1[1].函数思想

指导数学解题的 七个数学思想 　 函数与方程的思想 分类与整合的思想 数与形结合的思想 　化归与转化的思想 特殊与一般的思想 　有限与无限的思想 或然与必然的思想 对于如何解题这样一个经常遇到又十分普通的问题,不同的人有不同的处理方法. 有的人在解题时,只是就题论题,把解题的兴奋点集中在题型与方法的形式主义的对号和单纯的演算上,因而他关心的是题目的模式和题型加方法的解题套路, 常常遇到这样的场面：在解某一道题目时，同学甲是构造一个函数解决的，而同学乙没能解出来，当同学甲向同学乙介绍自己的解法时，同学乙会感慨地说：“我这么没有想到呢？”，在解一道选择题时，同学丙是通过计算解出来的，用了三分钟，而同学丁则是通过画图解决的，用了一分钟，这时，同学丙也会感慨地说：“我这么没有想到呢？”，这里的想到和没想到，本质上就是具备不具备数学思想，会不会用数学思想指导解题，同学乙实际上是没有考虑到用函数思想解题，没有用函数和变量去思考，而同学丙则是对数形结合的数学思想不能运用自如. 这两个同学都是在解题中没有去注意数学的本质,没有用数学的基本思想去 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 题目,指导解题.正如美国杰出的数学家R.柯朗(Richard Courant)在他的名著《什么是数学》的序言所讲的“近些年来,在许多事情的推动下,人们对数学知识与训练的需要日益增加.现今,除非学生和教师设法超越数学的形式主义,并努力去把握数学的实质,否则产生挫折和幻灭的危险将会更甚.”“数学教学有时竟演变成空洞的解题训练,这种训练虽然可以提高形式推导的能力,却不能导致真正的理解与深入的独立思考.”因此,要提高解题的能力和水平,首先就要站在较高的观点上去研究解题,就要从数学本质上去看待解题,就要在解题的规程中体现数学思想并注意发挥数学思想的功能. 数学思想是数学的基本观点,是对数学概念、数学方法和数学发现等的本质认识,在解题中主要运用的数学思想有函数与方程的思想，数形结合的思想，分类与整合的思想，化归与转化的思想，特殊与一般的思想，有限与无限的思想和或然与必然的思想等. 这些数学思想的名称与通常学习的数学概念或数学方法的名称有一些虽然相同,但是,数学概念和数学方法本身并不等于数学思想,它们之间有联系,又有区别,这些区别主要表现在不同的层次上.例如,学习了函数的定义和性质,并能基本运用,并不一定具备函数思想,当题目明确了所研究的对象是函数时,你可能会想到运用这个函数的性质去解决问题,如果没有明确所研究的对象是函数的时候，你是否想到用函数与变化的观点去思考与解决问题呢？又如，解方程中的消元法，恒等变形中的配方法，三角函数中的诱导公式，几何中的割补法等都是把问题向简单方向转化的具体方法，是化归与转化思想的具体体现，但是，化归与转化思想相对于消元法，配方法，诱导公式和割补法等来说，具有较高的层次。这就是说，数学中的一些具体方法都是在数学思想的指导下产生的，我们在解题的时候，如果能够站在数学思想的高度，抓住数学中最本质的东西去思考，就会高屋建瓴，就会使解题更加科学与合理，就会使解题从被动变为主动，就会形成较为完善的解题系统. 让我们从一道高考试题的解题过程，体会一道数学题时如何在数学思想的指导下完成的. 【例】(2004年福建卷,文)已知 在区间 上是增函数. (Ⅰ) 求实数 的值组成的集合 ; (Ⅱ) 设关于 的方程 的两个非零实根为 .试问:是否存在实数 ,使得不等式 对任意 及 恒成立?若存在,求 的取值范围; 若不存在,请说明理由. _1154861845.unknown _1154861849.unknown _1154861851.unknown _1154861852.unknown _1284956939.unknown _1154861850.unknown _1154861847.unknown _1154861848.unknown _1154861846.unknown _1154861843.unknown _1154861844.unknown _1154861841.unknown 【分析及解】这是一道以三次函数形式呈现出来的函数问题. 首先解决第(Ⅰ)问.这一问相当于 在区间 上是增函数, 求实数 的取值范围. , 由已知, 在区间 上是增函数,等价于 对 恒成立. 即 对 恒成立. 这是一个含参数的不等式的问题,如何处理这一问题呢? 首先是函数思想起了作用.把 看作函数.记 . 要使 对 恒成立,只要 就可以了. 所以问题转化为求 的最大值. _1154861856.unknown _1154861860.unknown _1154861865.unknown _1154861867.unknown _1154861868.unknown _1154861869.unknown _1154861866.unknown _1154861863.unknown _1154861864.unknown _1154861862.unknown _1154861858.unknown _1154861859.unknown _1154861857.unknown _1154861854.unknown _1154861855.unknown _1154861853.unknown 由于 时, 为减函数, 时, 为增函数,因此,又要对 的对称轴相对于区间 的中点的不同位置进行分类讨论. 当 时,由 的图象(图1)可以看出, 最大. 解不等式组 得 当 时,由 的图象（图2）可以看出, 最大. 解不等式组 EMBED Equation.3 得 综合以上得 .即 . _1154861875.unknown _1154861882.unknown _1154861885.unknown _1154861887.unknown _1284894588.unknown _1284894619.unknown _1154861888.unknown _1154861886.unknown _1154861883.unknown _1154861880.unknown _1154861881.unknown _1154861877.unknown _1154861871.unknown _1154861873.unknown _1154861874.unknown _1154861872.unknown _1154861869.unknown _1154861870.unknown _1154861867.unknown 如果对函数图象比较熟悉的话,可以知道, 在 上的最大值只能在区间的端点得到,因此只要解 就可以得到 . _1154861891.unknown _1154861892.unknown _1154861893.unknown _1154861890.unknown 下面研究第(Ⅱ)问. 关于 EMBED Equation.3 的方程可以化为 EMBED Equation.3 . 解得 和 . 由于 ,所以方程 有两个非零实根 . 下面计算 , 由 得 = = . 