完全平方定律和平方差定律应用

_完全平方公式和平方差公式的应用公式：语言叙述：两数的。公式结构特点：左边：右边：熟悉公式：公式中的a和b既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。(5+6x)(5-6x)中是公式中的a，是公式中的b(5+6x)(-5+6x)中是公式中的a，是公式中的b(x-2y)(x+2y)填空：1、(2x-1)()=4x2-12、(-4x+)(-4x)=16x2-49y2第一种情况：直接运用公式1.（a+3）(a-3)2..(2a+3b)(2a-3b)3.(1+2c)(1-2c)4.(-x+2)(-x-2)第二种情况：运用公式使计算简便1、1998×20022、498×5023、999×10014、1.01×0.995、30.8×29.26、（100-12）×（99-）18337、（20-）×（19-）99第三种情况：两次运用平方差公式1、（a+b）(a-b)(a2+b2)2、(a+2)(a-2)(a2+4)1)(x2113、(x-+)(x+)242第四种情况：需要先变形再用平方差公式1、（-2x-y）(2x-y)2、(y-x)(-x-y)3.(-2x+y)(2x+y)4.(4a-1)(-4a-1)_5.(b+2a)(2a-b)6.(a+b)(-b+a)7.(ab+1)(-ab+1)第五种情况：每个多项式含三项1.（a+2b+c）(a+2b-c)2.(a+b-3)(a-b+3)3.x-y+z)(x+y-z)4.(m-n+p)(m-n-p)完全平方公式公式：语言叙述：两数的.。公式结构特点：左边：右边：熟悉公式：公式中的a和b既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。公式变形1、a2+b2=(a+b)2=(a-b)22、（a-b）2=(a+b)2;(a+b)2=(a-b)23、(a+b)2+（a-b）2=4、(a+b)2--（a-b）2=一、计算下列各题：1、(xy)22、(3x2y)23、(1ab)24、(2t1)225、(3ab1c)26、(2x3y)27、(1x1)28、(0.02x+0.1y)23322二、利用完全平方公式计算：（1）1022（2）1972三、计算：（1）(x3)2x2（2）y2(xy)2（3）xy2xy(xy)四、计算：（1）(a3)(a3)(a1)(a4)（2）(xy1)2(xy1)2（3）(2a3)23(2a1)(a4)_五、计算：（1）(ab3)(ab3)（2）(xy2)(xy2)（3）(ab3)(ab3)（4）x2y3zx2y3z六、拓展延伸巩固提高1、若x24xk(x2)2，求k值。2、若x22xk是完全平方式，求k值。3、已知a13，求a21的值aa2巧用平方差公式解题平方差公式(ab)(ab)a2b2用语言可叙述为：两数之和与两数之差的积等于这两数的平方差。在解题过程中，若能灵活运用平方差公式，可使问题化繁为简，化难为易，复杂问题迎刃而解，现举例解析如下参考：例1、计算：(501)2(4910)21111a看作501，将b看作4910解析：若先算平方，再求差，则复杂繁琐，而将，逆用平方差公式，1111则问题化繁为简，事半功倍(501)2(4910)2=(5014910)(5014910)10022001111111111111111例2、计算：100299.9100.1解析：先算平方和积，再求差，比较麻烦，而将99.9100.1变形为(1000.1)(1000.1)，再运用平方差公式，则问题迅速获解100299.9100.1=1002(1000.1)(1000.1)1002(10020.12)0.01例3、计算：2006222007222005解析：直接计算，数值较大，可先将分母20052200722变形为(200521)(200721)，再逆用平方差公式，则问题迅捷可解_22原式=2006200621)21)(20051)(20051)(20071)(20071)(2005(2007200622006220062120062004200620082006(20042008)2200620062例4、计算：(112)(112)(112)(112)23410解析：这道题项数较多，数值较大，各个括号逐一计算，比较麻烦，令人望而生畏而逆用平方差公式，将各括号展开交错约分可使问题巧妙获解原式=(111111)(1111))(1)(1)(1)(14)(1)(110223341013243591111111=233441010210202例5、试确定2(31)(321)(341)(381)(3161)(3321)(3641)1的未位数解析：这个问题看起来比较复杂，项数多，数值大，根据算式的结构特征，将2变形为（3-1）再连续运用平方差公式，可使问题柳暗花明，迎刃而解。