正负数乘法的正确法则他对球体表面积的计算问题作了探讨这是我国占代数学典籍中唯一的一次讨论。结论虽不正确但创新精神是可贵的在《算学启蒙》中他记载了完整的ldquo九归除法rdquo口诀和现在流传的珠算归除口诀几乎完全一致。总之朱世杰继承和发展了前人的数学成就为推进我国古代数学科学的发展做出了不可磨灭的贡献。朱世杰不愧是我国乃至世界数学史上负有盛名的数学家。由于朱世杰和其他同时代数学家的共同努力使宋元时期的数学达到了光辉的高度在很多方面都居于世界前列。自朱世杰之后我国这种在数学上高度发展的局面不但没有保持发展下去反而很多成就在明、清一段时期内失传。这实在是科学史上的一件憾事。ldquo数的科学rdquoldquo科学之父rdquo的推动且说古希腊对数学似乎有着特别大的兴趣尤其是在几何学方面。这在一定程度上应当归功于毕达哥拉斯和柏拉图。他们都是数学的崇拜者和鼓吹者。据说柏拉图在他所创办的学园的大门口就有着ldquo不懂几何学者不得入内rdquo的牌子可见数学在古希腊的重要性。在其他古老的国家里数学基本上是一门实用性的学科而在古希腊也像我们在前面所看到的天文学的情况那样他们是着重于向理论发展的。古希腊最早的数学家可能要算被西方称作是ldquo科学之父rdquo的泰勒斯了。据说他提出并证明了下列几何学基本命题:圆为它的任一直径所平分半圆的圆周角是直角等腰三角形两底角相等相似三角形的各对应边成比例若两三角形两角和一边对应相等则两三角形全等。这些定理是每一个现代中学生都知道的他们简单得不能再简单了。但是就是这些简单的理论构成了今天极其复杂而又高深理论的根基。试想今天的球面几何学射影几何学非欧几何学等等有哪一门不是从这最简单的定理发生推演出来的呢?泰勒斯年轻时去过埃及在那里他向埃及人学习了几何学知识。但埃及人的几何学在当时只是为了划分地产而研究的。在那里埃及的人们只懂得在一块具体的地面上来规划、计算以弄清人们的地产界线。因为每年尼罗河一涨水所有的地面痕迹都被冲毁了人们在涨水后不得不重新进行测量计算。埃及人很早在实践中就懂得ldquo所有直径都平分圆周三角形有两条边相等则其所对的角也相等rdquo但都没有从理论上给予概括并科学地去证明它。泰勒斯并不满足于仅仅向埃及人学习这些他经过思考将这些具体的只是实际操作的知识给予抽象化、理论化使之概括成为科学的理论。上面所概括的几条定理是埃及人在几百年前在实践中便得知的但并没有把具体的知识提升到理论高度。泰勒斯在这方面做出了卓越的贡献。泰勒斯不仅把具体的知识理论化而且还天才地将理论运用到实际中去。下面讲一个泰勒斯解决金字塔高度的故事。这是一个夏天静寂的热气在大地上蒸腾闪着光闲散而轻柔的晃动着俨如在小溪里游动着的鱼。而远处那些挡住了视野的山崖不停地闪着青的白的反光。底下是一片被灼热的阳光所临照的田野裸麦的花粉在田间飘浮着像一片轻烟。泰勒斯正在金字塔的阴影下歇息着他身边坐着几位和他同龄的贵族子弟。他们边抽着烟边议论着琐事。一贵族说道:ldquo亲爱的泰勒斯先生请您告诉我你到埃及的日子里有些什么收获呢?总不会空空而回吧?rdquo因为泰勒斯也是贵族出身在和家人分家的时候泰勒斯一样东西也不要只带些钱去埃及游学了。所以认识他的人都把他叫做傻子。而这个贵族正是基于此想找个法子戏弄他。泰勒斯从容不迫地答道:ldquo亲爱的先生们我们或许追求不同、也许你喜欢金钱也许你喜欢女人而我则不同只以追求科学知识为光荣。rdquo众贵族子弟望着他泰勒斯又说道:ldquo我这次到埃及游学我认为我得到了我一生中最大的收获我把埃及人的几何知识提到了理论高度并给予证明。rdquo那贵族说道:ldquo我请问泰勒斯先生你的那些东西我们都看到过了那又有什么用呢?它能算出金字塔有多高吗?rdquo泰勒斯听这么一说当时没有马上想出办法便说:ldquo怎样测出金字塔的高度让我回去好好想一想咱们天后见!rdquo其实不但这些贵族子弟想知道金字塔的高度全埃及的人都想知道。最着急的应该算尼罗河的祭司们因为正是这些祭司们掌握着埃及的数学。到了第天泰勒斯如约而至。由于这些贵族子弟回去后把泰勒斯要算出金字塔高度的消息告诉了全城百姓所以金字塔旁人山人海尼罗河祭司站在最前边。