本题等价于是否存在 ,使不等式 EMBED Equation.3 ① 对 , 恒成立. _1154861901.unknown _1154861906.unknown _1154861908.unknown _1154861910.unknown _1154861912.unknown _1154861913.unknown _1154861911.unknown _1154861909.unknown _1154861907.unknown _1154861904.unknown _1154861905.unknown _1154861902.unknown _1154861897.unknown _1154861899.unknown _1154861900.unknown _1154861898.unknown _1154861895.unknown _1154861896.unknown _1154861894.unknown 把 看作关于 的函数 EMBED Equation.3 , 则①式等价于 EMBED Equation.3 ② 由于 ,则 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ,从而②式转化为 3, 即 ③ 对 恒成立 我们又可以把③式的左边看作 的函数.记 EMBED Equation.3 = . _1154861924.unknown _1154861928.unknown _1289918703.unknown _1289918824.unknown _1289918832.unknown _1289918815.unknown _1289918689.unknown _1154861926.unknown _1154861927.unknown _1154861925.unknown _1154861920.unknown _1154861922.unknown _1154861923.unknown _1154861921.unknown _1154861915.unknown _1154861919.unknown _1154861914.unknown 对 或 分类研究. 若 ,③式化为 ,显然不成立; 若 , 是 的一次函数,这样,要使 对 恒成立,只要 及 同时成立即可(图3，4).解不等式组 得 或 . 所以存在实数 ,使不等式 EMBED Equation.3 对任意 , 恒成立.,其取值范围是 . _1154861940.unknown _1154861945.unknown _1154861949.unknown _1284957318.unknown _1284957345.unknown _1284957420.unknown _1154861950.unknown _1154861947.unknown _1154861948.unknown _1154861946.unknown _1154861942.unknown _1154861944.unknown _1154861941.unknown _1154861936.unknown _1154861938.unknown _1154861939.unknown _1154861937.unknown _1154861934.unknown _1154861935.unknown _1154861933.unknown 这一试题的解题过程是以数学思想作指导的解题过程. ①化归与转化思想: 在解题规程中进行了几次化归和转化. 第1次转化：把三次函数 在区间 上是增函数转化为在这一区间 的问题; 第2次转化：第(Ⅰ)问,把 对 恒成立转化为 的最大值 成立的问题, 第3次转化： 的最大值 成立的问题转化为求 的最大值的问题; 第4次转化：第(Ⅱ问) 把 转化为 EMBED Equation.3 的问题； _1154861952.unknown _1154861954.unknown _1154861956.unknown _1154861958.unknown _1284892123.unknown _1154861957.unknown _1154861955.unknown _1154861953.unknown _1154861859.unknown _1154861951.unknown _1154861841.unknown 第5次转化:把 EMBED Equation.3 转化为 EMBED Equation.3 的问题； 第6次转化：把 EMBED Equation.3 又转化为 对 恒成立的问题； 第7次转化：把 对 恒成立的问题转化为一次函数 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 对 恒成立问题. 第8次转化：把 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 对 恒成立问题转化为求 的最小值的问题． 这8次转化每一次转化都是把生题化为熟题. _1154861961.unknown _1154861963.unknown _1154861965.unknown _1154861967.unknown _1284892660.unknown _1154861966.unknown _1154861964.unknown _1154861962.unknown _1154861958.unknown _1154861959.unknown _1154861957.unknown ② 函数与方程思想: 在解题过程中,我们多次把代数式看作函数, 第1次是把 看作是 的函数； 第2次是把 EMBED Equation.3 看作是 的函数； 第3次是 EMBED Equation.3 看作是 的函数。 ,从而把含参数的不等式问题化为函数的最值问题, 此外还有对方程 的根的讨论. _1154861971.unknown _1154861973.unknown _1284894752.unknown _1284894786.unknown _1284894722.unknown _1154861972.unknown _1154861969.unknown _1154861970.unknown _1154861968.unknown ③ 数形结合的思想: 在解题过程中,我们利用 和 的图象帮助思考. ④ 分类讨论与整合思想: 第1次分类：在求 的最大值时,对于 的图像,按对称轴的不同位置进行讨论, 第2次分类：在解决一次函数 EMBED Equation.3 的恒成立时,对 和 分类进行了讨论. ⑤ 有限与无限思想: 在求三次函数 在区间 上是增函数的时候,运用了导数的方法. _1154861975.unknown _1154861977.unknown _1284893134.unknown _1284893185.unknown _1284893206.unknown _1284892123.unknown _1154861976.unknown _1154861929.unknown _1154861974.unknown _1154861841.unknown 在解题的过程中，我们先后运用了几种数学思想才顺利完成，运用数学思想解题，简单地说，就是一个想得到还是想不到的问题，解这一道题时，我们想到了进行转化，想到了把代数式看作函数，把字母看作变量，想到了对不同情况的分类讨论，想到了用函数图象帮助思考，才能一步一步地解决问题，相反，如果我们没有想到把 对 恒成立.的问题转化为 的最大值 成立的问题,没有实现这一转化，如果我们没有想到把 看作是 的函数，问题可能不会得到解决. _1154861952.unknown _1154861954.unknown _1154861968.unknown _1284894722.unknown _1154861953.unknown _1154861951.unknown 高考是选拔性考试，对中学生数学素养的 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 体现在高考考试 大纲 专科护士培训大纲语法等级大纲网络小说大纲模版专职安全员生产检查释经讲道讲章大纲 上，无论是原来的考试大纲还是新课程 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 的考试大纲，对中学生掌握数学思想的考查要求是很高的. 