原式=(31)(31)(321)(341)(381)(3161)(3321)(3641)1=(321)(321)(341)(381)(3161)(3321)(3641)1=(341)(341)(381)(3161)(3321)(3641)1=(3641)(3641)1=3128113128(34)328132因为未位数是1的任何次幂的未位数还是1所以2(31)(321)(341)(381)(3161)(3321)(3641)1未位数是1计算：（1）、9.910.1（2）、2006220052007（3）、10.129.92（4）、试确定(21)(221)(241)(281)(2161)(2321)(2641)1的未位数完全平方公式的变形和应用一、完全平方公式常见的变式（1）(ab)2(ab)24ab（2）a2b2(ab)22ab（3）(ab)2(ab)22(a2b2)_（4）ab(ab)2(a2b2)2（5）a21(a1)22a2a二、完全平方公式变形的应用例1已知ab8,ab16c2，求(abc)2008的值。解：由变式（1）得：(ab)2(ab)24ab824(16c2)4c2所以所以(ab)24c20所以ab0,c0(abc)20080例2已知(xy)27,(xy)23,求x2y2的值。解：由变式（3）得：x2y2(xy)2(xy)273522例3已知xy1,x2y22,求x4y4的值。解：由变式（4）得：2xy(xy)2(x2y2)1221所以xy12再由变式（2）得：x4y4(x2y2)22x2y2222(1)24172122例4已知x23x10，求x4的值。解：由题意知x0x4在x23x10的两边都乘以1得：1xx3x由变式（5）得：x21(x1)22(3)227x2x_412122xx4(xx2)27247例1若x,y为有理数，且满足x23y212y120，求yx的值．分析：欲求yx的值，须求出x,y的值．由题知，把已知式子进行配方，再利用非负数的性质便可达到解题目的．解：x23y212y120，x23(y24y4)0，x23(y2)20，∵x2≥0,(y2)2≥0，∴x20,(y2)20，即x0,y2，∴yx=20=1．例2已知ab2,bc5，求a2b2c2abbcac的值．分析：显然，本题若按一般方法，即先求出a,b,c的值，再代入多项式求值，将十分困难．而我们发现，将求值式乘以2，则会出现完全平方式，其中也恰恰含有条件式．因此，解决本题的关键是如何利用“配方法”将多项式进行变形，从而能够运用已知条件求解．解：∵ab2,bc5，∴ac3，∴a2b2c2abbcac=1(2a22b22c22ab2bc2ac)12=ab2b2a22cc=1225232=19．2例3试说明不论x,y为何值时,代数式x2y24x6y14的值总是正数.分析：本题实质就是证明x2y24x6y14>0.观察代数式不难发现，将14拆成4、9与1的和，则立即出现了两个完全平方式，然后再结合非负数的性质便可达到目的．解:x2y24x6y14=x24x4y26y91=(x2)2(y3)21∵(x2)2≥0,(y3)2≥0,∴(x2)2(y3)21>0.即代数式x2y24x6y14的值总是正数._平方差公式A卷：基一、1．平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2中字母a，b表示（）A．只能是数B．只能是式C．只能是多式D．以上都可以2．下列多式的乘法中，可以用平方差公式算的是（）A．（a+b）（b+a）B．（－a+b）（a－b）11a）D．（a2－b）（b2+a）C．（a+b）（b－333．下列算中，的有（）①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2；③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）（·x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2．A．1个B．2个C．3个D．4个4．若x2－y2=30，且x－y=－5，x+y的是（）A．5B．6C．－6D．－5二、填空5．（－2x+y）（－2x－y）=______．6．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4．7．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2．8．两个正方形的之和5，之差2，那么用大的正方形的面减去小的正方形的面，差是_____．三、算19．利用平方差公式算：20×21．310．