光子晶体光纤的数值模拟

西北大学硕士学位论文光子晶体光纤的数值模拟姓名：李书婷申请学位级别：硕士专业：光学指导教师：李小俊20080601摘要光子晶体光纤由于其区别于传统光纤而具有的无截止单模传输、可调节色散、高双折射、偏振控制、大的有效面积单模运转和小的有效面积高非线性等特性及其广泛的应用前景，成为当前国内外研究的一个热门课题．为了精确地分析、预测光子晶体光纤的传输特性，人们发展了许多理论分析方法，这些方法是研究光子晶体光纤的基本工具，在光子晶体光纤的研究领域占有很重要的地位．国内外在研究光子晶体方面的文章也非常之多，但是大都注重研究的结论，在众多的文献中能得到好多种光纤的特性信息，但却几乎找不到一种研究方法可以拿来直接用而不用经过和原作者一样的各种知识的繁杂学习的，基于提供一种通用而简单的研究光子晶体光纤的方法，作者通过自己对时域有限差分法(FDTD)和有限元方法的实践探索，总结出利用有限元软件CoMSOLMultiphysics实现光子晶体光纤数值模拟的一系列简单可行步骤及后处理过程的MATLAB程序，使一般的研究者只要根据本文给出步骤就可以进行各种光子晶体光纤特性的数值模拟。本论文在系统介绍光子晶体光纤基础知识及各种理论研究方法，并对这些方法优缺点作简单比较的基础上，重点介绍利用有限元软件COMSOLMultiphysics实现光子晶体光纤特性数值模拟的具体方法步骤，并应用该方法计算了空气孔三角形排列、空气孔正方形排列光子晶体光纤的特性参数，并对二者做了简单的比较。最后用该方法计算了类矩形芯光子晶体光纤的偏振特性。即验证了该方法的可行性，又为研究光子晶体光纤研究提供了一定的理论数据。关键词：光子晶体光纤；有限元法；coMsoLMultiphysics；数值模拟ThenumericalsimulationofphotoniccI了stal6berAbstractsThephotoniccrystalfiber(thebriefnamePCF，andthencalledhoUefiberormicrostmcturalfiber)whichdisstinguishedfromthetraditionalopticfiberhasthecharacteristicsofthesin91eendlessmoldtodeliVer，theadjustmentofdispersion，thehighdoublerefractionandContorlofpartiaⅡyflapthesinglemoldoperation，largeValidareaandsmallValidareahighnonlineari哆ofitsappliedfutureisextensive．SoithasbecomeapopulartopicathomeandabroadcuⅡenty．InadditionforthesakeofanalysingandstlldyingtheopticcharaCteristicofthephotonicc巧stalfiberiIltransfer，thepeopledeVeloppedmanyanalysismethodsintheory．Thesemethodsarebasictoolsforstlldyingthephotoniccrystalfiber，andoccupyingaVeryimportantpositioni11theresearchrealmofthephotonicc巧stalfiber．Tsherearemanyarticleaboutphotoniccrystalfiberinsideandoutsideofthenation，butnoneofthemputtheirpointinthemethodofstudyingphotoniccrystalfiber．InordertoproVideal【indofsimpleandusefulmethodinstudyingphotoniccrystalfiber，theauthorputsfbr、Ⅳardamethodthatmakinguseofasoftware——COMSOLMultiphysicstocarr)routthestepsandprogrammeofthenumericalphotonicc掣stalfiber．