1、【截长补短】如图，∠A=60°，BD、CE是△ABC的角均分线，求证：BC=BE+CD．【分析】在BC上找到F使得BF=BE，易证∠BOE=∠COD=60°，即可
证明
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△BOE≌△BOF，可得∠BOF=∠BOE=60°，即可证明△OCF≌△OCD，可得CF=CD，依照BC=BF+CF即可解题．【解答】证明：在BC上找到F使得BF=BE，∵∠A=60°，BD、CE是△ABC的角均分线，∴∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=120°，∴∠BOE=∠COD=60°，在△BOE和△BOF中，，∴△BOE≌△BOF，（SAS）∴∠BOF=∠BOE=60°，∴∠COF=∠BOC﹣∠BOF=60°，在△OCF和△OCD中，，∴△OCF≌△OCD（ASA），CF=CD，∵BC=BF+CF，BC=BE+CD．2、【加倍中线】如图，△ABC中，D为BC的中点．1）求证：AB+AC＞2AD；2）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．【分析】（1）再延伸AD至E，使DE=AD，结构△ADC≌△EDB，再依照三角形的三边关系可得AB+AC＞2AD；（2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得5﹣3＜2AD＜5+3，再计算即可．【解答】（1）证明：由BD=CD，再延伸AD至E，使DE=AD，D为BC的中点，∴DB=CD，在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），BE=AC，在△ABE中，∵AB+BE＞AE，AB+AC＞2AD；2）∵AB=5，AC=3，∴5﹣3＜2AD＜5+3，∴1＜AD＜4．3、【关系指的是数量关系与地点关系】以以下图，在△ABC中，AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．试判断EC与BF的关系，并说明原因．【分析】先由条件能够得出∠EAC=∠BAE，再证明△EAC≌△BAF就能够得出结论．【解答】解：EC=BF，EC⊥BF．原因：∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠EAB=∠CAF=90°，∴∠EAB+∠BAC=∠CAF+∠BAC，∴∠EAC=∠BAE．在△EAC和△BAF中，，∴△EAC≌△BAF（SAS），EC=BF．∠AEC=∠ABF∵∠AEG+∠AGE=90°，∠AGE=∠BGM，∴∠ABF+∠BGM=90°，∴∠EMB=90°，EC⊥BF．4、已知，如图一，∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥DE，CE⊥DE．求证：1）DE=BD+CE．2）如图二，∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥DE，CE⊥DE，我们能猜想获得什么结论？（请直接写出结论）【分析】（1）只需证明△ACE≌△BAD（AAS），获得BD=AE，CE=AD，即可推出DE=AE+AD=BD+CE．2）在图2的情况下：DE=CE﹣BD．证明
方法
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近似．【解答】解：（1）在图1的情况下：DE=BD+CE证明：∵∠DAB+∠EAC=90，∠DAB+∠DBA=90°，∴∠EAC=∠DBA，在△ADB和△CEA中，，∴△ACE≌△BAD（AAS），BD=AE，CE=AD，DE=AE+AD=BD+CE．2）在图2的情况下：DE=CE﹣BD．原因：：∵∠DAB+∠EAC=90，∠DAB+∠DBA=90°，∴∠EAC=∠DBA，在△ADB和△CEA中，，∴△ACE≌△BAD（AAS），BD=AE，CE=AD，DE=AD﹣AE=CE﹣BD．5、【同角的余角相等】如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点F，且AB=DE．1）求证：BD=BC；2）若BD=6cm，求AC的长．【分析】（1）欲证明BD=BC，只需证明△ABC≌△EDB即可．2）由E是BC中点，BD=6cm，BD=BC，推出BE=BC=BD=3cm，由△ABC≌EDB，获得AC=BE，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，∴∠BFE=90°，∴∠ABC+∠DEB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ABC+∠A=90°，∴∠A=∠DEB，在△ABC和△EDB中，，∴△ABC≌△EDB，BD=BC．2）解：∵E是BC中点，BD=6cm，BD=BC，∴BE=BC=BD=3cm，∵△ABC≌△EDB，AC=BE=3cm．6、【同角的余角相等】已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC上，且BD=AC，过点D作DE⊥AB于点E，过点B作CB的垂线，交DE的延伸线于点F．求证：AB=DF．【分析】依照余角的性质获得∠A=∠BDE，依照全等三角形的判判断理获得△ABC≌△BDF，由全等三角形的性质即可获得结论．【解答】证明：∵∠ACB=∠FBD=∠90°，DE⊥AB，∴∠A+∠ABC=∠ABC+∠BDE=90°，∴∠A=∠BDE．在△ABC与△BDF中，，∴△ABC≌△BDF，AB=DF．7、【动点问题】如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．若是点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP可否全等，请说明原因．2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？【分析】（1）经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，由已知可得BD=PC，BP=CQ，ABC=∠ACB，即据SAS可证得△BPD≌△CQP．2）可设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等，则可知PB=3tcm，PC=8﹣3tcm，CQ=xtcm，据（1）同理可合适BD=PC，BP=CQ或BD=CQ，BP=PC时两三角形全等，求x的解即可．【解答】解：（1）经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，∵△ABC中，AB=AC，∴在△BPD和△CQP中，，∴△BPD≌△CQP（SAS）．2）设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等；则可知PB=3tcm，PC=8﹣3tcm，CQ=xtcm，AB=AC，∴∠B=∠C，依照全等三角形的判判断理SAS可知，有两种情况：①当BD=PC，BP=CQ时，②当BD=CQ，BP=PC时，两三角形全等；①当BD=PC且BP=CQ时，8﹣3t=5且3t=xt，解得x=3，∵x≠3，∴舍去此情况；②BD=CQ，BP=PC时，5=xt且3t=8﹣3t，解得：x=；故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等．
浙公网安备 33021202002483