2009年高考数学(理试卷(全国卷II+答案解析

2009年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 考生注意： 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式： 如果事件 互斥，那么 球的表面积公式 如果事件 相互独立，那么 其中 表示球的半径 球的体积公式 如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么 次独立重复试验中恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径 一、选择题 1. = （A）-2+4i (B) -2-4i (C) 2+4i (D)2-4i 2.设集合A= 则A B= （A） （B） （3，4） （C） （-2，1） （D） （4+ ） 3.已知 ABC中，cotA= ,则cosA= （A） （B） （C） (D) 4.曲线y= 在点（1，1）处的切线方程为 （A）x-y-2=0 (B)x+y-2a=0 (C)x+4y-5=0 (D)x-4y-5=0 5.已知正四棱柱 中， ，E为 中点，则异面直线BE与 所成角的余弦值为 （A） (B) (C) (D) 6.已知向量 ， , ,则 （A） (B) (C) 5 (D) 25 7.设 则 (A) (B) (C) (D) 8.若将函数 的图像向右平移 个单位长度后，与函数 的图像重合，则 的最小值为 （A） (B) (C) (D) 9.已知直线 与抛物线 相交于A、B两点，F为C的焦点，若 ,则k= （A） (B) (C) (D) 10.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 （A）6种 （B）12种 （C）30种 （D）36种 11.已知双曲线 的右焦点为F且斜率为 的直线交C于A、B两点，若 ，则C的离心率为 （A） （B） （C） （D） 12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为 上、下、东、南、北，现在沿该正方体的一些棱将正方 体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标 的面的方位是 （A）南 （B）北 （C）西 （D）下 2009年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 第Ⅱ卷 注意事项 软件开发合同注意事项软件销售合同注意事项电梯维保合同注意事项软件销售合同注意事项员工离职注意事项 ： 1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 3．本卷共10小题，共90分． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． （注意：在试题卷上作答无效） 13. 的展开式中 的系数为 . 14.设等差数列 的前 项和为 .若 . 15.设OA是球O的半径,M是OA的中点,过M且与OA成 角的平面截球O的表面得到圆C.若圆C的面积等于 ,则球O的表面积等于 . 16.已知AC、BD为圆 的两条相互垂直的弦，垂足为 ，则四边形ABCD的面积的最大值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明， 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 过程或演算步骤． 17.(本小题满分10分) （注意：在试题卷上作答无效） 设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c 求B 18.（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效） 如图，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，分别为AA1、BC1的中点 平面 EMBED Equation.DSMT4 19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 设数列 的前 n项和为 ，已知 20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人。先采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。 （Ⅰ）求从甲、乙两组个抽取的人数； （Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率； （Ⅲ）记 表示抽取的3名工人中男工人数，求 的分布列及数学期望。 21.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点F的直线L与C相交于A、B两点，当L的斜率为1时，坐标原点O到L的距离为 。 (Ⅰ) 求a，b的值； (Ⅱ) C上是否存在点P，使得当L绕F转到某一位置时，有 成立？若存在，求出所有的P的坐标与L的方程；若不存在，说明理由。 22. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 设函数 有两个极值点 。 （Ⅰ）求a的取值范围，并讨论 的单调性； （Ⅱ）证明： 。 2009年全国卷Ⅱ理科数学试题解析 一选择题： 1. A. B. C. D. 解：原式 .故选A. 2. 设集合 ，则 = A. B. C. D. 解： . .故选B. 3. 已知 中， ， 则 A. B. C. D. 解：已知 中， ， . 故选D. 4.曲线 在点 处的切线方程为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A. B. C. D. 解： , 故切线方程为 ,即 故选B. 5. 已知正四棱柱 中， EMBED Equation.DSMT4 为 中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为 A. B. C. D. 解：令 则 ,连 EMBED Equation.DSMT4 ∥ 异面直线 与 所成的角即 与 所成的角。在 中由余弦定理易得 。故选C 6. 已知向量 ，则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A. B. C. D. 解： EMBED Equation.DSMT4 。故选C 7. 设 ，则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A. B. C. D. 解： .故选A. 8. 若将函数 的图像向右平移 个单位长度后，与函数 的图像重合，则 的最小值为 A． B. C. D. 解： ， 又 .故选D 9. 已知直线 与抛物线 相交于 两点， 为 的焦点，若 ，则 A. B. C. D. 解：设抛物线 的准线为 直线 恒过定点P .如图过 分 别作 于 , 于 , 由 ,则 ,点B为AP的中点.连结 ,则 , 点 的横坐标为 , 故点 的坐标为 , 故选D 10. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 A. 6种 B. 12种 C. 30种 D. 36种 解：用间接法即可. 种. 故选C 11. 已知双曲线 的右焦点为 ,过 且斜率为 的直线交 于 两点，若 ,则 的离心率为w.w.w.k.s.5.u.c.o. m A． B. C. D. 