TIlismethodcanhelpgeneralresearcherscarryonnumericalsimulationofva“ousphotoniccrystalfiberaccordingtotheproceduresgiVeninthisacticle．Inadditiontointrodacingthef．oundamentalknowledgeofthephotoniccrystalfiberandVariOusmethodsofstudyingthephotonicc巧stalfiber，thisaniclealsomadeasimplecoIllparisonofthesemodelmethods．ALtmOstimportantofaU，thisarticleputpointincarryingoutthenumericalmethodofphotoniccrystalfiberbyfinniteelementsof呐are_COMSOLMultiphysicsandworkedoutthespeificprocedurestodoit．Inaddition，itstudiesthecharacteristicofthreekindsofthephotonicc巧stalfiber，theauthernotonlyVerifiedthepossibilityofthemethod，butalsoproVidedtheCertaintheoriesdataforstudyingthephotoniccrystalfiber．Keywords：Thephotoniccrystalfiber；finniteelementmethodCOMSOLMultiphysics；numericalsimulation西北大学学位论文知识产权声明书本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所等机构将本学位论文收录到《中国学位论文全文数据库》或其它相关数据库。保密论文待解密后适用本声明。学位论文作者签名：釜垂鸯指导教师签名：岔兰壹捌∥年矿月C7日西北大学学位论文独创性声明本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。学位论文作者签名：砻辛戊嗲声r年扩月7日1．1研究意义与目的第一章引言光子晶体光纤【1，2】(photonicc巧stal肋e璐，简称PCF，又称多孔光纤或微结构光纤)由于其区别于传统光纤的独特优点：如实现无截止单模传输、可调节色散、高双折射、偏振控制、大的有效面积单模运转【3】和小的有效面积高非线性等新奇特性【4。7】及其广泛的应用前景成为近年来众多科学家研究的热点。比如：利用PCF可以制作符合DWDM全光通信网要求的宽带低噪声光源、全光开关【引、光波长转换器【9】、全光2R再生器【10】及色散补偿器等多种器件等，并被预期可广泛的应用到通信、航空、微加工、空间、成像、生物、印刷、军事、医药、环境、制造业、石化等科技领域。为了精确地分析、预测光子晶体光纤的传输特性，人们发展了许多理论分析方法，如有效折射率模型【11J、利用各种正交基函数展开的矢量模型12，13，141、平面波法【151、时域射线传输法【16l、散射矩阵法【171、有限时域差分法【18l、有限元法等等【19】。这些理论模型方法是研究光子晶体光纤的基本工具，在光子晶体光纤的研究领域占有重要的地位【删。国内外在研究光子晶体方面的文章也非常之多，但是大都注重研究的结论，在众多的文献中能得到多种光纤的特性信息，但却几乎找不到一种研究方法可以拿来直接用而不用经过和原作者一样的各种知识的繁杂学习的，基于提供一种通用而简单的研究光子晶体光纤的方法，作者通过自己对时域有限差分法(FDTD)和有限元方法的实践探索，总结出了利用有限元软件COMSOLMultiphys砖实现光子晶体光纤数值模拟的具体的实现步骤，使一般的研究者只要根据本文实例步骤就可学会进行光子晶体光纤的数值模拟。