[必修一]高一数学第一章

第一章集合与函数概念1.1集合集合是中学数学中的一个重要基本概念，它是研究数学问题的一种工具，函数，数列，轨迹等有关内容都是通过集合来定义的，运用集合不但能明确地界定所要讨论问题的范围，而且能简捷解决有关的数学问题。集合的概念比较抽象，相关的概念又多而且容易混淆。*一．集合的含义⑴１到20以内的所有质数;⑵我国从1991到2003年的13年内所发射的所有人造卫星;⑶金星汽车厂2003年生产的所有汽车;　　一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称集)．2．集合中元素具的有几个特征⑴确定性－因集合是由一些元素组成的总体，当然，我们所说的“一些元素”是确定的．⑵互异性－即集合中的元素是互不相同的，如果出现了两个(或几个)相同的元素就只能算一个，即集合中的元素是不重复出现的．⑶无序性－即集合中的元素没有次序之分．确定性------教科书的解释是根据集合论的创始人康托尔（德国数学家）关于集合的论述而来的，现在看来，”对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的“最好的解释为：”对于一个给定的集合，它的元素的意义是明确的“例如如果说”由高个子组成的集合“那么这个集合中的元素是不明确的，因为”高个子“是个没有严格的数量 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 的，相对的模糊概念，所以这个”高个子集合“是无法组成的。互异型-------就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的。*3.常用的数集及其记法 全体非负整数组成的集合称为自然数集，记为Ｎ 所有正整数组成的集合称为正整数集，记为 全体整数组成的集合称为整数集，记为Ｚ 全体有理数组成的集合称为有理数集，记为Ｑ 全体实数组成的集合称为实数集，记为Ｒ　　我们通常用大写拉丁字母Ａ，Ｂ，Ｃ，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．4．元素与集合之间的关系 如果　是集合Ａ中的元素，就说　属于集合Ａ，记作　　　； 如果　不是集合Ａ中的元素，就说　属于集合Ａ，记作　　　；例如，Ａ＝｛所有能被３整除的整数｝　　二．集合的几种表示方法⑴列举法－将所给集合中的元素一一列举出来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号分开．(2)描述法－用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.(2)描述法－用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及以取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.如:集合{1,2,3,4,5}用图示法表示为:A12345*有限集与无限集*⑴有限集-------含有有限个元素的集合叫有限集⑵无限集--------含有无限个元素的集合叫无限集例如:A={1~20以内所有质数}例如:B={不大于3的所有实数}1.并集一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B,(读作“A并B”).即A∪B={x|x∈A,或x∈B}1.1.3集合的基本运算一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B,(读作“A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.2.交集3.并集与交集的性质4.补集对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集.补集可用Venn图表示为: 定义 名称 符号 数轴表示 ｛x|a≤x≤b｝ 闭区间 [a,b] 　ab ｛x|a<x<b｝ 开区间 （a,b） ab ｛x|a≤x<b｝ 半开半闭区间 ［a,b） ab ｛x|a<x≤b｝ 半开半闭区间 （a,b] ab*（1）x——自变量（2）A——定义域（3）值域*就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。就是用图象表示两个变量之间的对应关系。就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。*一般地，我们有：设A、B是非空集合，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。*区间：设a,b是两个实数，且a<b，规定：定义 名称 符号 几何表示{x|a≤x≤b}闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b}左闭右开区间[a,b) {x|a<x≤b}左开右闭区间(a,b] R x≥a X>a x≤b X<b (-∞,+∞) [a,+∞) (a,+∞) (-∞,b] (-∞,b)1.求函数的定义域方法:（1）f(x)是整式时，则函数的定义域为R（2）f(x)是分式时，则函数定义域为使分母不等于0的实数的集合（3）二次根式时，则函数定义域是使根号内的式子大于0的实数的集合(4)如果f(x)是由几个数学式子构成时，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合。1．最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最大值2．最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最小值2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．注意：1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；（二）利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值2.利用图象求函数的最大(小)值3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；xyOf（x1）f（x2）f（x1）f（x2）y（1）函数的单调性也叫函数的增减性；（2）函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概念。这个区间是定义域的子集。（3）单调区间：针对自变量x而言的。若函数在此区间上是增函数，则区间为单调递增区间若函数在此区间上是减函数，则区间为单调递减区间1.取量定大小:2.作差定符号:3.给出结论：判断函数单调性的一般步骤：f(x1)－f(x2)的结果化积或化完全平方式的和；在给定区间上任取两个实数x1,x2,且x1<x2.结论一定要指出在那个区间上。1．偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．2．奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=－f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．注意：1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．3、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立.若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立.4、如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.3.用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；(2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.3.奇偶函数图象的性质1、奇函数的图象关于原点对称. 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数.2、偶函数的图象关于y轴对称. 反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函数.说明：奇偶函数图象的性质可用于：a、简化函数图象的画法.B、判断函数的奇偶性本课小结集合是中学数学中的一个重要基本概念，它是研究数学问题的一种工具，函数，数列，轨迹等有关内容都是通过集合来定义的，运用集合不但能明确地界定所要讨论问题的范围，而且能简捷解决有关的数学问题。集合的概念比较抽象，相关的概念又多而且容易混淆。*确定性------教科书的解释是根据集合论的创始人康托尔（德国数学家）关于集合的论述而来的，现在看来，”对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的“最好的解释为：”对于一个给定的集合，它的元素的意义是明确的“例如如果说”由高个子组成的集合“那么这个集合中的元素是不明确的，因为”高个子“是个没有严格的数量标准的，相对的模糊概念，所以这个”高个子集合“是无法组成的。互异型-------就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的。*****