全等三角形问题中常有的协助线的作法(含答案)总论：全等三角形问题最主要的是结构全等三角形，结构二条边之间的相等，结构二个角之间的相等【三角形协助线做法】图中有角均分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称此后关系现。角均分线平行线，等腰三角形来添。角均分线加垂线，三线合一试一试看。线段垂直均分线，常向两头把线连。要证线段倍与半，延伸缩短可试验。三角形中两中点，连结则成中位线。三角形中有中线，延伸中线等中线。等腰三角形“三线合一”法：碰到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题倍长中线：倍长中线，使延伸线段与原中线长相等，结构全等三角形角均分线在三种添协助线垂直均分线联系线段两头用“截长法”或“补短法”：碰到有二条线段长之和等于第三条线段的长，图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后组成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：碰到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是组成30-60-90的特别直角三角形，尔后计算边的长度与角的度数，这样能够获取在数值上相等的二条边或二个角。进而为证明全等三角形创办边、角之间的相等条件。8.计算数值法：碰到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特别直角三角形，或40-60-80的特别直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样能够获取在数值上相等的二条边或二个角，进而为证明全等三角形创办边、角之间的相等条件。常有协助线的作法有以下几种：最主要的是结构全等三角形，结构二条边之间的相等，二个角之间的相等。1)碰到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思想模式是全等变换中的“对折”法结构全等三角形．2)碰到三角形的中线，倍长中线，使延伸线段与原中线长相等，结构全等三角形，利用的思想模式是全等变换中的“旋转”法结构全等三角形．3)碰到角均分线在三种添协助线的方法，（1）能够自角均分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思想模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点经常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）能够在角均分线上的一点作该角均分线的垂线与角的两边订交，形成一对全等三角形。（3）能够在该角的两边上，距离角的极点相等长度的地点上截取二点，尔后从这两点再向角均分线上的某点作边线，结构一对全等三角形。4)过图形上某一点作特定的均分线，结构全等三角形，利用的思想模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，详细做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延伸，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．6)已知某线段的垂直均分线，那么能够在垂直均分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特别方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各极点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线（线段）造全等例1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.解：延伸AD至E使AE＝2AD，连BE，由三角形性质知AAB-BE<2AD
BF=BA+AF=BA+AC进而PB=BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=P例2如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.证明：取BC中点M,连AM并延伸至N,使MN=AM,连BN,DN.BD=CE,∴DM=EM,∴△DMN≌△EMA(SAS),∴DN=AE,同理BN=CA.延伸ND交AB于P,则BN+BP>PN,DP+PA>AD,相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD,各减去DP,得BN+AB>DN+AD,AB+AC>AD+AE。四、借助角均分线造全等1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角均分线AD,CE订交于点O，求证：OE=OD，DC+AE=AC证明(角均分线在三种添协助线,计算数值法)∠B=60度,则∠BAC+∠BCA=120度;AAD,CE均为角均分线,则∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD;AOC=120度.在AC上截取线段AF=AE,连结OF.又AO=AO;∠OAE=∠OAF.则⊿OAE≌ΔOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;AOF=∠AOE=60度.EOBCD则∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD;又CO=CO;∠OCD=∠OCF.