解：设双曲线 的右准线为 ,过 分 别作 于 , 于 , ,由直线AB的斜率为 ,知直线AB的倾斜角为 , 由双曲线的第二定义有 EMBED Equation.DSMT4 . 又 故选A 12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“ ”的面的方位是 A. 南 B. 北 C. 西 D. 下 解：展、折问题。易判断选B 第II卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上。 13. 的展开式中 的系数为 6 。 解： ，只需求 展开式中的含 项的系数： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 14. 设等差数列 的前 项和为 ，若 则 9 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解： 为等差数列， 15.设 是球 的半径， 是 的中点，过 且与 成45°角的平面截球 的表面得到圆 。若圆 的面积等于 ，则球 的表面积等于 . 解：设球半径为 ，圆 的半径为 ， 因为 。由 得 .故球 的表面积等于 . 16. 已知 为圆 : 的两条相互垂直的弦，垂足为 ,则四边形 的面积的最大值为 。 解：设圆心 到 的距离分别为 ,则 . 四边形 的面积 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分10分） 设 的内角 、 、 的对边长分别为 、 、 ， ， ，求 。 分析：由 ，易想到先将 代入 得 。然后利用两角和与差的余弦公式展开得 ；又由 ，利用正弦定理进行边角互化，得 ，进而得 .故 。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当 时，由 ，进而得 ，矛盾，应舍去。 也可利用若 则 从而舍去 。不过这种方法学生不易想到。 评析：本小题考生得分易，但得满分难。 18（本小题满分12分） 如图，直三棱柱 中， 、 分别为 、 的中点， 平面 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I）证明： （II）设二面角 为60°，求 与平面 所成的角的大小。 （I）分析一：连结BE， 为直三棱柱， 为 的中点， 。又 平面 ， （射影相等的两条斜线段相等）而 平面 ， （相等的斜线段的射影相等）。 分析二：取 的中点 ，证四边形 为平行四边形，进而证 ∥ ， ，得 也可。 分析三：利用空间向量的方法。具体解法略。 （II）分析一：求 与平面 所成的线面角，只需求点 到面 的距离即可。 作 于 ，连 ，则 ， 为二面角 的平面角， .不妨设 ，则 .在 中，由 ，易得 . 设点 到面 的距离为 ， 与平面 所成的角为 。利用 ，可求得 EMBED Equation.DSMT4 ，又可求得 即 与平面 所成的角为 分析二：作出 与平面 所成的角再行求解。如图可证得 ，所以面 。由分析一易知：四边形 为正方形，连 ，并设交点为 ，则 ， 为 在面 内的射影。 。以下略。 分析三：利用空间向量的方法求出面 的法向量 ，则 与平面 所成的角即为 与法向量 的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。 总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。 19（本小题满分12分） 设数列 的前 项和为 已知 EMBED Equation.DSMT4 （I）设 ，证明数列 是等比数列 （II）求数列 的通项公式。 解：（I）由 及 ，有 EMBED Equation.DSMT4 由 ，．．．① 　则当 时，有 ．．．．．② ②－①得 又 ， EMBED Equation.DSMT4 是首项 ，公比为２的等比数列． （II）由（I）可得 ， 　　　 数列 是首项为 ，公差为 的等比数列． 　　　 EMBED Equation.DSMT4 ， 评析：第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找 ． 第（II）问中由（I）易得 ，这个递推式明显是一个构造新数列的模型： ，主要的处理手段是两边除以 ． 总体来说，09年高考理科数学全国I、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列（全国I还考查了利用错位相减法求前n项和的方法），一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 20（本小题满分12分） 某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。 （I）求从甲、乙两组各抽取的人数； （II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率； （III）记 表示抽取的3名工人中男工人数，求 的分布列及数学期望。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 分析：（I）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可。另外要注意此分层抽样与性别无关。 （II）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。 从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率 （III） 的可能取值为0，1，2，3 ， ， ， 分布列及期望略。 评析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易。在计算 时，采用分类的方法，用直接法也可，但较繁琐，考生应增强灵活变通的能力。 （21）（本小题满分12分） 已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点F的直线 与 相交于 、 两点，当 的斜率为1时，坐标原点 到 的距离为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I）求 ， 的值； （II） 上是否存在点P，使得当 绕F转到某一位置时，有 成立？ 若存在，求出所有的P的坐标与 的方程；若不存在，说明理由。 解:(I）设 ，直线 ，由坐标原点 到 的距离为 则 ，解得 .又 . （II）由(I）知椭圆的方程为 .设 、 EMBED Equation.DSMT4 由题意知 的斜率为一定不为0，故不妨设 代入椭圆的方程中整理得 ，显然 。 由韦达定理有： EMBED Equation.DSMT4 ．．．．．．．．① .假设存在点P，使 成立，则其充要条件为： 点 ，点P在椭圆上，即 。 整理得 。 又 在椭圆上，即 . 故 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．② 将 及①代入②解得 , = ,即 . 当 ; 当 . 评析：处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够。所谓“算”，主要讲的是算理和算法。算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一个是表,一个是里,一个是现象,一个是本质。