高考对数学思想方法的要求： 1. 《考试大纲》的要求: “数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查．” “对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法的理解．要从学科整体意义和思想价值立意，注意通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度．” 2.高考评价 报告 软件系统测试报告下载sgs报告如何下载关于路面塌陷情况报告535n,sgs报告怎么下载竣工报告下载 要求: “数学在培养和提高人的思维能力方面有着其他学科所不可替代的独特作用，这是因为数学不仅仅是一种重要的“工具”或者“方法”，更重要的是一种思维模式，表现为数学思想。高考数学科提出“以能力立意命题”，正是为了更好地考查数学思想，促进考生数学理性思维的发展。因此，要加强如何更好地考查数学思想的研究，特别是要研究试题解题过程的思维方法，注意考查不同思维方法的试题的协调和匹配，使考生的数学理性思维能力得到较全面的考查。”(《2002年普通高考数学科试题评价报告》（教育部考试中心）) 3.考试中心对教学与复习的建议: 在考试中心对数学复习的建议中指出：“数学思想方法较之数学基础知识有更高的层次．具有观念性的地位，如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学意识，只能领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决.”． “数学思想方法与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得，与此同时又应该领会它们在形成知识中的作用，到了复习阶段应该对数学思想方法和数学基本方法进行疏理、总结，逐个认识它们的本质特征、思维程序或者操作程序，逐步做到自觉地、灵活地施用于所要解决的问题．近几年来，高考的每一道数学试题几乎都考虑到数学思想方法或数学基本方法的运用，目的也是加强这些方面的考查.同样,这些高考试题也成为检验数学知识,同时又是检验数学思想方法的良好素材,复习时可以有意识地加以运用.”. (二)数学思想方法的三个层次: 数学基本方法包括： 待定系数法，换元法，配方法，割补法，反证法等； 数学逻辑方法（或思维方法）包括： 分析与综合。归纳与演绎，比较与类比，具体与抽象等； 数学思想包括： 函数与方程的思想，数形结合的思想，分类与整合的思想，化归与转化的思想，特殊与一般的思想，有限与无限的思想，或然与必然的思想等。 在高考复习时，要充分认识数学思想在提高解题能力的重要性，有意识地在复习中渗透数学思想，提升数学思想。 1.函数与方程的思想 考试中心对考试大纲的说明中指出：“高考把函数与方程的思想作为七种思想方法的重点来考查，使用选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识的网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查。” 什么是函数和方程思想？ 我们先从两个例题谈起。 【例1】已知两条曲线： 椭圆 和圆 ,若两条曲线没有公共点,求 的取值范围. _1204806994.unknown _1204807043.unknown _1204807139.unknown _1197529795.unknown 【分析及解】一般的解法是:从 和 的方程中消去一个未知数,比如消去 ,得到一个关于 的方程 , ① 因为两条曲线没有公共点,所以方程①没有实数根,即判别式小于零,即 解得 或 (由 , 舍去). 这就是说, 若两条曲线没有公共点, 的取值范围为 . _1204807352.unknown _1204807399.unknown _1204807678.unknown _1204807757.unknown _1204807769.unknown _1204807720.unknown _1204807596.unknown _1204807373.unknown _1204807259.unknown _1204807277.unknown _1204807139.unknown 这个结果是否正确呢?我们可以画一个图来观察,如图1-1,以 为圆心, 为半径的圆 与椭圆 没有公共点,但是 这一结果在上面的计算中,并没有出现,显然,这种解法出了毛病! 我们换一个思路: （1）思路1.用函数思想来思考. 由方程①变形为 . 把 看作 的函数。 由椭圆 可知, ,因此,求使圆 与椭圆 有公共点的 的集合,等价于在定义域为 的情况下, 求函数 值域. 由 可得 的值域是 ,即 ,它的补集就是圆 与椭圆 没有公共点的 的集合,因此, 两条曲线没有公共点的 的取值范围是 或 _1204813081.unknown _1204813343.unknown _1204816997.unknown _1204817067.unknown _1204817119.unknown _1289927916.unknown _1204817049.unknown _1204816811.unknown _1204813205.unknown _1204813269.unknown _1204813150.unknown _1204808525.unknown _1204808572.unknown _1204808777.unknown _1204808550.unknown _1204807678.unknown _1204808497.unknown _1204807139.unknown （2）思路2.用方程思想来思考. 两条曲线没有公共点,等价于方程 或者没有实数根，或者两个根 . 若没有实数根，则 解得 或 . (由 , 舍去). 若两个根 ，设 则 解得 . 因此, 两条曲线没有公共点的 的取值范围是 或 . _1204807678.unknown _1204817119.unknown _1260536317.unknown _1260536479.unknown _1260536555.unknown _1260535381.unknown _1204807757.unknown _1204807769.unknown _1204807720.unknown _1204807399.unknown _1204807596.unknown _1204807139.unknown 【例2】已知集合 ,则集合 表示的图形是( ). A. 直线 B.线段 C.抛物线 D.圆 【分析及解】初看此题,可能不知如何下手,会进行平方等运算,然而会发现,运算较为复杂, 我们放弃繁琐的运算,而用函数和变量来思考. 思路1.把式子中的字母 看作变量,把等式中出现的代数式看作函数. 等式化为 构造函数 ,则上式就是 , 由于,函数 为 上的增函数,则 即 所以,集合 表示的图形是直线.故选A. 这个问题的解决是函数思想的胜利. _1260620617.unknown _1260620796.unknown _1260620838.unknown _1260620867.unknown _1260620882.unknown _1260620827.unknown _1260620737.unknown _1260620162.unknown _1260620491.unknown _1260620066.unknown 我们还可以用另一种函数来思考. 