故⊿OCD≌ΔOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如图，△ABC中，AD均分∠BAC，DG⊥BC且均分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.1）说明BE=CF的原因；（2）若是AB=a，AC=b，求AE、BE的长.解：(垂直均分线联系线段两头)连结BD，DCDG垂直均分BC，故BD＝DCA由于AD均分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，故有EED＝DFBGCF故RT△DBE≌RT△DFC（HL）D故有BE＝CF。AB+AC＝2AEAE＝（a+b）/2BE=(a-b)/2应用：1、如图①，OP是∠MON的均分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参照这个作全等三角形的方法，解答以下问题：（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的均分线，AD、CE订交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；2）如图③，在△ABC中，若是∠ACB不是直角，而(1)中的其余条件不变，请问，你在(1)中所得结论可否仍旧建立？若建立，请证明；若不建立，请说明原因。BMBEEFDFDOPACC图①NA图③图②(第23题图)解：（1）FE与FD之间的数量关系为FEFD（2）答：（1）中的结论FEFD仍旧建立。证法一：如图1，在AC上截取AGAE，连结FG12，AF为公共边，∴AEFAGF∴AFEAFG，FEFG∵B60，AD、CE分别是BAC、BCA的均分线2360∴AFECFDAFG60BCFG60EFD34及FC为公共边∴CFGCFDFGFDFEFD证法二：如图2，过点F分别作FGAB于点G，FH∵B60，AD、CE分别是BAC、BCA的均分线∴可得2360，F是ABC的心里∴GEF601，FHFG又∵HDFB1∴GEFHDF∴可证EGFDHF∴FEFD1423AGC图1BC于点HBGDEHF1423AC图2五、旋转例1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.证明：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ADABGF则GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE，AF=AG，因此三角形AEF全等于AEGBEC因此∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90因此∠EAF=45度例2D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。若AB=2，求四边形DECF的面积。解：(计算数值法)（1）连结DC，D为等腰RtABC斜边AB的中点，故有CD⊥AB，CD＝DACD均分∠BCA＝90°，∠ECD＝∠DCA＝45°由于DM⊥DN，有∠EDN＝90°由于CD⊥AB，有∠CDA＝90°进而∠CDE＝∠FDA＝故有△CDE≌△ADF（ASA）故有DE=DFS=2,S=S=1（2）△ABC四DECF△ACD例3如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC1200，以D为极点做一个600角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连结MN，则AMN的周长为；解：(图形补全法,“截长法”或“补短法”,计算数值法)AC的延伸线与BD的延伸线交于点F，在线段CF上取点E，使CE＝BM∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°，又∵BM=CE，BD=CD，∴△CDE≌△BDM，∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，∵在△DMN和△DEN中，DM=DEMDN=∠EDN=60°DN=DN∴△DMN≌△DEN，∴MN=NE∵在△DMA和△DEF中，DM=DE∠MDA=60°-∠MDB=60°-∠CDE=∠EDF(∠CDE=∠BDM)DAM=∠DFE=30°∴△DMN≌△DEN(AAS)，∴MA=FEAMN的周长为AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6应用：1、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，∠ABC120o，∠MBN60o，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延伸线）于E，F．当∠MBN绕B点旋转到AECF当∠MBN绕B点旋转到AECF时（如图1），易证AECFEF．时，在图2和图3这两种情况下，上述结论可否成立？若建立，请赏赐证明；若不建立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．AAABEMBEMBCFDCFDFCDNNNE（图1）（图2）（图3）M解：（1）∵ABAD，BCCD，ABBC，AECF∴ABECBF（SAS）；∴ABECBF，BEBF∵ABC120，MBN60∴ABECBF30，BEF为等边三角形∴BEEFBF，CFAE1BE2AECFBEEF2）图2建立，图3不建立。