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计算机控制系统第5章.ppt

计算机控制系统第5章

孟子73代
2019-03-27 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《计算机控制系统第5章ppt》,可适用于高等教育领域

第章计算机控制系统的离散状态空间设计本章主要内容:状态空间描述的基本概念采用状态空间模型的极点配置设计采用状态空间模型的最优化设计**状态空间设计法是建立在矩阵理论基础上、采用状态空间模型对多输入多输出系统进行描述、分析和设计的方法。用状态空间模型能够分析和设计多输入多输出系统、非线性、时变和随机系统等复杂系统可以了解到系统内部的变化情况。并且这种分析方法便于计算机求解。**.状态空间描述的基本概念离散时间系统的状态空间描述设连续的被控对象的状态空间表达式在作用下系统的状态响应为其中为系统的状态转移矩阵。取考虑到零阶保持器的作用有则(--)(--2)(--)(--4)**作变量置换令:由此可得系统连续部分的离散化状态空间表达式其中:式中:为维状态向量为维控制向量为维输出向量为维状态转移矩阵为维输入矩阵为维输出矩阵。(--5)(--6)(--7)** 可用迭代法求得即:以k=hellip代入式(--)离散时间系统状态方程的解**离散时间系统的能控性描述的系统如果存在有限个控制信号       能使系统从任意初始状态  转移到终态   则系统是状态完全能控的。hellip、hellip写成矩阵形式能控性定义:对于式根据状态方程的解有**则、、hellip、有解的充分必要条件:系统的能控性判据式中:n为系统状态向量的维数。输出的能控性条件为式中:r为输出向量的维数。**描述的系统如果能根据有限个采样信号      确定出系统的初始状态则系统是状态完全能观的。离散时间系统的能观性hellip、能观性定义:对于式根据状态方程的解从到时刻各采样瞬时的观测值为:**写成矩阵形式则有解的充分必要条件即系统的能观性判据为式中n为系统状态向量的维数。**.采用状态空间模型的极点配置设计图-按极点配置设计的控制器状态空间模型按极点配置设计的控制器由两部分组成:一部分是状态观测器它根据所量测到的输出重构出状态另一部分是控制规律它直接反馈重构的状态构成状态反馈控制。根据分离性原理控制器的设计可以分为两个独立的部分:一是假设全部状态可用于反馈按极点配置设计控制规律二是按极点配置设计观测器。**按极点配置设计控制规律设被控对象的离散状态空间表达式为控制规律为线性状态反馈假设反馈的是被控对象实际的全部状态x(k)得闭环系统的状态方程为作Z变换显然闭环系统的特征方程为图状态反馈系统结构图**如何设计反馈控制规律以使闭环系统具有所期望的极点配置?首先根据对系统的性能要求找出所期望的闭环系统控制极点再根据极点的期望值求得闭环系统的特征方程为反馈控制规律应满足如下的方程如果被控对象的状态为维控制作用为维则反馈控制规律为维即中包含个元素。**例对于单输入系统给定二阶系统的状态方程设计状态反馈控制规律使闭环极点为解根据能控性判据因所以系统是能控的。期望的闭环特征方程为设状态反馈控制规律**取比较两边同次幂的系数有可得:即状态反馈控制规律为闭环系统的特征方程为**按极点配置设计状态观测器在实际工程中采用全状态反馈通常是不现实的。常用的方法是设计状态观测器由测量的输出值重构全部状态实际反馈的只是重构状态。即常用的状态观测器有三种。图状态观测器结构图**状态重构误差的动态性能取决于特征方程根的分布。若状态重构误差为:得状态重构误差方程为:预报观测器的特征方程:的特性是快速收敛的则对于任何初始误差都将快速收敛到零。因此只要适当地选择增益矩阵便可获得要求的状态重构性能。预报观测器观测器方程**如果给出观测器的极点可求得观测器的特征方程为了获得所需要的状态重构性能应有通过比较两边z的同次幂的系数可求得中的n个未知数。对于任意的极点配置具有唯一解的充分必要条件是对象是完全能观的。