本文结合COMSOLMultiphysics程序，介绍用有限元法实现光子晶体光纤的模拟计算的方法步骤，并用该方法计算了几种结构不同的光子晶体光纤的特性参数，又因为该方法对截面的普适性，只要在该方法中改变截面模型及参数，就可模拟不同光纤的电场及磁场、计算不同光纤的特性。即验证了该方法的可行性，又为新型光光子晶体光纤的设计和应用提供了理论数据和实现计算机模拟的有效途径，对新型光子晶体光纤的特性分析和设计、应用具有重要的意义。1．2国内外研究概况1．2．1国外研究概况由于光子晶体的折射率周期性结构能自由地控制光子的运动，比电子晶体材料具有许多更吸引人的特性，给光通信技术的发展和应用注入了新动力，成为近年来光电子研究中一大热点。1996年英国Bath大学的T．A．Birks等人首次研制出了第一根光子晶体光纤(由于在周期性结构中引入了缺陷，从而形成波导来导光)【2¨，给光纤制造和应用带来了又一次革命，近几年来有关的理论和实验研究成果更是层出不穷。2000年，T．M．MoⅢo等人对随机包层分布的光子晶体光纤研究表明，这种光子晶体光纤同样具有周期性结构的光子晶体光纤的诸多特性，从而对设计和制造带来了很大的空间昭J。现在，对新型的光子晶体光纤及其应用的研究已经不断深入。多孔光纤(HoleyOpticalFiber，HOF)是在传统的中空光纤(HollowFiber)和光子晶体光纤的基础上发展起来的一系列的新型光纤；如：光子带隙光纤，大模场多孔光纤13l，高折射率差微孔光纤等等。最近研究较多的有双包层多孔光纤，这种光纤通过掺杂来形成内包层，主要用于激光器和光放大器【矧。还有非线性多孔光纤，它的微结构包层和纤芯之间具有很高的折射率差，对导模有很大的限制性，其对应的有效模场小——这有利于产生非线性；同时这种波导结构能够产生大范围可调的波导色散。目前英国和丹麦的几所大学和科研机构已初步研制出几种结构的HOF产品。关于其工艺制造技术，国外虽然公开了一些相关专利，但由于具体制造方法可以灵活多样，许多关键技术尚需进行深入系统的探索，才能使多孔光纤的制造工艺趋于成熟实用。目前国际上尚未形成多孔光纤通行的技术标准。美国“光波技术杂志’’发表文酬冽对具有椭圆微孔包层结构的光纤的偏振和色散特性进行了分析研究，该光纤虽然具有一定的双折射，但其模斑形状不规则，周边有杂斑，与常规光纤续接损耗较大。M．khtonen等人用高双折射多孔光纤进行了超连续光谱产生实验，不仅得到了从400衄到17‰都较平坦的超宽连续光谱，而且发现超连续光谱的产生与泵浦激光的偏振态和波长等参数有直接的依赖关系【251。21．2．2国内研究概况在国内，上海光机所光子技术国际合作实验室己初步确立一套可靠的结构设计、预制棒制备和多孔玻璃光纤拉制全过程的实验技术，并以铆离子掺杂玻璃为纤芯，以空心玻璃棒阵列为包层制成的预制棒，成功地拉制出芯径达40朋的大芯径单模多孔光纤，这种光纤可以用于大功率单模镓玻璃光纤激光器。此外，该实验室以不掺杂的玻璃棒为纤芯，也拉制出了可用于大功率单模激光器产生的大芯径多孔玻璃光纤。燕山大学红外光纤与传感研究所，利用他们实验室的自身条件拉制出了一种非均匀气孔分布的多孔光纤，并利用飞秒脉冲激光与这种多孔光纤相互作用产生的超连续白光对这种多孔光纤的双折射性质进行了研究和分析。上海大学光纤研究所作为国内一个专门从事光纤研究的机构，这些年来在该方面也作了很多相关方面的工作。由其负责承担的国家自然科学基金项目“具有高双折射率的光子晶体光纤的研制和保偏特性的研究"，对HOF的制作工艺进行了探索研列26捌，是国内较早开展HoF实验研制工作的课题组之一，目前己经能够制造出如图1和图2截面结构的光纤。图1．1宽带单模光子晶体光纤图1．2双折射光子晶体光纤所研制的图1．1型的多孔光纤在1550姗至632．8nm波长范围内，均可单模传输，尤其在长波长区，其光谱透射率具有很好的抗弯曲扰动性能。所研制的图1．2型多孔光纤具有较高的双折射率，拍长可达2mm，具有很好的温度稳定性和保偏能力【281。3＼OOOO／、OOOOO．OOOOOOQOOOO．OOOOOOO，OOOOO／OOOO＼甄＼＼厂＼＼1．