泰勒斯望着人们清了清嗓子说道:ldquo你们不是想知道金字塔的高度吗?这其实是很简单的事。rdquo人们听他这么一说嘈杂的人群立时静了下来千百双眼直盯着泰勒斯。泰勒斯说道:ldquo当你自己的影子和你身体一样高时你就去测量金字塔的影长这便是金字塔的高度。rdquo多聪明的主意!全城的老百姓怔了一会忽地拥向泰勒斯把他高高抬起欢呼着。而想戏弄泰勒斯的贵族为自己的无知深深地低下了头。那时祭司们慌慌忙忙回去拿皮尺了。讲到这里这使我们想起我国古代曹冲称象的故事(我们另章介绍)他们进行逻辑推理的根据都是一种ldquo代换法rdquo。值得指出的是在泰勒斯之前没有人想到这种合理的推论。泰勒斯是第一个以思维的理性头脑和科学精神面向自然界的人他一生以自己的思考寻求问题的答案如果我们追寻人类第一个进行科学思维的代表人物那么泰勒斯是当之无愧的。关于泰勒斯的传说和轶事流传很多这些传说虽然未必真实但对我们了解他的生平和性格是很有帮助的。有一次一个邻舍讥笑泰勒斯说:ldquo人家都说你是天才但依我看你是个笨蛋。试想如果你真的聪明的话为什么不发财呢?rdquo泰勒斯笑着说:ldquo要想发财那还不易如反掌!rdquo邻居不屑地说:ldquo做出来给我们看看不要光说大话。rdquo其实泰勒斯利用各方面的知识已经预见橄榄今年必然要获得大丰收。为了回敬这位邻居的诬蔑他就垄断了这一地区的全部榨油机。果然不出所料橄榄获得空前丰收于是人们争相购买榨油机但无一台榨油机出售因为全被泰勒斯事先用低价买下了。于是人们纷纷奔向泰勒斯家泰勒斯用自定的价格出售榨油机还是供不应求就这样泰勒斯获得巨额财富。他用现身说法痛斥了邻居的不敬用事实证明发财不见得比研究天文学更加困难。他终于走上了探讨大自然奥秘的道路。还有一个故事是由普卢塔克记载的叫梭伦的故事也颇为幽默。有一天梭伦到米利都去探望泰勒斯见他还是孤身一人便问道:ldquo泰勒斯你已功成名就为什么不结婚?rdquo泰勒斯当时没有回答。几天之后泰勒斯带着一个陌生人到了梭伦的家中。那陌生人对梭伦说:ldquo十天前我还在雅典呢。rdquo梭伦的妻子儿女均在雅典所以梭伦对雅典很关心便问道:ldquo雅典有什么新闻?rdquo那人说:ldquo有一个青年人的葬礼轰动了全城因为其父是一位尊贵人物。儿子死时父亲不在家他很久以前就出外游历去了。rdquo梭伦急切地问:ldquo他叫什么名字?rdquo那人说已记不清只听说他很聪明、很正直。当惊慌失措的梭伦就要猜出死者是自己儿子的时候泰勒斯笑着说:ldquo这就是我不娶妻生儿的原因这点事连你那么坚强的人都承受不了。不过这个消息完全是虚构的是我们的双簧请不必介意。rdquo梭伦这才如释重负地舒了一口气。其实泰勒斯是比较温和的他之所以对梭伦这样做是因为他们之间是真挚的老朋友开个玩笑而已。泰勒斯言谈幽默并常含哲理。他对于ldquo怎样才能过着正直的生活?rdquo的回答是:ldquo不要做你讨厌别人做的事。rdquo这和中国的ldquo己所不欲勿施于人rdquo如出一辙。有人问泰勒斯:ldquo你见过最奇怪的事情是什么?rdquo他回答道:ldquo长寿的暴君。rdquo又有人问:ldquo你作出一项天文学的发现想得到什么?rdquo他答道:ldquo当你告诉别人时不说是你的发现而说是我的发现这就是对我的最高奖赏。rdquo泰勒斯的影响是巨大的数百年的希腊科学的繁荣泰勒斯的首创之功不可磨灭。泰勒斯的学生在这一时期另一位为后世称颂的古希腊学者要算是泰勒斯的学生提出数学是宇宙万物之本源的毕达哥拉斯。毕达哥拉斯生于公元前年他父亲叫姆内撒克斯是一位很有钱的希腊人。他想让儿子受到很好的教育便请了当时著名的两位老师来教儿子。毕达哥拉斯是一位天才少年在很短时间里他的数学和哲学程度就超过了他的老师。当他还不到岁时就离开家乡到文化发达的地方去寻求知识了。毕达哥拉斯是个纯粹的少年身体修长面孔充满热情他怀着理想和好奇来到了求知的第一站――巴比伦。在巴比伦的几年时间里他学到了许多知识但他并不满足结束了在巴比伦的学习后他又来到另一文明古国――印度。几百年的印度文化深深地吸引着毕达哥拉斯他一头钻进科学的海洋里吮吸着科学之蜜。这是他能够在以后成为著名科学

