平面向量的数量积的物理背景及其含义向量的夹角 复习回顾我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS力F所做的功W可用下式计算W=|F||S|cosθ其中θ是F与S的夹角从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。*问
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：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何
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述？两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。 功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；平面向量的数量积的定义说明：问题3：向量的数量积运算与实数同向量积的线性运算的结果有什么不同？实数同向量积的线性运算的结果是向量两向量的数量积是一个实数，是一个数量问题4：影响数量积大小的因素有哪些？这个数值的大小不仅和向量的模有关，还和它们的夹角有关。正负0数量积符号由cos的符号所决定 夹角的范围 平面向量的数量积的运算性质问题5：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？问题6：当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？问题7：︱a·b︱与︱a︱︱b︱的大小关系如何？为什么？︱a·b︱≤︱a︱︱b︱问题8：对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？课前预习课堂互动课堂反馈【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a·b<0，则a与b的夹角为钝角．( ) (2)|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．( ) (3)若a·b≠0，则a与b不垂直．( ) 提示 (1)×，当a与b的夹角是180°时，a·b＝－|a||b|<0，但180°不是钝角． (2)√，若|a·b|＝|a||b|，则|cosθ|＝1，cosθ＝±1，θ＝180°或0°，则a∥b． (3)√，由a⊥b⇔a·b＝0知其正确性．练习:平面向量数量积的几何意义投影一定是正数吗？说明：（2）投影也是一个数量，不是向量。（1）练一练：四、平面向量数量积的运算率:(1)交换律：(2)数乘结合律：(3)分配律：数量积不满足结合律和消去率例2：求证：*例2：求证：一、利用向量的垂直解题:二、利用求模:课前预习课堂互动课堂反馈【训练2】 已知|a|＝1，|b|＝3，且|a－b|＝2，求|a＋b|． 解 方法一 ∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1＋9－2a·b＝4， ∴a·b＝3． ∴|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋9＋2×3＝16，∴|a＋b|＝4．课前预习课堂互动课堂反馈方法二 ∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，∴|a－b|2＋|a＋b|2＝2a2＋2b2＝2×1＋2×9＝20．又|a－b|＝2，∴|a＋b|2＝16，∴|a＋b|＝4.一.辨 析1．若a=0，则对任一向量b，有a·b=0．2．若a≠0，则对任一非零向量b,有a·b≠0．3．若a≠0，a·b=0，则b=0.4．若a·b=0，则a,b中至少有一个为0．√×××√５.对任意向量a有 .(a·a常记作a2)×练习:解：三、利用求夹角:三、利用求夹角:解： 【训练3】 已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，求a与b的夹角． 答案 B小 结1.向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量.2.实数的运算性质与向量的运算性质不完全一致，应用时不要似是而非.3.常用︱a︱＝求向量的模. 常用 求向量的夹角.2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义**
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