3本论文的内容本文的内容主要有以下几点：1)介绍本论文研究的目的、意义及光子晶体光纤的国内外发展近况。2)系统地介绍了光子晶体光纤的分类、导光机理、特性、制备及其应用前景。3)简单介绍研究光子晶体光纤的理论研究模型，并对这些理论模型的优缺点作了比较，为大家研究光子晶体光纤的特性选择最佳模型提供参考。4)首先介绍了有限元法的基础知识。其次结合COMSOLMultiphys瓶介绍实现光子晶体光纤数值模拟的方法步骤，并用最常见的空气孔三角型排列的光子晶体光纤为例，详细地说明如何利用有限软件COMSOLMultiphys洒实现光子晶体光纤数值模拟，并用该方法模拟计算和分析了空气孔正方形排列光子晶体光纤的特性参数并对其参数与三角形作了简单比较。最后又用该方法分析了类矩形芯光子晶体光纤的偏振特性。5)对全文做了小结，指出了文章的优点及局限，提出了今后工作的目标和方向。42。O引言第二章光子晶体光纤概述光子晶体【29，30】(photoniccrystal)最初由E．Yablonovitch和S．Jolul于1987年各自提出的，它是一种介电常数呈周期性分布，其变化周期是光波长的数量级，具有光子频率禁带的特殊光学材料。光子晶体光纤(photoIliccrystal肋ers，简称PCF，又称多孔光纤或微结构光纤)【29-341，1992年首先由ST．J．Russell等人将光子晶体的概念引入到光纤中，提出了光子晶体光纤的概念，1996年在OFC会议上，英国Bath大学的J．C．Knigllt等学者作了关于PCF的报告，并由南安普敦大学的Knigllt等人首先制作成功。由于其区别于传统光纤而具有的无截止单模传输、可调节色散、高双折射、偏振控制、大的有效面积单模运转和小的有效面积高非线性等特性，成为当前国内外研究的一个热门课题并被预期可广泛的应用到通信、航空、微加工、空间、成像、生物、印刷、军事、医药、环境、制造业、石化等科技领域。2．1光子晶体光纤的分类及导光原理2．1．1光子晶体光纤的分类光子晶体光纤是在石英光纤中沿轴向均匀排列着空气孔，从光纤端面看，存在周期性的二维结构，如果其中一个孔遭到破坏和缺失，则会出现缺陷，光将被限制在缺陷内传播。与普通单模光纤不同，PCF是由具有周期性排列空气孔的单一石英材料构成，又称为多孔光纤(holey6ber)或微结构光纤(micr0．stmCtured纳er)。光子晶体光纤按导光原理可分为：折射率引导型(全内反射型)光子晶体光纤，光子带隙型光子晶体光纤(简称光子带隙光纤)两种；按空气孔排布形状可分为：三角(或六角)，蜂窝，正方，矩形，环形等结构的光子晶体光纤；按所用材料分可分为：石英光子晶体光纤，塑料光子晶体光纤，以及由其它材料组成的光子晶体光纤。52．1．2光子晶体光纤的导光原理光子带隙结构光子晶体光纤的规则品格结构内存在完全的光子带隙【5】，位于光子带隙区域内的那些频率的光波不能在这种晶体中传播，而被全部反射出去。为了导光必须引入一个缺陷，缺陷的尺度为波长量级。如图2．1中纤芯气孔缺失就会在带隙中出现频率极窄的缺陷态，光子带隙缺陷具有透光性，这样以此频率入射的光子只存在于缺陷区域，实现导光。图2．1光子晶体光纤截面(光子带隙导光机制)利用光子带隙进行导光，光子能传播到光子晶体的所有层中去，由于多次散射和干涉，在满足布拉格条件时能形成波导。因此这种光子晶体光纤的导光机制是布拉格衍射【33】(见图2．2)劳马，图2．2布拉格光子晶体波导源自http：／／www．crysal—fibre．com改进的全内反射光子晶体光纤的导光机制与传统全内反射光纤相同。它的包层不存在光子带隙，这种光纤的低有效折射率包层与高折射率纤芯组成波导，形成改进的全内反射导光(如图2．3)：图2．3全内反射光子晶体光纤导光示意图2．2光子晶体光纤的特性2．2．1无截止单模传输【281根据传统单模光纤截止频率的计算公式：y：竽(刀；一珂∥2(2_1)／L其中A为波长，a为芯半径，以。和行d分别为纤芯和包层的折射率。当V<2．405时，传统单模光纤才能维持单模运转。由于工艺等方面的原因，普通单模光的截至波长一般大于1胛。