主讲教师：第8章无穷级数级数的概念与性质常数项级数审敛法幂级数123正项级数及其审敛法任意项级数及其审敛法数项级数审敛法小结若则称为正项级数.即：部分和数列特征：于是有：正项级数收敛的充要条件正项级数收敛部分和序列有界.若收敛,∴部分和数列有界,故从而又已知故有界.单调递增,收敛,也收敛,证毕.判断级数的敛散性是级数研究中的最基本问
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，下面介绍级数的三大审敛法：即部分和数列有界，审敛法1——比较法(1)如果收敛，则收敛。(2)如果发散，则发散。_1016259342.unknown_1016259403.unknown不是有界数列。 因为,从而 而级数发散（调和级数），由比较审敛法可知原级数发散． 讨论级数的敛散性，(其中是实数)．把（1），此时（2）(3)由图可知(4)综上可得：仔细比较体会(1)(2)的内涵，是否可以这样理解：级数是离散的积分，积分是连续的求和呢？例3判定级数的敛散性．解:因为一般项所以原级数也收敛．【注】（1）使用比较法的关键是找到合适的参照级数；（2）调和、等比和P-级数是最常用的参照级数。因在级数前加、减有限项不改变其敛散性，那么会有什么结论呢？(1)若收敛，则收敛；(2)若发散，则发散。_1016259342.unknown_1016259403.unknown定理8.4比较法——极限形式（更加方便）其中0<l<∞，则级数与同时收敛，同时发散。解：因为故原级数发散．发散，有什么结论呢？对正项级数设为正项级数,_990253121.unknown如果(或),则级数发散;_990253157.unknown_990253215.unknown_990253121.unknown如果有,使得存在,_990253261.unknown_990253302.unknown比值审敛法的优点:不必找参考级数.比较审敛法的缺点:必须找参考级数.定理8.5审敛法2——比值法【注】级数中含有“阶乘”时，通常使用比值法。设是正项级数,_990253121.unknown例5判别下列级数的收敛性: (1);(2)。_990272774.unknown_990272789.unknown例6解： 根据比值法可知原级数发散．判别级数的收敛性.比值审敛法失效,改用比较审敛法例7【注】判别法失效，并不意味着级数不收敛。判别级数的收敛性._990272945.unknown由数学分析知识有结论：定理8.6（审敛法3—根值法）【备注】比值和根值审敛法一个失效时，另一个也失效。解: 【推广】否是比较法设正项级数收敛,能否推出收敛?反之是否成立？提示:由比较判敛法可知收敛.注意:反之不成立.例如,收敛,发散.解答（A） 收敛，其和为零（B） 收敛但和不一定为零（C） 发散（D） 可能收敛，可能发散1.选择题:的敛散情况是（）（4）下列级数收敛的是（）（5）下列级数收敛的是（）（6）下列级数收敛的是（）（7）下列级数发散的是（）（8）下列级数收敛的是（）（9）下列级数收敛的是（）
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