思路2.构造一个常见的函数 , 则 为 上的增函数,且为奇函数. 又已知等式可化为 于是有 ,因此 即 所以,集合 表示的图形是直线.故选(A). _1260620882.unknown _1260621157.unknown _1260621324.unknown _1260621433.unknown _1260621088.unknown _1260620838.unknown _1260620867.unknown _1260620162.unknown 思路3.以方程的知识为切入点, 设 于是, 分别是方程 的正根. 由此可得 相加并注意到 , 即 所以,集合 表示的图形是直线.故选A. _1260622117.unknown _1260622348.unknown _1260622428.unknown _1260622449.unknown _1260622188.unknown _1260620882.unknown _1260621854.unknown _1260620162.unknown 从以上两个例题可以认识到函数和方程思想的基本内涵. F.克莱因有一句名言：“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情使用变量和函数来思考。”函数思想，就是学会用变量和函数来思考，就是从函数各部分内容的内在联系和整体角度考虑问题,研究问题和解决问题,就是使用函数的方法研究和解决函数的问题以及构建函数关系式来研究和解决非函数问题. 方程思想,就是学会转化已知与未知的关系,解方程的过程就是求函数的零点的过程,通过对解方程的研究和对方程的根的研究考虑问题和解决问题. 对函数和方程思想的考查,主要是考查能不能用函数和方程思想指导解题,在用函数和方程思想指导解题时要经常思考下面一些问题: 我们重点研究函数思想. 我们重点研究函数思想. 能否用函数思想作指导解决问题,有以下几个想到没想到的问题. 1.是不是想到了把一个代数式看成一个函数?把方程化作函数?把字母看作变量？ 2.如果把一个代数式看成了函数，把一个或几个字母看成了变量，是不是想到了运用函数的性质解题？ 3.如果一个问题从表面上看不是一个函数问题，是不是想到了构造一个函数来帮助解题？ 4．对于一个等式是不是想到了把这个等式看作为一个含未知数的方程？ 5．如果是一个方程，是不是想到了对这个方程的根（例如根的虚实，正负，范围等）有什么要求？ 1.是不是想到把字母看作变量或把代数式看作函数. 【例1】(2008全国Ⅱ卷,理)设 ，则双曲线 的离心率 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【分析及解】 ， 把 看作函数，因为 是减函数，则 ，所以当 时, ，所以 ，即 .故选B. _1274857748.unknown _1275757474.unknown _1275757629.unknown _1284826383.unknown _1284826457.unknown _1289928553.unknown _1275757693.unknown _1275757548.unknown _1274857764.unknown _1274857770.unknown _1274857755.unknown _1274857711.unknown _1274857736.unknown _1274857704.unknown 【例2】（2006湖北卷，理）已知二次函数 的图象经过坐标原点,其导数为 数列 的前 项和为 ，点 均在函数 的图像上. （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）设 ， 是数列 的前n项和，求使得 对所有 都成立的最小正整数m. 【分析及解】（Ⅰ）依题意得，设这二次函数 ,则 ,又由于 ,得 .所以 . 又因为点 均在函数 的图像上，所以 . 当n≥2时， ; 当n=1时， 所以 . _1211385716.unknown _1217184868.unknown _1217187942.unknown _1217187992.unknown _1217317972.unknown _1217318033.unknown _1285516288.unknown _1217188006.unknown _1217187963.unknown _1217187855.unknown _1217187879.unknown _1217184955.unknown _1217184748.unknown _1217184829.unknown _1217184715.unknown _1211217941.unknown _1211218098.unknown _1211218124.unknown _1211218077.unknown _1211217888.unknown _1211217915.unknown _1211217854.unknown （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ， 故 = . 把代数式 看作 的函数 , 因此，使得 成立的 必须满足 的最大值 ,即 ≤ ，即 , 故满足要求的最小整数 为10. _1211469901.unknown _1217185179.unknown _1227937224.unknown _1227937271.unknown _1289928650.unknown _1289928670.unknown _1227940523.unknown _1227937248.unknown _1227937189.unknown _1217185077.unknown _1217185178.unknown _1217184987.unknown _1211369582.unknown _1211369660.unknown _1211369388.unknown 【例3】（2007年北京卷,文）已知函数 与 的图象相交于 ， ， ， 分别是 的图象在 两点的切线， 分别是 ， 与 轴的交点． （Ⅰ）求 的取值范围； （Ⅱ）设 为点 的横坐标，当 时，写出 以 为自变量的函数式，并求其定义域和值域； （Ⅲ）试比较 与 的大小，并说明理由（ 是坐标原点）． 【分析及解】（Ⅰ）解得 ． （Ⅱ）由 ，求得切线 的方程为 ， 由 ，并令 ，得 ， 是方程①的两实根，且 ， 故 ， ， 这时需要把 看作是 的函数, 是关于 的减函数，所以 的取值范围是 ． 