而在多孔光纤中，当光束近场分布的边缘扩展到纤芯附近的气孔区域，此时包层折射率是石英和空气按两者结构加权的平均。当波长减小时，光束截面随之收缩，从而逐渐脱离气孔区域，向石英芯区收拢。这就引起了有效折射率的增加，于是引起了芯区和包层之间的折射率差减小，从而使得更小的波长A也能满足V<2．405，使得单模传输的波长区域得到拓宽。2．2．2大模场面积【351单模光子纤光晶体光纤不仅可以在近紫外到近红外提供全波段单模运转，而且允许把芯径做得很大。光子晶体光纤中传输模的数量不像传统光纤那样与芯半径与波长之比a／A有关，而是由气孔直径d与孔间距A之比决定的。因而只要包层结构设计合理，是否维持单模运转与光纤的绝对尺寸无关(实际上单模运转的波长范围最终受短波长和长波长的弯曲损耗边带的限制)。英国南安普敦大学和Bath大学开发的大模面积单模光子晶体光纤R81其芯径可以达到传输波长的50倍。光纤可在大于458姗的波长范围内保持单模低损耗传输。这种光纤的模面积是传统光纤的10倍，可有效地用于高功率传输而不受非线性效应的影响。Nielsen等【蚓通过增大空气孔直径到d／A=0．50的方法，获得了有效模面积为600pm2并具有低弯曲损耗、在1550咖为单模传输的光子晶体光纤。如果把这种光纤作为光纤激光器和放大器的基质光纤，则可允许输出功率的大幅度提高。传统光纤中芯层的折射率梯度限制了单模光纤的纤芯的大小。但是对多孔光纤而言，只要保证孔的直径和间隔比率足够大，就能实现单模传输，制备大模场的多孔光纤。在大模场多孔光纤纤芯中掺杂铆的离子yb3+，可以用在高能量传输和大功率激光器以及放大器上。实验证明，全部用无掺杂石英玻璃制得的大模场无限单模多孔光纤的传输能量为普通石英光纤的20倍以上。2．2．3可调的色散特性f36J普通石英单模光纤的零群速度色散(Group、klocityDispersion，缩写GVD)一般在1．27pm以上。G653标准零色散位移光纤和G655标准非零色散位移光纤的零色散点都向长波方向移动。色散是波导的一个重要参数。它对飞秒激光的诸多应用如孤子传输，产生超短脉冲，产生超连续光谱和谐波等都起着重要的作用。光子晶体光纤由于其包层的独特结构使得芯层和包层的折射率差增大，从而波导色散对光纤色散的贡献变大，光子晶体光纤在可见光波段具有零色散点甚至能够出现负色散，这一点在Rallk等人的实验中得到了证实【371。纯石英及传统单模光纤中产生正常色散的波长上，光子晶体光纤中都可以实现反常色散。Birl【S等经过计算得出．2000ps／nm／h的色散是可能实现的，据此能够得出这种光纤可以补偿其长度几十倍的标准光纤的色散，这远远超过了传统色散补偿光纤的色散补偿能力。光子晶体光纤的另一个突出特性就是零色散点可调，只需简单改变光子晶体光纤的尺寸，就可以在几百姗的范围内取得零色散。KnigIlt等研究了多孔光纤的反常色散特性【矧，其结果显示适当设计多孔光纤的参数就可以实现在从500衄到1300砌很宽的波长范围内控制零色散点。2．2．4奇异的非线性【281极小模场多孔光纤的另一特性就是在给定发射功率下可获得非常高的光强度，这就使得非线性效应的阈值大为降低。在一根零色散波长为830Ilm波长的极小模场多孔光纤中注入不可见的红外短光脉冲，由于非线性效应，光脉冲被转换8为亮度提高10000倍持续时间达到O．2胛的自然光。这种超连续的白光光源可以应用到频率测量、化学成像和光谱学中。2．2．5高双折射Dq光子晶体光纤的包层和纤芯易于获得高的折射率差，因而非常适宜制作具有高双折射特性的光纤。在研究过程中，周期结构不完整性对光纤双折射性能的影响，启发了多家研究机构几乎同时通过引入不对称性，以获得具有高双折射的光子晶体光纤。目前高双折射光子晶体光纤按其实现方法主要可分为两大类：一类是采用在纤芯附近引入局部非对称性【39埘】；另一类是采用光纤包层本身具有内在各向异性特点【45491。哥伦比亚大学提出的椭圆孔高双折射光子晶体光纤【邓1l的双折射(可达100以上)，并具有可调的色散特性，以及可获得零群速度差等优点。2．2．6偏振控制伫田通过合理地对纤芯周围空气孔的尺寸和形状以及分布等光纤材料和几何参数进行修剪，可以极大地提高光纤的双折射参数。