算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）．卷：提高一、七彩1．（多－思路）算：（1）（2+1）（22+1）（24+1）⋯（22n+1）+1（n是正整数）；（2）（3+1）（32+1）（34+1）⋯（32008+1）－34016．22．（一多）利用平方差公式算：2009×2007－20082．（1）一：利用平方差公式算：2007．2008200722006_20072（2）二：利用平方差公式算：．200820061二、知交叉3．（科内交叉）解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）．三、用4．广内有一2a米的正方形草坪，一划后，南北方向要短3米，西方向要加3米，改造后的方形草坪的面是多少？四、典中考5．下列运算正确的是（）A．a3+a3=3a6B．（－a）3·（－a）5=－a8C．（－2a2b）·4a=－24a6b3112－12D．（－a－4b）（a－4b）=16b9a336．算：（a+1）（a－1）=______．卷：新型1．（律探究）已知x≠1，算（1+x）（1－x）=1－x2，（1－x）（1+x+x2）=1－x3，1－x）（?1+x+x2+x3）=1－x4．1）察以上各式并猜想：（1－x）（1+x+x2+⋯+xn）=______．（n正整数）2）根据你的猜想算：①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______．②2+22+23+⋯+2n=______（n正整数）．③（x－1）（x99+x98+x97+⋯+x2+x+1）=_______．（3）通以上律你行下面的探索：①（a－b）（a+b）=_______．②（a－b）（a2+ab+b2）=______．③（a－b）（a3+a2b+ab2+b3）=______．2．（开放）写出一个平方差公式，使其中含有字母m，n和数字4．3.从a的大正方形板中挖去一个b的小正方形板后，?将剩下的板沿虚裁成四个相同的等腰梯形，如1－7－1所示，然后拼成一个平行四形，如1－7－2所示，分算两个形阴影部分的面，果了什么公式？将果与同伴交流一下．完全平方公式形的用完全平方式常的形有:a2b2(ab)22aba2b2(ab)22ab（a2(ab)24abb）a2b2c2(abc)22ab2ac2bc1、已知m2+n2-6m+10n+34=0，求m+n的2、已知x2y24x6y130，x、y都是有理数，求xy的。_3．已知(ab)216,ab4,求a2b2与(ab)2的值。3练一练A组：1．已知(ab)5,ab3求(ab)2与3(a2b2)的值。2．已知3、已知ab6,ab4求ab与a2b2的值。ab4,a2b24求a2b2与(ab)2的值。4、已知(a+b)2=60，(a-b)2=80，求a2+b2及ab的值组：5．已知ab6,ab4，求a2b3a2b2ab2的值。6．已知x2y22x4y50，求1(x1)2xy的值。127．已知x6，求x21的值。xx21（2）x418、x23x10，求（1）x2x2x49、试说明不论x,y取何值，代数式x2y26x4y15的值总是正数。C组:10、已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c且a,b,c满足等式3(a2b2c2)(abc)2，请说明该三角形是什么三角形？整式的乘法、平方差公式、完全平方公式、整式的除法(B卷)一、请准确填空1、若a2+b2－2a+2b+2=0,则a2004+b2005=________.2、一个长方形的长为(2a+3b),宽为(2－3b),则长方形的面积为________.a3、5－(a－b)2的最大值是________，当5－(a－b)2取最大值时，a与b的关系是________.4.要使式子0.36x2+1y2成为一个完全平方式，则应加上________.45.(4am+1－6am)÷2am－1=________.6.29×31×(302+1)=________.7.已知x2－5+1=0,则x2+1=________.xx28.已知(2005－a)(2003－a)=1000,请你猜想(2005－a)2+(2003－a)2=________.二、相信你的选择9.若x2－x－m=(x－m)(x+1)且x≠0,则m等于A.－1B.0C.1D.2110.(x+q)与(x+)的积不含x的一次项，猜测q应是5_11A.5B.C.－D.－555下列四个算式:①4x2y4÷14xy=xy3;②16a6b4c÷8a3b2=2a2b2c;③9x8y2÷3x3y=3x5y;④(12m3+8m2－4m)÷(－2m)=－6m2+4m+2，其中正确的有A.0个B.1个C.2个D.3个设(xm－1yn+2)·(x5my－2)=x5y3,则mn的值为A.1B.