是关于 的增函数，定义域为 ，所以值域为 ， （Ⅲ）略． _1242886900.unknown _1242905825.unknown _1242906129.unknown _1242915334.unknown _1242915569.unknown _1243273237.unknown _1245732069.unknown _1245732085.unknown _1243273238.unknown _1242915573.unknown _1242915335.unknown _1242906163.unknown _1242915333.unknown _1242906151.unknown _1242906076.unknown _1242906110.unknown _1242906119.unknown _1242906100.unknown _1242905869.unknown _1242906070.unknown _1242905864.unknown _1242905753.unknown _1242905793.unknown _1242905821.unknown _1242905786.unknown _1242886916.unknown _1242890586.unknown _1242886904.unknown _1242886768.unknown _1242886822.unknown _1242886850.unknown _1242886859.unknown _1242886839.unknown _1242886780.unknown _1242886806.unknown _1242886776.unknown _1242886725.unknown _1242886748.unknown _1242886762.unknown _1242886729.unknown _1242886706.unknown _1242886716.unknown _1242886346.unknown 【例4】(2005江西卷，理)已知数列 各项都是正数,且满足 （Ⅰ）证明 （Ⅱ）求数列 的通项公式an. 【分析及解】（Ⅰ）解法1. 把 看作一个函数,其中把 看作自变量,把 看作 的函数,即设 . 由此启发得 于是 又因为 所以 , 由以上有 _1190614464.unknown _1284898247.unknown _1284899104.unknown _1284899163.unknown _1284899212.unknown _1289978117.unknown _1284899134.unknown _1284898260.unknown _1196438956.unknown _1200717721.unknown _1190614500.unknown _1179828084.unknown _1190299347.unknown _1179812305.unknown 解法2. 用数学归纳法证明： 1°当 时， ∴ ； 2°假设n = k时有 成立， 令 ， 在[0，2]上单调递增， 所以由假设有： 即 也即当n=k+1时 成立， 所以对一切 . 比较这两个解法，用函数的观点求解的解法1更为简捷. （Ⅱ）略. _1179828083.unknown _1179828085.unknown _1180070636.unknown _1284898287.unknown _1285516332.unknown _1180070626.unknown _1179828084.unknown _1179827432.unknown _1179827993.unknown _1179812571.unknown 【例5】（2008江苏卷）已知函数 （ ），对于 ，总有 成立，则实数a的值为　　　　　． 【分析及解】当 时, ; 当 时, 可化为 , 把代数式 看作函数设 , 则 , 所以, 在 上单调递增,在 上单调递减, 因此,当 时, 最大, ,从而 _1277383346.unknown _1277383557.unknown _1277383653.unknown _1277383732.unknown _1284901398.unknown _1289978324.unknown _1277383690.unknown _1277383599.unknown _1277383464.unknown _1277383544.unknown _1277383373.unknown _1277382964.unknown _1277383281.unknown _1277383309.unknown _1277383269.unknown _1274432006.unknown _1274432016.unknown _1274431983.unknown 当 时, 可化为 , 当 时, , 所以, 在 上单调递增, 因此,当 时, 最小, ,从而 . 由以上, _1277383825.unknown _1277383877.unknown _1277383916.unknown _1277383941.unknown _1277383961.unknown _1277383897.unknown _1277383865.unknown _1277383544.unknown _1277383805.unknown _1277383346.unknown 【例6】（2007广东卷,理,文）已知 是实数，函数 ．如果函数 在区间 上有零点，求 的取值范围． 【分析及解】 时，不符合题意，所以 ,又 ∴ 在 上有解 在 上有解 在 上有解. 把等式的右边看作函数 ,设 , . 问题转化为求函数 EMBED Equation.DSMT4 上的值域； _1242827077.unknown _1243542140.unknown _1246374435.unknown _1285159221.unknown _1289978625.unknown _1289978626.unknown _1285159079.unknown _1246374406.unknown _1246374420.unknown _1246374397.unknown _1243542086.unknown _1243542125.unknown _1242829050.unknown _1242827025.unknown _1242827035.unknown _1242827018.unknown 设 ， ， 则 ， , ， 设 ， 时， ，此函数 单调递减， 时， , 此函数 单调递增， ∴函数 , 上的值域是 ， ∴ 在 上有解等价于 解得 或 . _1246374451.unknown _1246374548.unknown _1246374625.unknown _1285159201.unknown _1285160492.unknown _1285160539.unknown _1246374753.unknown _1246374604.unknown _1246374616.unknown _1246374586.unknown _1246374500.unknown _1246374534.unknown _1246374482.unknown _1243542253.unknown _1246374397.unknown _1246374435.unknown _1246374311.unknown _1243542196.unknown _1243542227.unknown _1243542086.unknown 2.是不是想到运用函数和方程的性质. 【例1】解方程 . 【分析及解】不难验证, ,即 是方程的一个解. 但是,方程还有没有其它的解呢?我们把方程转化为函数,把方程化为 . 把方程的左边看作函数,设 . 我们研究当 时,函数 的性质. 由于 ,对于 是 上的减函数, 则当 时,有 , 当 时,有 所以, 当 时,函数 ,即方程没有 以外的解. _1284901846.unknown _1284902096.unknown _1284902135.unknown _1284902285.unknown _1284902351.unknown _1289978990.unknown _1284902319.unknown _1284902195.unknown _1284902119.unknown _1284902030.unknown _1284902071.unknown _1284902009.unknown _1284901620.unknown _1284901676.unknown _1284901089.unknown 【例2】解方程 . 