一般多孔光纤很容易就可以实现双折射参数达到104量级，高双折射多孔光纤与传统的保偏光纤相比，具有很多优点：一、其单模工作波长范围大，可实现平滑零色散以增大光通信传输距离，或大的反常色散用于色散补偿，且能保证很小的群速度色散以及实现其他奇异的非线性特性；二、设计时的自由度大，很多几何参数都与双折射有关，可以实现双折射可调节性；三、与传统保偏光纤相比，其双折射参数要大一个数量级，达到10-3级；四、由于多孔光纤的双折射主要是由几何双折射引起的，其双射具有很大的稳定性；五、从目前的研究情况看，多孔光纤的设计和制造渐趋成熟，成品率逐渐提高，为保偏光纤的更新换代奠定了基础。2．3光子晶体光纤的制备多孔光纤的制备技术与传统石英光纤的制备技术有很多相似之处，但是也存在较大的不同，一般有一下几个步骤例：9首先是结构设计与材料的选择。多孔光纤所用的材料一般是掺杂的石英玻璃，也可以根据不同的要求，选择其它的材料，如光学玻璃或聚合物材料等。第二步是预制棒的制备。根据制备的不同种类的多孔光纤，可以是纯石英玻璃丝或是石英玻璃管，也可以是其它种的具有芯层结构的光纤。第三步是排列捆绑。将拉制好的预制棒按设计要求的排列结构排成三角形分布或者六边形分布等分布方式，并用特殊的粘合剂将其捆绑组合。对高双折射率多孔光纤的拉制还需考虑怎样改变纤芯附近两个横向正交方向的有效折射率差，一般可以采用改变孔或者纤芯的形状、大小、孔间距以及孔的分布的方法；也可以采用掺杂或在气孔中注入气体液体等方法。第四步是拉制多孔光纤。将捆绑好的预制棒送入拉丝塔中。一般控制拉丝温度在拉制单根预制棒的温度以下，注意保持好预制棒的形状和排列结构，这是拉制多孔光纤的最为关键的一步，也是技术难度最大的一步，既需要有较为精密的拉丝设备，又需要较多的实验技术和经验。第五步对拉制好的多孔光纤性能测试。2．4光子晶体光纤的应用及前景展望光子晶体光纤因其区别于传统光纤的独特性质，其应用可涉及到通信、航空、微加工、空间、成像、生物、印刷、军事、医药、环境、制造业、石化等科技领域。在光通信方面的应用预期涉及到高功率光的光纤传输、色散补偿、白光源、波长变换器、多芯光纤耦合器、脉冲形成器、长时间作用的化学传感器、模变换器、高双折射型陀螺仪光纤、压力和温度传感器等。光子晶体光纤在飞秒激光领域的应用前景也很明了。首先，光子晶体光纤具有强烈的非线性使得未经过放大的飞秒脉冲就可以在这种光纤中产生超连续谱【铝】：其次，与传统光纤在可见光波段呈现正常色散不同，光子晶体光纤由于其包层的独特结构使得其波导色散对光纤色散的贡献很大，结果光子晶体光纤在可见光波段能够呈现反常色散【49】，因而在光子晶体光纤中在更大的光谱范围内产生光孤子已经成为当前的研究热剧52。54】，光子晶体光纤将以普通单模光纤不具备的特性在光纤应用领域掀起一场新的革命。102．5小结本章在阐述了光子晶体光纤的分类，导光原理的基础上介绍了光子晶体光纤无截止单模传输、大模面积、可调节色散、奇异的非线性、高双折射、偏振控制等特性及光子晶体光纤的制备和应用。第三章研究光子晶体光纤的基本理论模型及其比较3．0引言光子晶体光纤由于其区别于传统光纤而具有的无尽单模、异常色散、高双折射、大的有效面积单模运转和小的有效面积高非线性等特性成为当前国内外研究的一个热门课题。为了精确地分析、预测光子晶体光纤的传输特性，人们发展了许多理论分析方法，这些方法是研究光子晶体光纤的基本工具，在光子晶体光纤的研究领域占有很重要的地位。从传统光纤和光子晶体光纤的研究方法出发，对多孔光纤的解析分析和数值分析方法也有了很多新的发展【矧。本章列举出了当前用于研究光子晶体光纤常用的几种理论研究模型及其推导过程，并对各种模型的优点和局限性进行比较和分析，为快速有效的研究光子晶体光纤的不同特性而选用比较合理有效模型提供方便。3．1研究光子晶体光纤的理论研究模型及其推导从传统光纤和光子晶体光纤的研究方法出发，对多孔光纤的解析分析和数值分析方法也有很多新的发展。目前主要的研究方法有有效折射率模型53’541】，时域有限差分法(FDTD法)【551，有限元法冈，平面波展开法【571，多极法【5鼬91，BPM法(beampropagationmethod)【矧，正交函数模型【55l，全矢量模型551，平面波矢量模型【59l等。