**现时观测器观测器方程状态重构误差为状态重构误差方程:**现时观测器特征方程:为使现时观测器具有期望的极点配置应有同理通过比较两边z的同次幂的系数可求得K中的n个未知数。降阶观测器将原状态向量分成两部分一部分是可以直接测量的一部分是需要重构的。**被控对象的离散状态方程可以分块表示为即比较得:**观测器方程:状态重构误差方程:降阶观测器特征方程:同理使通过比较两边z的同次幂的系数可求得K中的n个未知数。**按极点配置设计控制器)控制器组成设被控对象的离散状态空间描述为控制器由预报观测器和状态反馈控制律组成即)分离性原理闭环系统的状态方程为矩阵形式:**闭环系统的特征方程为可见闭环系统的n个极点由两部分组成一部分是按极点配置设计的控制规律给定的n个极点称为控制极点另一部分是按极点配置设计的状态观测器给定的n个极点称为观测器极点。两部分相互独立可分别设计。**)数字控制器实现设状态反馈控制规律为代入预报观测器方程观测器与控制规律的关系得控制器的脉冲传递函数为将脉冲传递函数转换为差分方程就可以在计算机上实现数字控制器。**无阻尼自然频率②观测器极点所对应的衰减速度比控制极点所对应的衰减速度快约倍。例-设被控对象的传递函数为采样周期采用零阶保持器试设计状态反馈控制器要求:①闭环系统的性能相应于二阶连续系统的阻尼比解被控对象的等效微分方程为定义两个状态变量**则被控对象的连续状态空间表达式离散状态空间表达式其中:**① 判断被控对象的能控性和能观性因此被控对象是能控且能观的。根据能控性判据和能观性判据②设计状态反馈控制规律设状态反馈控制规律为对应的特征方程为**根据对闭环极点的要求对应的极点和特征方程为由可得解得L=L=-即**③设计状态观测器选用现时观测器设观测器增益矩阵为现时观测器的特征方程为依题意:对应的特征方程为**解得即由可得④组成控制器其中。****最优控制器也是由两部分组成一部分是状态最优估计器另一部分是最优控制规律。图-最优调节器结构图其设计也可分为两个独立的部分:一是将系统看作确定性系统二是考虑随机的过程干扰v和量测噪声w设计状态最优估计器。**最优控制规律设计有限时间最优调节器设计设连续被控对象的离散化状态方程为初始条件给定二次型性能指标函数线性二次型最优控制的任务是寻求最优控制序列(k=hellipN-)在把初始状态x()转移到x(N)的过程中使性能指标函数最小。**求解二次型最优控制问题可采用变分法、动态规划法等方法。这里采用离散动态规划法来进行求解。动态规划法的基本思想是:将一个多级决策过程转变为求解多个单级决策优化问题这里需要决策的是控制变量(k=hellipN-)。令二次型性能指标函数**首先求解以使最小。求对u(N-)的一阶导数并令其等于零:由上式和连续被控对象的离散化状态方程有******无限时间最优调节器设计设被控对象的状态方程为当Nrarrinfin时其性能指标函数简化为其中是非负定对称阵是正定对称阵。假定[FG]是能控的且[FD]是能观的其中D为能使DTD=Q成立的任何矩阵。计算机控制系统的最优设计最经常碰到的是离散定常系统终端时间无限的最优调节器问题。当终端时间Nrarrinfin时矩阵S(k)将趋于某个常数因此可得到定常的最优反馈增益矩阵L便于工程实现。**存在且是与无关的常数阵。或:的解那么对于任何非负定对称阵有①设S(k)是如下的黎卡堤(Riccati)方程可以证明有以下几点结论:**④所求得的最优控制规律使得闭环系统是渐近稳定。**该结论说明了:当满足上述结论中所给条件时最优的反馈控制规律是常数阵并且使得闭环系统是渐近稳定的。同时该结论也指出了计算最优反馈控制规律的途径它既可以通过直接黎卡堤代数方程求解也可以通过迭代法解黎卡堤差分方程求得。同时也可以看出结论条件ldquo是正定对称阵rdquo可以放宽到ldquo是半正定对称阵rdquo。********状态最优估计器设计目前有许多状态估计方法这里介绍Kalman滤波器。