【分析及解】这个方程既有无理函数,又有指数函数,直接解有困难. . 把方程的两边分别看作是 的函数.设 和 的共同定义域是 . 显然, 所以, ,即 是方程的根. 由于 是定义域上的减函数, 是定义域上的增函数, 则当 时, , 当 时, ,由此可知, 是方程唯一的根. _1284958516.unknown _1284958744.unknown _1284959047.unknown _1284959182.unknown _1284959219.unknown _1289979316.unknown _1284959146.unknown _1284959009.unknown _1284958607.unknown _1284958686.unknown _1284958539.unknown _1284957706.unknown _1284957765.unknown _1284902648.unknown 【例3】求函数 的值域. 【分析及解】解法1.通过方程的根求值域.方程化为 ,两边平方得 , ① 由于函数的定义域为 ,则方程①至少有一个 的根，这相当于解不等式组（Ⅰ）与组（Ⅱ）,并求解集的并集. （Ⅰ） 或（Ⅱ） 解得 ，所以函数的值域为 . _1284964284.unknown _1284964721.unknown _1284964793.unknown _1284964819.unknown _1284964737.unknown _1284964383.unknown _1284963896.unknown _1284964183.unknown _1284959557.unknown 解法2.通过换元进行转化成二次函数，运用函数的单调性求解. 由于函数的定义域为 ,所以设 , . 则函数化为 . 由 ,则函数 在 上是增函数， 于是， ， 所以函数的值域为 . _1284964975.unknown _1284965161.unknown _1284965239.unknown _1284965309.unknown _1284965222.unknown _1284965042.unknown _1284964819.unknown _1284964956.unknown _1284964284.unknown 解法3.直接用函数的性质求解. 由于函数的定义域为 ,且函数 在 上是增函数， 所以, ,即函数的值域为 . 比较这三个解法,解法3优于解法2,解法2又优于解法1.这是因为,解法3直接运用了函数的性质,解法2,通过转化之后再运用函数的性质,可见,具备函数思想,用函数性质求解的优越之处. _1284964819.unknown _1284965516.unknown _1284965563.unknown _1284965478.unknown _1284964284.unknown 【例4】(1997年,全国卷)甲、乙两地相距 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 （千米/小时）的平方成正比，且比例系数为 ，固定部分为 元． （Ⅰ）把全程运输成本 （元）表示为速度 （千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域． （Ⅱ）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？ 【分析及解】（Ⅰ） （Ⅱ）为了求 的最小值,有的人选择了用均值不等式求解: . 从而, 全程运输成本的最小值是 . _1118482626.unknown _1118482628.unknown _1192006408.unknown _1285517684.unknown _1285517769.unknown _1285517612.unknown _1118482629.unknown _1118482627.unknown _1118482624.unknown _1118482625.unknown _1118482623.unknown 这个解法有没有问题?我们来分析一下. 上面的不等式取得等号的条件是 ,即 ,但是,函数的定义域是 ,那么, 是否属于定义域呢?如果 ,用均值不等式的方法就不能求出全程运输成本的最小值.因此,这个方法并不完美. 而站在函数的角度,利用函数的性质,通过求函数的值域的方法求最小值,是一个很好的选择. _1285518366.unknown _1285518542.unknown _1285518629.unknown _1192006730.unknown 函数可化为 EMBED Equation.DSMT4 (1)当 时，函数 在 时是减函数, 所以 时有最小值 ； (2)当 时，函数 在 时是减函数,在 时是增函数, 所以 有最小值 . _1192006705.unknown _1203790533.unknown _1203790617.unknown _1203793398.unknown _1289979725.unknown _1203790587.unknown _1192006809.unknown _1203790439.unknown _1192006730.unknown _1192006594.unknown _1192006626.unknown _1192006565.unknown 3.是不是想到构造函数. 构造函数解题是函数思想在解题方法中的具体体现. 【例1】（2007全国Ⅰ卷，理）设函数 ． （Ⅰ）证明： 的导数 ； （Ⅱ）若对所有 都有 ，求 的取值范围． 【分析及解】（Ⅰ） 的导数 ． 由于 ,故 .（当且仅当 时等号成立）． （Ⅱ）构造函数 ，则 ， 若对所有 都有 等价于若对所有 ,都有 ,即等价于 时, . _1242894268.unknown _1243090094.unknown _1243091131.unknown _1243743738.unknown _1243743778.unknown _1289979927.unknown _1243743686.unknown _1243090106.unknown _1243091123.unknown _1243090100.unknown _1242894403.unknown _1243090084.unknown _1242894372.unknown _1242797383.unknown _1242894259.unknown _1242797336.unknown （ⅰ）若 ，当 时， ， 故 在 上为增函数，所以, , 所以， 时， ，即 ． （ⅱ）若 ，方程 的正根为 ， 此时，若 ，则 ， 在该区间为减函数．若 , 在该区间为增函数,所以 . 然而, 时， ，即 ,从而 时, ，与题设 相矛盾． 