第十一章 第一节　坐标系

教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）第一节　坐标系教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）教材细梳理 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 1　伸缩变换eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λ·x，λ＞0，,y′＝μ·y，μ＞0，))其中点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）极点极轴极角极径M(ρ，θ)知识点2　极坐标系与点的极坐标在如图极坐标系中，点O是____________，射线Ox是____________，θ为____________(通常取逆时针方向)，ρ为____________( 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示极点O与点M的距离)，点M的极坐标是____________．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）ρcosθρsinθ知识点3　直角坐标与极坐标的互化设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝____________，,y＝____________，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ2＝____________，,tanθ＝\f(y,x)x≠0.))x2＋y2教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）[拓展]常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R) 过点(a,0)(a＞0)，且与极轴垂直的直线 ρcosθ＝a－eq\f(π,2)＜θ＜eq\f(π,2) 过点a，eq\f(π,2)(a＞0)，且与极轴平行的直线 ρsinθ＝a(0＜θ＜π)教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理） 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ＜2π) 圆心为(r,0)，半径为r的圆 ρ＝2rcosθ－eq\f(π,2)≤θ＜eq\f(π,2) 圆心为r，eq\f(π,2)，半径为r的圆 ρ＝2rsinθ(0≤θ≤π)教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）D四基精演练1．(知识点3)下列极坐标方程表示圆的是(　　)　⇐源自选修4－4P15习题T1A．θ＝eq\f(π,2)　　　　　　　　　B．ρsinθ＝1C．ρ(sinθ＋cosθ)＝1D．ρ＝1教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）2．(知识点3)已知点M的直角坐标是(－1，eq\r(3))，则点M的极坐标为______________．　⇐源自选修4－4P15习题T3 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2,3)π))教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）3．(知识点3)在极坐标系中，圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝eq\f(π,3)(ρ∈R)距离的最大值是________．　⇐源自选修4－4P15习题T5答案：6教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）考点一　伸缩变换[基础练通]1．曲线C经过伸缩变换eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,2)x，,y′＝3y))后，对应曲线的方程为：x′2＋y′2＝1，求曲线C的方程．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）解：曲线C经过伸缩变换eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,2)x，,y′＝3y，))①后，对应曲线的方程为：x′2＋y′2＝1　②，把①代入②得曲线C的方程为eq\f(x2,4)＋9y2＝1.教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）2．在同一平面直角坐标系中，求直线2x－y＝4变成x′－y′＝2的伸缩变换．解：设其伸缩变换为φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λxλ＞0，,y′＝μyμ＞0，))则λx－μy＝2,2λx－2μy＝4，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ＝2，,－2μ＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,μ＝\f(1,2).))所以φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝x，,y′＝\f(1,2)y.))故将直线2x－y＝4上的所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的eq\f(1,2)，可得直线x′－y′＝2.教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）3．求正弦曲线y＝sinx按φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,3)x，,y′＝\f(1,2)y))变换后的函数解析式．解：(1)设点P(x，y)为正弦曲线y＝sinx上的任意一点，在变换φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,3)x，,y′＝\f(1,2)y))的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)．即φeq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3x′，,y＝2y′，))代入y＝sinx得2y′＝sin3x′，所以y′＝eq\f(1,2)sin3x′，即y＝eq\f(1,2)sin3x为所求．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λxλ＞0，,y′＝μyμ＞0))的作用下的变换方程的求法是将eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x′,λ)，,y＝\f(y′,μ)))代入y＝f(x)，得eq\f(y′,μ)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x′,λ)))，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．[提醒]　应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x，y)与变换后的坐标(x′，y′)．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）考点二　极坐标与直角坐标的互化[探究变通][例1]　(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）解：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以eq\f(|－k＋2|,\r(k2＋1))＝2，故k＝－eq\f(4,3)或k＝0.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－eq\f(4,3)时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝2，故k＝0或k＝eq\f(4,3).经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝eq\f(4,3)时，l2与C2没有公共点．综上，所求C1的方程为y＝－eq\f(4,3)|x|＋2.教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）1．极坐标方程与直角坐标方程的互化(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入直角坐标方程并化简即可．(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）2．极角的确定由tanθ确定角θ时，应根据点P所在象限取最小正角．(1)当x≠0时，θ角才能由tanθ＝eq\f(y,x)按上述 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 确定．(2)当x＝0时，tanθ没有意义，这时可分三种情况处理：当x＝0，y＝0时，θ可取任何值；当x＝0，y＞0时，可取θ＝eq\f(π,2)；当x＝0，y＜0时，可取θ＝eq\f(3π,2).教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）D1．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C的极坐标方程为ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝1，则曲线C的直角坐标方程为(　　)A.eq\r(3)x＋y－2＝0　　　B．x－eq\r(3)y－2＝0C.eq\r(3)x－y－2＝0D．x＋eq\r(3)y－2＝0教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）解析：选D.由ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝1，即ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθcos\f(π,3)＋sinθsin\f(π,3)))＝1，也就是ρcosθ＋eq\r(3)sinθ＝2.即x＋eq\r(3)y＝2.故选D.教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）2．在极坐标系中，直线ρcosθ－eq\r(3)ρsinθ－1＝0与圆ρ＝2cosθ交于A，B两点，求|AB|.解：因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以直线的直角坐标方程为x－eq\r(3)y－1＝0.因为ρ＝2cosθ，所以ρ2(sin2θ＋cos2θ)＝2ρcosθ，所以x2＋y2＝2x.所以圆的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.因为圆心(1,0)在直线x－eq\r(3)y－1＝0上，所以AB为圆的直径，所以|AB|＝2.教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）考点三　极坐标方程的应用[创新贯通][例2]　(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）解：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝eq\f(4,cosθ).由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ(ρ＞0)．因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)，由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面积S＝eq\f(1,2)|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))))＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,3)))－\f(\r(3),2)))≤2＋eq\r(3).当α＝－eq\f(π,12)时，S取得最大值2＋eq\r(3).所以△OAB面积的最大值为2＋eq\r(3).教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）判断位置关系和求最值问题的方法1．已知极坐标方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程，化陌生为熟悉再进行解答．2．已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，比直角坐标系中求最值的运算量小．提醒：在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）3．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－eq\r(3))2＋(y＋1)2＝9，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C的极坐标方程；(2)直线OP：θ＝eq\f(π,6)(ρ∈R)与圆C交于点M，N，求线段MN的长．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）解：(1)(x－eq\r(3))2＋(y＋1)2＝9可化为x2＋y2－2eq\r(3)x＋2y－5＝0，故其极坐标方程为ρ2－2eq\r(3)ρcosθ＋2ρsinθ－5＝0.(2)将θ＝eq\f(π,6)代入ρ2－2eq\r(3)ρcosθ＋2ρsinθ－5＝0，得ρ2－2ρ－5＝0，所以ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－5，所以|MN|＝|ρ1－ρ2|＝eq\r(4＋20)＝2eq\r(6).教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）极坐标系下极径、极角的几何意义的应用极坐标方程涉及的是长度与角度，因此列方程的实质是解三角形，从而求边长，求距离，求直线倾斜角等．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）[例3]　在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝tsinα))(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝eq\r(10)，求l的斜率．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）解：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.(2)在(1)建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.|AB|＝|ρ1－ρ2|＝eq\r(ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2)＝eq\r(144cos2α－44).由|AB|＝eq\r(10)得cos2α＝eq\f(3,8)，tanα＝±eq\f(\r(15),3).所以l的斜率为eq\f(\r(15),3)或－eq\f(\r(15),3).教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）