数学与物理的发端

    科学之王——数学

    古印度数学的传说

    数学是最集中、最深刻、最典型地反映了人类理性和逻辑思维所能达到的高度,所以,11世纪大数学家、物理学家和天文学家高斯说:“数学是科学之王。”

    话说在印度舍罕王时代,舍罕王发出命令:谁能发明一件让人娱乐,又要在娱乐中使人增长知识,使人头脑变得更加聪明的东西,本王就让他终身为官,并且皇宫中的贵重物品任其挑眩于是乎,全国上下能工巧匠纷纷而动,发明创造的一件又一件东西被送到舍罕王的面前,但是没有一件让他满意。

    这是一个风和日丽的早晨,舍罕王闲着无聊,便和众爱卿准备到格拉察湖去钓鱼。舍罕王忽然发现宰相西萨·班·达依尔没有同来,便问道:“宰相干什么去了?”

    “宰相因宫中有一件事未处理好,正在那里琢磨呢。”一个大臣答道。

    舍罕王没有追问下去,便拿起鱼竿钓起鱼来,众爱卿均忙乎着,于是,一枝枝长竿便同指湖心。

    这时,小湖起着微微的涟漪,湖面在阳光照射下,闪烁出金刚钻、绿宝石般的光芒,耀得人直眨眼。垂柳的枝条沐浴在湖水之中,湖岸边长满了菖蒲。

    不一会儿,薄云遮住了太阳,太阳仿佛骤然扭过脸去,不理睬小湖,于是湖泊、村庄和树林全都在刹那间黯淡下来;浮云一过,湖水便又闪闪发光,庄稼简直像镀上一层黄金。

    舍罕王贪婪地吸着这乡野的新鲜空气,眼前的美景使他目不暇接,连鱼竿都横躺在湖面上了。正在这时,有人来报:宰相达依尔飞马来到。

    达依尔匆匆下马,来到舍罕王的面前,禀道:“陛下,为臣在家中琢磨了许多天,终于发明了象棋,不知大王满意否?”

    舍罕王一听此言,连忙说道:“什么象棋,赶快拿来看看。”

    原来这位宰相有着超人的智慧和聪明的头脑,尤其喜爱发明创造以及严密的数学推理。他发明的象棋是国际象棋,整个棋盘是由64个小方格组成的正方形。

    国际象棋共32个棋子,每方各16个,它包括王一枚、王后一枚、仕两枚、马两枚、车两枚、卒八枚。双方的棋子在格内移动,以消灭对方的王为胜。

    舍罕王看到此物后,喜不胜收,连忙招呼其他大臣与他对弈,一时间,马腾蹄、卒拱动,车急驰,不一会,舍罕王大胜。

    舍罕王于是打算重赏自己的宰相,便说道:“官不能再封了,你已做到顶了,如再要封,恐怕只有我让位了。现在重赏你财物,你要些什么?”