综上，满足条件的 的取值范围是 ． _1242894660.unknown _1242894726.unknown _1243091183.unknown _1243744135.unknown _1243744407.unknown _1243744491.unknown _1243744537.unknown _1243744293.unknown _1243091203.unknown _1243091212.unknown _1243091192.unknown _1243091170.unknown _1243091176.unknown _1242894739.unknown _1242894679.unknown _1242894697.unknown _1242894675.unknown _1242894611.unknown _1242894640.unknown _1242894652.unknown _1242894625.unknown _1242894524.unknown _1242894605.unknown _1242894460.unknown 【例2】(1997全国卷)设二次函数 ,方程 的两个实根 ，满足 . (Ⅰ) 当 时,证明 ;(Ⅱ) 略 【分析及解】(Ⅰ)由于 是方程 的两个实根,所以可以从整体上考虑 ,为此,构造函数 , 设 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . 要证明 ,就需要证明 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ,以及 EMBED Equation.DSMT4 . 因为 ,则 , 因此 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ,即 , 又 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 , 由 得 ,又有 , 于是, EMBED Equation.DSMT4 即 ,所以, . (Ⅱ) 略 _1204819935.unknown _1204820115.unknown _1204820417.unknown _1204820589.unknown _1204820710.unknown _1268647233.unknown _1289980379.unknown _1204820767.unknown _1204820643.unknown _1204820569.unknown _1204820356.unknown _1204820403.unknown _1204820230.unknown _1204820052.unknown _1204820081.unknown _1204819941.unknown _1204819475.unknown _1204819574.unknown _1204819810.unknown _1204819522.unknown _1204817373.unknown _1204819377.unknown _1204817329.unknown 【例3】（2001年，全国卷）已知 是正整数，且1＜ ≤ ＜ ． (Ⅰ) 略；(Ⅱ) 证明 ＞ ． 【分析及解】研究第(Ⅱ)问. EMBED Equation.DSMT4 . 为此,可以构造函数 EMBED Equation.3 , 只要证明 为减函数就可以了. 由 , 则 EMBED Equation.3 为减函数,由 可得 因而 , 于是, ＞ 成立. _1196446670.unknown _1196446991.unknown _1204819089.unknown _1289980616.unknown _1289980617.unknown _1204819285.unknown _1204818979.unknown _1196446907.unknown _1196446952.unknown _1196446874.unknown _1118489475.unknown _1118489479.unknown _1196446574.unknown _1118489478.unknown _1118489473.unknown _1118489474.unknown _1118489472.unknown 【例4】（2006年湖南卷，理）已知函数 ,数列{ }满足: 证明: （Ⅰ） ;　（Ⅱ） . 【分析及解】（Ⅰ）先用数学归纳法证明 ， ， (i).当 时,由已知显然结论成立. (ii).假设当 时结论成立,即 .因为 时 ,所以 在(0,1)上是增函数. 又 在[0,1]上连续, 从而 .故 时,结论成立. 由(i)、(ii)可知， 对一切正整数都成立. 又因为 时， ， 所以 ，综上所述 ． _1211401447.unknown _1212145197.unknown _1227940625.unknown _1227940650.unknown _1227940690.unknown _1227940704.unknown _1227940639.unknown _1224566501.unknown _1224566528.unknown _1212145470.unknown _1212144832.unknown _1212145121.unknown _1211401471.unknown _1211378036.unknown _1211401385.unknown _1211401400.unknown _1211378118.unknown _1211377876.unknown _1211377905.unknown _1211377838.unknown （Ⅱ）构造函数 ， ．由（Ⅰ）知，当 时， ，从而 所以 在(0,1)上是增函数. 又 在[0,1]上连续,且 , 所以当 时， 成立. 于是 ． 故 ． _1211401576.unknown _1224566605.unknown _1289980735.unknown _1289980751.unknown _1289980902.unknown _1224566634.unknown _1224566576.unknown _1224566589.unknown _1212146259.unknown _1211401538.unknown _1211401566.unknown _1211378118.unknown 【例5】（据2004年全国卷Ⅱ，理改编)已知函数 设 . 证明 【分析及解】为证明这个不等式,参考 ,我们可以把字母 看作变量 ,从而使待证明的不等式化为 由此启发我们构造函数 由 可得 当 在此 内为减函数. 当 上为增函数. 从而，当 有极小值 因为 即 _1148817275.unknown _1150774968.unknown _1285519525.unknown _1289981885.unknown _1289981900.unknown _1289981916.unknown _1285519549.unknown _1285519181.unknown _1285519450.unknown _1150776590.unknown _1148817304.unknown _1148817400.unknown _1148817294.unknown _1148817169.unknown _1148817223.unknown _1148816928.unknown 再构造函数 则 当 因此 上为减函数. 因为 即 _1148817826.unknown _1196346668.unknown _1196346683.unknown _1289981954.unknown _1196346606.unknown _1148817645.unknown 【例6】求证：对任意实数 ,不等式 成立. 