设被控对象的离散状态空间表达式为其中:x(k)为n维状态向量u(k)为m维控制向量y(k)为r维输出向量v(k)为n维过程干扰向量w(k)为r维测量噪声向量。假设v(k)和w(k)均为离散化处理后的高斯白噪声序列且有设V为非负定对称阵W为正定对称阵并设v(k)和w(k)不相关。)Kalman滤波公式的推导**由于系统中存在随机的干扰v(k)和随机的量测噪声w(k)因此系统的状态向量x(k)也是随机向量y(k)是能够量测的输出量。若记x(k)的估计量为问题:如何根据输出量y(k)估计出x(k)则:为状态的估计误差因而为状态估计的协方差阵。显然P(k)为非负定对称阵。这里估计的准则为:根据量测量y(k)y(k-)hellip最优地估计出以使P(k)极小(因P(k)是非负定对称阵因此可比较其大小)。这样的估计称为最小方差估计。**根据最优估计理论最小方差估计为即x(k)最小方差估计等于在直到k时刻的所有量测量y的情况下x(k)的条件期望。引入更一般的记号若表示根据直到现时刻的量测量来估计过去时刻的状态称为内插或平滑表示根据直到现时刻的量测量来估计将来时刻的状态称为预报或外推表示根据直到现时刻的量测量来估计现时刻的状态称为滤波。这里所讨论的状态最优估计问题即是指滤波问题。****求一步预报误差根据前面的定义上式中第一项为是输入到控制对象的确定量因此上式中的第二项为。第三项中、、hellip均与不相关则第三项为零。求得一步预报方程为**可求得一步预报估计误差为可进一步求得一步预报误差的协方差阵为简化为**该估计器方程具有明显的物理意义。式中第一项是的一步最优预报估计它是根据直到时刻的所有量测量的信息而得到的关于的最优估计。式中第二项是修正项它是根据最新的量测信息对最优预报估计进行修正。在第二项中其中称为状态估计器增益或Kalman滤波器增益。设x(k)的最小方差估计具有如下形式:是关于量测量的一步预报估计。**是关于量测量的一步预报误差它包含了最新量测量的信息。因此x(k)的最小方差估计所表示的最优状态估计可以看成是一步最优预报与最新量测量信息的加权平均其中增益矩阵可认为是加权矩阵。从而问题变为如何合适地选择以获得的最小方差估计即使得状态估计误差的协方差为最小。现在的问题变为:寻求以使极小。**极小。J表示的各个分量的方差之和因而它是标量。可以证明使极小等价于使如下的标量函数由以上公式可得的状态估计误差为**进一步求得状态估计误差的协方差阵为由于与不相关因此交叉相乘项的期望值为零。取使为变为**其中如果能使取极小值那么对于任意的增量均应有。则必须有****①给定参数F、C、V、W和给定迭代计算总步数N置k=②计算P(k|k-)③计算④计算⑤如果k=N转()否则转()⑥klarrk-转()⑦输出和k=hellipN。)Kalman滤波增益矩阵的计算****解:根据上述Kalman滤波增益阵计算流程迭代计算出不同过程噪声水平下的滤波增益矩阵如图。图-例-系统的Kalman滤波增益矩阵可以看出中的各个元素随着的增大而增大它说明控制对象受到的干扰愈大依靠模型来进行预报的准确性愈低从而更需要利用量测来进行修正。也可以看出是一个时变增益矩阵但当增大到一定程度后将趋于一个常数值。**LQG最优控制器设计设连续控制对象的离散状态方程为由状态最优估计器和最优控制规律组成控制器方程:可见设计最优控制器的关键是计算Kalman滤波器增益K和求最优控制规律L。**闭环系统的调节性能取决于最优控制器而最优控制器的设计又依赖于控制对象的模型(矩阵ABC)干扰模型(协方差阵VW)和二次型性能指标函数中加权矩阵(QQQ)的选取。控制对象模型的获取可通过机理方法、实验方法和过程辨识的方法。Kalman滤波增益矩阵的计算取决于过程干扰方差阵V和量测噪声方差阵W而最优控制规律L的计算又取决于加权矩阵。在设计计算过程中一般凭经验试凑给出V、W和加权矩阵通过计算不断调整逐步达到满意的调节性能。**第五章结束谢谢!兰州交通大学自动化学院**

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