    宰相“扑通”跪在国王面前说:“陛下,为臣别无他求,只请您在这张棋盘的第一个小格内,赏给我一粒麦子,在第二个小格内给二粒,第三格内给四粒,第四格内给八粒。总之,每一格内都比前一格加一倍。陛下啊,把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒,都赏给我,我就心满意足了。”

    看来,这位聪明的宰相胃口并不大,于是国王说道:“爱卿,你所求的并不多啊,你当然会如愿以偿的。”

    国王心里为自己对这样一件奇妙的发明,所许下的慷慨赏诺不致破费太多而暗喜。便令人把一袋麦子拿到宝座前。

    计数麦粒的工作开始。第一格放一粒,第二格两粒……,还不到第 20格,袋子已经空了。一袋又一袋的麦子被扛到国王面前。

    但是,麦粒数一格接一格地增长得那样迅速,开始是人扛,后来是马车拉,再后来,干脆一个粮库也填不满一个小格。很快就可以看出,即便拿来全印度的粮食,国王也兑现不了他对宰相许下的诺言了。


    这到底是怎么回事,让我们来算一算这位宰相到底要多少麦粒: 2 3 4 6263 1+2+2+2+2+……+2+2上面这个算式就是宰相所需要的麦粒,让我们用现代的数学方法算出其结果,即: 264 2这个数字不像宇宙间的原子总数那样大,不过也已经够可观的。1蒲式尔(约35.2升)小麦约有500万颗,照这个数,那就得给宰相拿来四万亿蒲式尔才行。

    这位宰相所要求的,竟是全世界在2000年内所生产的全部小麦!

    这样一来,舍罕王觉得自己金言一出,又不能兑现,怎么办?一大臣献计,找个原因杀他的头。宰相西萨·班·达依尔的头就这样被献上数学的祭坛。

    上面这个故事可能是前人所编,只是传说。但它说明一个问题,就是说古印度在数学科学方面,已有相当大的成就。

    中国古代的数学

    中国古代从“结绳记事”时起,就有了初步的数学。古代甲骨文、金文中就有了记数的符号。如有“1”、“11”、“+”等记数法,这些记号可从出土的彩陶上得到证实。

    中国古代的进位制主要是十进位。无论是进位制还是长度都与古人的生理结构直接有关,如人的手指、脚趾都是十个等。

    中国古代对“几何学”的认识也非常早,如他们使用的石器、骨器、陶器以及住宅、坟墓等,都具有一定的几何形状。

    中国古代原始社会晚期对数和形的初步认识,以及他们制做各种形状并有一定比例的用具时,就出现了初等数学的萌芽。

    到了夏、商、周时期,我国的记数方式以十进位的方式从一记到万。如用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万等的组合来记十万以内的自然数。

    在这一时期,商代的数学系统比古巴比伦、古埃及同时代更先进、更科学。

    大约在西周时期,出现了一种十分重要的计算方法——筹算。筹算是用算筹来进行的。算筹是圆形竹棍,直径约0.2厘米,长约14厘米,以271根为一“握”。

    在这一时期,还出现了简单的四则运算,这在数学史上,应该说是一件非常了不起的事情,是一个创举。

    而春秋战国时期数学的进步主要表现在四则运算的完善和计算工具的进步方面。如在出土的战国楚墓里,有一个竹筒,内装毛笔、铜削、天平、砝码、算筹等。

    总之,当时在数学上既有工具,又有符号,还有部分口诀,如把这些成就和其他地区比较,可以明显看出是处于先进地位。

    到了秦汉时期,我国的数学科学有了重大进步,这表现在许多数学专著的出现。这一时期,有我国最早的天文数学专著《周髀算经》、《九章算术》等。

    在《周髀算经》中,有一段被尊为古代圣人的周公同一个名叫商高的数学家的对话,在对话中就提到了勾股弦定理,也即毕达哥拉斯定理。

    这个定理,就是“直角三角形斜边平方等于两个直角边平方之和”,这个定理在中国也被称作是“商高定理”。

    下面简要介绍商高定理部分,周公和商高的部分对话:周公:“我听说你很精通数的艺术。可否请您谈谈古人是怎样测定天球度数的?没有一种梯子可以使人攀登上天,地也无法用尺来测量。这些数据从何而来?”

    商高:“数的艺术从圆形和方形开始,圆形出自方形,而方形又出自矩形,矩形出自9×9=81这个事实。

    “假如把矩形的对角线切开,让宽等于3个单位长,长等于4个单位,那么对角线的长度就是5个单位。古代大禹用来治理天下的方形,就是从这些数字中发展出来的。”

    周公感叹地说:“数学这门艺术真是了不起啊!我想再请教怎样应用直角三角尺?”

    商高:“使直角三角尺平卧在地上,可以用绳子设计出平直的和方形的工程。把直角三

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