证明图2，延伸DC至点K，使CKAE，连结BK则BAEBCKA∴BEBK，ABEKBCBEM∵FBE60，ABC120∴FBCABE60KCD∴FBCKBC60F∴KBFFBE60N图2∴KBFEBFKFEFKCCFEF即AECFEF图3不建立，AE、CF、EF的关系是AECFEF2、（西城09年一模）已知:PA=2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;当∠APB变化,且其余条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.分析：（1）作协助线，过点A作AEPB于点E，在RtPAE中，已知APE，AP的值，依照三角函数可将AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在RtABE中，依照勾股定理可将AB的值求出；求PD的值有两种解法，解法一：可将PAD绕点A顺时针旋转90获取PAB，可得PADPAB，求PD长即为求PB的长，在RtAPP中，可将PP的值求出，在RtPPB中，依照勾股定理可将PB的值求出；解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延伸线交于F，交PB于G，在RtAEG中，可求出AG，EG的长，进而可知PG的值，在RtPFG中，可求出PF，在RtPDF中，依照勾股定理可将PD的值求出；（2）将PAD绕点A顺时针旋转90，获取PAB，PD的最大值即为PB的最大值，故当P、P、B三点共线时，PB获取最大值，依照PBPPPB可求PB的最大值，此时APB180APP135．解：（1）①如图，作AEPB于点E∵RtPAE中，APB45，PA2D2C∴AEPE212A∵PB4PEBBEPBPE3在RtABE中，AEB902ABAEBE10②解法一：如图，由于四边形ABCD为正方形，可将将PAD绕点A顺时针旋转90得到PAB，，可得PADPAB，PDPB，PAPAD∴PAP90，APP45，PPB90C∴PP2，PA2P′A∴PDPBPP2PB2224225；解法二：如图，过点P作AB的平行线，与DA的延伸线交于PEBF，设DA的延伸线交PB于G．在RtAEG中，可得AGAEAE10，EG1，PGPEEG2cosEAGcosABE33D3在RtPFG中，可得PFPGcosFPGPGcosABE10，FG10C515在RtPDF中，可得A22PDPF2ADAGFG21010101025G5153PFEB（2）以以下列图，将PAD绕点A顺时针旋转90,获取PAB，PD的最大值，即为PB的最大值∵PPB中，PBPPPB，PP2PA2，PB4且P、D两点落在直线AB的两侧∴当P、P、B三点共线时，PB获取最大值（如图）此时PBPPPB6，即PB的最大值为6此时APB180APP1353、在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为VABC外一点，且MDN60,BDC120,BD=DC.研究：当M、N分别在直线AB、AC上搬动时，BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系．图1（I）如图1，当点M、N边图2AB、AC上，且DM=DN图3时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时Q；L（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还建立吗？写出你的猜想并加以证明；（III）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延伸线上时，若AN=x，则Q=（用x、L
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示）．分析：（1）若是DMDN，DMNDNM，由于BDDC，那么DBCDCB30，也就有MBDNCD603090，直角三角形MBD、NCD中，由于BDDC，DMDN，依照HL定理，两三角形全等。那么BMNC，BMDDMDNDNC，60，三角形NCD中，MDN60，因此三NDC角形30，DN2NCDMN是个等，在三角形DNM中，边三角形，因此MNDN2NCNCBM，三角形AMN的周长QAMANMNAMANMBNCABAC2AB，三角形ABC的周长L3AB，因此Q:L2:3．（2）若是DMDN，我们可经过建立全等三角形来实现线段的变换。延伸AC至E，使CEBM，连结DE．（1）中我们已经得出，MBDNCD90，那么三角形MBD和ECD中，有了一组直角，MBCE，BDDC，因此两三角形全等，那么DMDE，BDMCDE，EDNBDCMDN60．三角形MDN和EDN中，有DMDE，EDNMDN60，有一条公共边，因此两三角形全等，MNNE，至此我们把BM转换成了CE，把MN变换成了NE，由于NECNCE，因此MNBMCN．Q与L的关系的求法同（1），得出的结果是同样的。（3）我们可经过建立全等三角形来实现线段的变换，思路同（2）过D作CDHMDB，三角形BDM和CDH中，由（1）中已经得出的DCHMB90，我们做的角BDMCDH，BDCD，因此两三角形全等（ASA）．那么BMCH，DMDH，三角形MDN和NDH中，已知的条件有MDDH，一条公共边ND，要想证得两三角形全等就需要知道MDNHDN，由于CDHMDB，因此MDHBDC120，由于MDN60，那么NDH1206060，因此MDNNDH，这样就组成了两三角形全等的条件．三角形MDN和DNH就全等了．那么NMNHANACBM，三角形AMN的周长QANAMMNANABBMANACBM2AN2AB．由于ANx，AB1L，因此三角形AMN的周长3Q2x2L．3解：（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系：（2）猜想：结论仍旧建立．证明：如图2，延伸AC至E，使CEBM，连结∵BDCD，且BDC120∴DBCDCB30又ABC是等边三角形∴MBDNCD90在MBD与ECD中BMNCMN；此时Q2．