【分析及解】这个不等式中的每一项的形式都相同,这就促使我们用一个共同的式子来统一,即构造函数 容易证明, 是 上的增函数. 又 ,因此, ,即 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . _1285521807.unknown _1285521899.unknown _1285522052.unknown _1285522069.unknown _1289982188.unknown _1285522037.unknown _1285521853.unknown _1285521717.unknown _1285521794.unknown _1285521335.unknown 4．是不是想到了把等式看作为一个含未知数的方程，是不是想到了对这个方程的根（例如根的虚实，正负，范围等）有什么要求？ 【例1】已知 都是锐角,且满足 . 求 得值. 【分析及解】这时一个与三角函数有关的求值题,表面上看,不是一个方程问题,但是,如果我们想到把这个等式看作一个关于 中的某一个的二次方程,例如看作关于 的一元二次方程,问题就好解决得多: , ， 所以, . 因为 都是锐角,所以, 应舍去. 因此, ,又因为 ,所以, ,即 . _1285666349.unknown _1285676162.unknown _1285676472.unknown _1285676583.unknown _1285676619.unknown _1285676515.unknown _1285676406.unknown _1285666590.unknown _1285675916.unknown _1285666400.unknown _1285665911.unknown _1285666005.unknown _1285665869.unknown 【例2】已知： 均为正实数，且 求证： 【分析及解】把已知等式化作关于某个字母的方程． ， ，　　　　　① 计算它的判别式： 　 　　　 　　　 方程①的解为　 ，即 ． 从而　 ， 　　 ． _1285687648.unknown _1285690275.unknown _1285690416.unknown _1285690509.unknown _1289982570.unknown _1285690327.unknown _1285689764.unknown _1285690093.unknown _1285689337.unknown _1285687335.unknown _1285687576.unknown _1285687268.unknown 【例3】已知数列 和 满足下列关系： 　 且 试求实数 ，使 成等比数列． 【分析及解】由题设可得 　 　 因为数列 成等比数列，则前三项也成等比数列，即 成等比数列． 这时，可以建立一个关于 的方程， ，解得　 ． 下面证明数列 是等比数列． EMBED Equation.DSMT4 　　　　　　 ． 于是，数列 是以 为公比的等比数列． 我们是用特殊的前三项建立方程的方法把待定的系数 求出来，再对于一般情形进行证明的．这种方法是待定系数法，本题的解题思路也是特殊与一般数学思想的反映． _1285692983.unknown _1285696001.unknown _1285696391.unknown _1285696568.unknown _1285696660.unknown _1285696739.unknown _1285696509.unknown _1285696073.unknown _1285695729.unknown _1285695980.unknown _1285693084.unknown _1285692743.unknown _1285692867.unknown _1285692964.unknown _1285692853.unknown _1285691202.unknown _1285692688.unknown _1285691185.unknown 【例4】已知数列 中, ，且 ,求 的通项公式． 【分析及解】先对递推式进行变形， ， ， 设 ，则 ．　　　　　　　　　 　　① 我们引入待定的系数 ，使 满足 ，　 　　② 从而能出现等比数列．展开②式得， 　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　③ 对照③式和①式，可得方程组 解得 ， 即数列 是以 为首项， 为公比的等比数列． ， ，于是， ， ． _1285697993.unknown _1285698299.unknown _1285698503.unknown _1285698730.unknown _1285698802.unknown _1285698836.unknown _1285698775.unknown _1285698549.unknown _1285698403.unknown _1285698435.unknown _1285698370.unknown _1285698024.unknown _1285698204.unknown _1285698007.unknown _1285697775.unknown _1285697896.unknown _1285697935.unknown _1285697825.unknown _1285697613.unknown _1285697637.unknown _1285697594.unknown 【例5】（2007广东卷,理,文）已知 是实数，函数 ．如果函数 在区间 上有零点，求 的取值范围． 【分析及解】我们曾用函数思想解决了这个题目,现在,换一个角度. 函数 在区间 上有零点，等价于 方程 在 上有解， 当 时，方程 是一次方程， ，解为 不符合题意，当 时, 方程 是二次方程， 方程 在 上有解，对解的的要求是： （1） 在 上有一个解（另一个解不属于区间 ，这时应满足 ， _1246374181.unknown _1246374347.unknown _1285594720.unknown _1285594815.unknown _1285595022.unknown _1285594774.unknown _1285594693.unknown _1246374220.unknown _1246374327.unknown _1246374201.unknown _1242827077.unknown _1243542125.unknown _1243542140.unknown _1242829050.unknown _1242827025.unknown _1242827035.unknown _1242827018.unknown （2） 在 上有两个解，这时应满足 解（1）得 得 ， 解（2）得不等式组得 或 由（1）和（2）得 或 . 所以实数 的取值范围是 或 . 解决这个题目的关键是明确二次方程 在在 上有解，相当于这个方程在区间 上有一个解或者有两个解，弄清这个要求，问题就容易解决了。 _1246374264.unknown _1246374347.unknown _1285594815.unknown _1285595169.unknown _1285595206.unknown _1285160661.unknown _1246374293.unknown _1246374311.unknown _1246374278.unknown _1246218198.unknown _1246374220.unknown _1242827025.unknown