傅里叶级数的推导傅里叶级数的推导2016年12月14日09:27:47傅里叶级数的数学推导首先,隆重推出傅里叶级数的公式,不过这个东西属于“文物”级别的,诞生于19世纪初,因为傅里叶他老人家生于1768年,死于1830年。但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用,这不由得让人肃然起敬。一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍,动不动就跳出一个'傅里叶级数”或"傅里叶变换”,弄一长串公式,让人云山雾罩。如下就是傅里叶级数的公式:f(t)二讦+q丸sin(irf)cos(2tr...
分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 和计算。当然,这个式能否成立,关键是级数中的每一项都有一个未知系数,如AO、An等,如果能把这些系数求出来,那么5式就可以成立。当然在5式中,唯一已知的就是原周期函数f(t),那么只需用已知函数f(t)来表达出各项系数,上式就可以成立,也能计算了。于是乎,傅里叶首先对式5作如下变形:4+5^)=Ah-sin・co呂(旳叔)十川刃・co呂g.・Bin(刃叔)这个变换并不陌生,源自于三角公式:sin(a±/J)=sin£z-COS/7+cost?sin/?式中'.蓝色项4科•sin傀和加5睥均为需数十写作检兔sin化且令舒舄这样,公式5就可以写成如下公式6的形式:f(t)=—-F-Vcos(^)+/\:sin(程曲)]⑥2用=i这个公式6就是通常形式的三角级数,接下来的任务就是要把各项系数an和bn及aO用已知函数f(t)来表达出来。2、三角函数的正交性:这是为下一步傅里叶级数展开时所用积分的准备知识。一个三角函数系:1,cosx,或nx,cos2x,sin2x,…,cosnx,sinnx,…如果这一堆函数(包括常数1)中任何两个不同函数的乘积在区间[-n,n]上的积分等于零,就说三角函数系在区间[-n,n]上正交即有如下式子:'XT.sinnxdx=0-.17cos—0coskx・-打cosnxdx—0(n=1,2还:.…)(打=1,2,3》{k,z?-1;2,出…(他:门二1亍乙3,.…k工门』(血:.打=1$占3」・・・;kn}以上各式在区间[-n,n]的定积分均为0第1第2式可视为三角函数cos和sin与1相乘的积分;第3-5式则为sin和cos的不同组合相乘的积分式。除了这5个式子外,不可能再有其他的组合了。注意,第4第5两个式中,k不能等于n,否则就不属于“三角函数系中任意两个不同函数”的定义了,变成同一函数的平方了。但第3式中,k与n可以相等,相等时也是二个不同函数。下面通过计算第4式的定积分来验证其正确性,第4式中二函数相乘可以写成:cos■cosmdx=*[cos(A+n)x+cos(A-科)]这个就是三角公式中的"■积化和差”当k^n时,有:cosfcc-cosmdx=£JIcos(A:4-?i)jc+co吕(k—用]主]必2k^nk-n=-';[0+0]=0可见在指定[-n,n]的区间里,该式的定积分为0。其他式也可逐一验证。3、函数展开成傅里叶级数:先把傅里叶级数表示为下式,即⑥式:j(t')={+三!角cos(^)+b.gin(程曲)]2山对⑥式从[-n,n]积分,得:■J7-JT这就求得了第一个系数a0的表达式,即最上边傅里叶级数公式里的②式。接下来再求an和bn的表达式。用cos(ke乘⑥式的二边得:[,丿(£)=匚牛十匸乞陆cos(HM)+^sin(/7zrf)]=才2龙=辿兀上式右边第二个积分项,由于三角函数系的正交特性各项在-詰到眾积分时,均为0,所以有;■/(/)=—cos(Attjf)2+工[込CO別左创)YOS(/iat)斗氏n=l然后对上式夙-詰到虑项积分:|'cos(k(xt)■/(fydt=—co別立仪豹应』二炜2」一用+V[%ICOS(iTtt)COS(f101}dt+bn[COStA^t)•sin(?i£^)ci&]n=l同样.根据三角函数系的IE交性.红色项积分为0蓝色顼里仅当心口这一项积分不为0-其余项也対爲所以有:jcos(Ar£i/)f(f)di=*^jcos(jt£c/)cos(n&Jt)二务Jco32(w^)dSt=(In-cos2nctl)dL从而有:(把技写7為=—「eg(”曲)-/(i)c#兀‘7同样,再把⑥式二端乘以沖仗血a可以得至U:1「n给=一|咸至此,已经求得傅里叶级数中各系数的表达式,只要这些积分都存在,那么⑥式等号右侧所表示的傅里叶级数就能用来表达原函数f(t)。上述过程就是整个傅里叶级数的推导过程。事实上,如果能够写出⑥式,不难求出各个系数的表达式,关键是人们不会想到一个周期函数竟然可以用一些简单的正弦或余弦函数来表达,且这个表达式是一个无穷级数。这当然就是数学家傅里叶的天才之作了,我等只有拼命理解的份了。综上,傅里叶级数的产生过程可以分为以下三步:1、设想可以把一个周期函数f(t)通过最简单的一系列正弦函数来表示,即5式;2、通过变形后用三角级数(含sin和cos)来表示;3、通过积分,把各未知系数用f(t)的积分式来表达;4、最后得到的4个表达式就是傅里叶级数公式。在电子学中,傅里叶级数是一种频域分析工具,可以理解成一种复杂的周期波分解成直流项、基波(角频率为⑴)和各次谐波(角频率为n⑴)的和,也就是级数中的各项。一般,随着n的增大,各次谐波的能量逐渐衰减,所以一般从级数中取前n项之和就可以很好接近原周期波形。这是傅里叶级数在电子学分析中的重要应用。