L3ADEMNBCND图1BMCEAMBDECDBDDC∴MBDECD（SAS）BCN∴DMDE，BDMCDEM∴EDNBDCMDN60DE在MDN与EDN中图2ADMDEMDNEDNDNDNB∴MDNEDN（SAS）MD∴MNNENCBM图3故AMN的周长QAMANMNAMBMANNCABAC2AB而等边ABC的周长L3AB∴Q2AB2L3AB3（3）如图3，当M、N分别在AB、CA的延伸线上时，若ANx，则Q2x2L（用3x、L表示）．议论：本题察看了三角形全等的判断及性质；题目中线段的变换都是依照全等三角形来实现的，当题中没有显然的全等三角形时，我们要依照条件经过作协助线来建立于已知和所求条件有关的全等三角形。HCDDCCAP′APBP′PB【全等三角形经典题型】4.小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图1所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去玻璃店，就能配一块与原来同样大小的三角形？应当带（）A．第1块B．第2块C．第3块D．第4块第4题图23.（8分）已知，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是AB边上的中点，点E在AC边上，点F在BC边上，且AE=CF。试试究DE、DF两条线段之间的关系，并说明原因。第23题图24.（8分）用两个全等的等边三角形ABC和ACD拼成四边形ABCD，把一个含60角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的60角的极点与点A重合，两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转。（1）当三角尺的两边分别于四边形的两边BCCD相较于点EF时（如图a），经过观、、察或测量BE、CF的长度，你能得出什么结论？并说明原因。（2）当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD的延伸线相较于点E、F时（如图b），你在（1）中获取的结论还建立吗？并说明原因。25.（10分）（1）如图（1），正方形ABCD中，E为边CD上一点，连结AE，过点A作AF⊥AE交CB的延伸线于F，猜想AE与AF的数量关系为。（说明理由）（2）如图（2）在（1）的条件下，连结AC，过点A作AM⊥AC交CB的延伸线于M，察看并猜想CE与MF的数量关系。（不用说明原因）解决问题：①王师傅有一块以以下列图的板材余料，其中∠A=∠B=90°，AB=AD。王师傅想切下一刀后把它拼成正方形。请你帮王师傅在图（3）中画出剪拼得表示图。②王师傅现在有两块同样大小的该余料，可否在每块上各切一刀，尔后拼成一个大的正方形呢？若能，请你画出剪拼的表示图：若不能够，简要证明原因。20、（本题满分6分）如图，线段AB经过线段CD的中点E，且ACAD.求证：BCBDAECDB第20题25、（本题满分10分）如图，ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACBDCE90.点A、D、E在同一条直线上，CM为DCE中边上的高，连结BE.1）求AEB的度数2）猜想线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明原因.CEMDAB第25题26、（本题满分10分）在等腰直角三角形ABC中，BAC90，ABAC,直线MN过点A且MN∥BC，以点B为一锐角极点作RTBDE，BDE90，且点D在直线MN上（不与点A重合）.（1）如图1，DE与AC交于点P，小明发现：过点D作AD的垂线交AB于点F，能够证明出BDDP.你也能证明出吗BDDP？请你写出证明过程.（2）在图2中，DE与AC延伸线交于点P，BDDP可否建立？若是建立，请赏赐证明；若是不建立，请说明原因；3）在图3中，DE与AC延伸线交于点P，BD与DP可否相等？请直接写出你的结论，无需证明.PEMDANDANMADNMPEBCBCBC图1图2图3P第26题E4、具备以下条件的两个三角形，不能够判断全等的是（）、两边及其夹角分别相等的两个三角形B、两角及其夹边分别相等的两个三角形C、三边分别相等的两个三角形D、两边且其中一条对应边的对角对应相等的两个三角形19（6分）如图，点E，F在BC上，BECF，ABDC，BC.求证：AD。ADBEFC（第19题图）23.（8分）如图，在△ABC中，ABAC2，BC40，点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连结AD，作ADE40，DE交线段AC于E。（1）当BAD20时，EDC=________；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE?请写出证明过程；（3）△ADE能成为等腰三角形吗？若能，请直接写出此时BAD的度数；若不能够，请说明原因。AEBCD第24题图如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的地点时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的地点时，求证：DE=AD-BE；当直线MN绕点C旋转到图3的地点时，试问DE、AD、BE拥有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.MMMCDCCENDEABABABED图11-93-1图11-93-2NN图11-93-3如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延伸AE交BC的延伸线于点F.求证：（1）FC=AD；2）AB=BC+AD
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