有时候算理和算法并不是截然区分的。例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点。 22.(本小题满分12分) 设函数 有两个极值点 ，且 （I）求 的取值范围，并讨论 的单调性； （II）证明： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解: （I） 令 ，其对称轴为 。由题意知 是方程 的两个均大于 的不相等的实根，其充要条件为 ，得 ⑴当 时， 在 内为增函数； ⑵当 时， 在 内为减函数； ⑶当 时， 在 内为增函数； （II）由（I） ， 设 ， 则 ⑴当 时， 在 单调递增； ⑵当 时， ， 在 单调递减。 故 ．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 第1/13页 _1305911951.unknown _1306299147.unknown _1306320476.unknown _1306328217.unknown _1306331018.unknown _1306332965.unknown _1306333462.unknown _1306340174.unknown _1306340215.unknown _1306340364.unknown _1306341212.unknown _1306340457.unknown _1306340296.unknown _1306340196.unknown _1306339793.unknown _1306339958.unknown _1306340127.unknown _1306339883.unknown _1306339920.unknown _1306339491.unknown _1306339762.unknown _1306339405.unknown _1306333250.unknown _1306333313.unknown _1306333341.unknown _1306333461.unknown _1306333291.unknown _1306333144.unknown _1306333219.unknown _1306333025.unknown _1306331491.unknown _1306332666.unknown _1306332770.unknown _1306332781.unknown _1306332178.unknown _1306332616.unknown _1306331200.unknown _1306331402.unknown _1306331120.unknown _1306329636.unknown _1306330094.unknown _1306330765.unknown _1306330916.unknown _1306330233.unknown _1306329951.unknown _1306330023.unknown _1306329764.unknown _1306328633.unknown _1306328805.unknown _1306328869.unknown _1306329635.unknown _1306328751.unknown _1306328320.unknown _1306328395.unknown _1306328282.unknown _1306322245.unknown _1306326314.unknown _1306327337.unknown _1306327584.unknown _1306327803.unknown _1306327558.unknown _1306326792.unknown _1306327285.unknown _1306326460.unknown _1306323025.unknown _1306323264.unknown _1306326198.unknown _1306326263.unknown _1306323134.unknown _1306322486.unknown _1306322685.unknown _1306322350.unknown _1306321373.unknown _1306321600.unknown _1306322170.unknown _1306322199.unknown _1306322071.unknown _1306322132.unknown _1306321434.unknown _1306321155.unknown _1306321275.unknown _1306320800.unknown _1306320898.unknown _1306320677.unknown _1306309351.unknown _1306316813.unknown _1306316953.unknown _1306317501.unknown _1306320336.unknown _1306317454.unknown _1306316888.unknown _1306316921.unknown _1306316857.unknown _1306316366.unknown _1306316799.unknown _1306316800.unknown _1306316564.unknown _1306309494.unknown _1306316274.unknown _1306309381.unknown _1306306175.unknown _1306308675.unknown _1306309093.unknown _1306309159.unknown _1306309281.unknown _1306308690.unknown _1306307180.unknown _1306308432.unknown _1306306585.unknown _1306306705.unknown _1306306992.unknown _1306307012.unknown _1306306629.unknown _1306306245.unknown _1306299884.unknown _1306305951.unknown _1306306064.unknown _1306306087.unknown _1306306035.unknown _1306299950.unknown _1306300026.unknown _1306299930.unknown _1306299473.unknown _1306299747.unknown _1306299802.unknown _1306299724.unknown _1306299438.unknown _1306299445.unknown _1306299234.unknown _1306223386.unknown _1306253628.unknown _1306256877.unknown _1306264226.unknown _1306264808.unknown _1306298910.unknown _1306299037.unknown _1306298776.unknown _1306264320.unknown _1306264470.unknown _1306263720.unknown _1306263899.unknown _1306263801.unknown _1306263552.unknown 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