－1C.3D.－3计算［(a2－b2)(a2+b2)］2等于A.a4－2a2b2+b4B.a6+2a4b4+b6C.a6－2a4b4+b6D.a8－2a4b4+b814.已知(+b)2=11,ab=2,则(－b)2的值是aaA.11B.3C.5D.1915.若x2－7xy+M是一个完全平方式，那么M是A.7y2B.49y2C.49y2D.49y2224若x,y互为不等于0的相反数，n为正整数,你认为正确的是nn一定是互为相反数1n、(1n一定是互为相反数A.x、yB.())xyC.x2n、y2n一定是互为相反数D.x2n－1、－y2n－1一定相等三、考查你的基本功计算(1)(a－2b+3c)2－(a+2b－3c)2;(2)［ab(3－b)－2a(b－1b2)］(－3a2b3);2(3)－2100×0.5100×(－1)2005÷(－1)－5;(4)［(x+2y)(x－2y)+4(x－y)2－6x］÷6x.18.(6分)解方程x(9x－5)－(3x－1)(3x+1)=5.四、生活中的数学19.(6分)如果运载人造星球的火箭的速度超过11.2km/s(俗称第二宇宙速度)，则人造星球将会挣脱地球的束缚，成为绕太阳运行的恒星.一架喷气式飞机的速度为1.8×106m/h,请你推算一下第二宇宙速度是飞机速度的多少倍？五、探究拓展与应用计算.(2+1)(22+1)(24+1)=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)=(22－1)(22+1)(24+1)_=(24－1)(24+1)=(28－1).根据上式的算方法，算364(3+1)(32+1)(34+1)⋯(332+1)－的.2“整体思想”在整式运算中的运用“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，穿于中学数学的全程，有些局部求解各个破，无法解决，而从全局着眼，整体思考，会使化繁，化易，思路清淅，演算，复迎刃而解，就“整体思想”在整式运算中的运用，略几例解析如下，供同学参考：1、当代数式x2x,求代数式3x29x2的.35的72、已知a3x20，b3x18，c3x16，求：代数式a2b2c2abacbc的888。3、已知xy4，xy1，求代数式(x21)(y21)的4、已知x2，代数式ax5bx3cx810，求当x2，代数式ax5bx3cx8的5、若M123456789123456786，N123456788123456787比M与N的大小6、已知a2a10，求a32a22007的.平方差公式基一、1.下列多式乘法，能用平方差公式行算的是()A.(x+y)(－x－y)B.(2x+3y)(2x－3z)C.(－a－b)(a－b)D.(m－n)(n－m)2.下列算正确的是()A.(2x+3)(2x－3)=2x2－9B.(x+4)(x－4)=x2－4C.(5+x)(x－6)=x2－30D.(－1+4b)(－1－4b)=1－16b2_3.下列多项式乘法，不能用平方差公式计算的是()A.(－a－b)(－b+a)B.(xy+z)(xy－z)C.(－2a－b)(2a+b)D.(0.5x－y)(－y－0.5x)4.(4x2－5y)需乘以下列哪个式子，才能使用平方差公式进行计算()A.－4x2－5yB.－4x2+5yC.(4x2－5y)2D.(4x+5y)25.a4+(1－a)(1+a)(1+a2)的计算结果是()A.－1B.1C.2a4－1D.1－2a4C.(x－y)(x+25y)D.(x－5y)(5y－x)平方差公式提高题一、选择题:1.下列式中能用平方差公式计算的有()11y),②(3a-bc)(-bc-3a),③(3-x+y)(3+x+y),④(100+1)(100-1)①(x-y)(x+22A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列式中,运算正确的是()①(22a)24a2,②(1x1)(11x)11x2,③(m1)2(1m)3(m1)5,339④2a4b82a2b3.A.①②B.②③C.②④D.③④3.乘法等式中的字母a、b表示()A.只能是数B.只能是单项式C.只能是多项式D.单项式、?多项式都可以二、解答题4.计算(a+1)(a-1)(a2+1)(a4+1)(a8+1).11111计算:(1)(122)(124)(128)15.225.计算:10029929829722211.6.(1)化简求值:(x+5)2-(x-5)2-5(2x+1)(2x-1)+x·(2x)2,其中x=-1.(2)解方程5x+6(3x+2)(-2+3x)-54(x-1)(x+1)=2.33_11112)(117.计算:(12)(12)(12)(1992)234100