3．1．1有效折射率模型侈纠，嘲】把光子晶体光纤包层区视作无中心缺陷且无限周期性排列的二维光子晶体结构，为简化计算用面积相等的圆形单元胞代替六角形单元胞。单元胞中空气柱的半径为r，单元胞外半径为R=O．525A，A为包层孔距。在极坐标中横向基本模式场分布函数1IJ满足的标量方程为：窘弓警+瞻∥)；f，=。c3叫边界条件为：p；尺时，d妒／勿=0；在p一，时，lf，，d妒／勿连续。依据边12界条件并利用贝塞尔函数递推公式，可得基模传输时的特征方程为：w。(u)／J。Ⅳ)-胛。缈)／，。缈)(3-2)。其中，l，J分别为第一类贝塞尔函数和贝塞尔函数，U，w与归一化频率的关系为：形2：∞2一鬈2刀刍k，u2-k2疗；一卢2k，∥2+【，2-)，2-r2b；一以≥k．式中，neff为包层有效折射率，由包层基模的传播常数BFSM决定，即nc肛BFSM／1c，1c为自由空间波矢量，nc为纤芯材料折射率，rc=A-r／2为纤芯半径，B为光纤的传输函数。解超越方程(3—2)可得到U和B随波长或频率变化的数值解，方程的第一根对应基模传输常数BFSM。3．1．2时域有限差分法(FTDT)嘲由无限源区的M强weⅡ方程：V×豆．西／以(3_3)V×应；晒／以(3_4)光子晶体光纤垂直于周期性平面的轴向具有不变的介电常数，光沿轴向传播的电磁场可表示为：VG，y，z)一ll，G，yk屯止(3—-5)V表示电场或磁场分量。沿z方向场的变化可写为以下离散形式：ll，￡，I?，j『，七+1一EPI?，j『，七‘e岫，p-x，y(31)1l，HPl?，．]『，七+1一日pl?，j『，七。e电止，p=x，)，(3_7)令&-'0时，有e电＆一1I．玻：&下面的关系式成立：Epl?，j『，七+1一E，l?，j『，七=琅：&，p—z，．)，(3—8)ⅣPI?，_『，七+1一日Pl?，j『，七一琥：&，p—x，)，(3—9)因此可得到轴向传播常数为垃时，二维周期性平面内电磁场传播方程为五：“(f+1／2，．，)一c_(f+1／2，_，)五：(f+1／2，j『)+cD·cB(f+1／2，_『)【H：“胆(f+1／2，J『+1／2)13一彤“胆(f+1／2'．『一1／2)一f·乞·日：+1胆(f+1／2，．『)】(3—10)F“O，．『+1／2)=c么O，j『+1／2)髟O，．『+1／2)+cD·cBO，j『+1／2)p·乞．月：+1胆(f，j『+1／2)一而r“720+1／2，j『+1／2)+^E“72(f一1／2，j『+1／2)】(3—11)E“(f，J『)=c爿(f，j『)E(f，j『)+cD·cBO；j『)【H；+1胆(f+1／2，J『)一月?“心(f一1／2，．『)一^C“胆O，．jf+1／2)+^C“胆O，j『一1／2)】(3—12)月：“胆(f，_『+1／2)=月：d胆(f，j『+1／2)+cDp·也·髟(f，．『+1／2)一FO，j『+1)+EO，j『)】(3—13)月了“胆(f+1／2，j『)一日；4胆O+1／2，j『)+cD【E(f+1’_『)一EO，j『)一f·也·Ea+1／2，j『)】(3-14)H；“72(f+1／2，J『+1／2)一^誓．1720+1／2，j『+1／2)+cD【EO+1／2，j『+1)一E：O+1／2，．|『)一E；(f+1，j『+1／2)+E；O，j『+1／2)】(3——15)式中f，j『，七为网格空间的点；疵为时间步长；厶为空间步长；例蚍七)；掣磐哄訾警绺，∞‰七)，￡。他嘶七)+口叭七)缸／2】，””71+pO，jf，七)缸／2￡G，．『，七)】’⋯一⋯一“～1”～’一cD=(出／厶)·(1／√石；-)，为了得到稳定解，时间步长须满足△fs1／(c·√△x‘2+△y-2)；为降低色散，要求厶s(1／10)k在网格边界采用完美匹配层边界条件。在光纤中心缺陷处设置一个电磁场初始分布，经过足够时间步演算后，只有真正的缺陷模式才会保留下来。3．1．3正交函数模型【56】把光子晶体光纤的横向折射率看成包层光子晶体结构PCI和中心缺陷周期结构PC2的叠加构成的二维超格子，超格子中的周期性单元称为超元胞。分别对Pcl和Pc2作傅立叶变换：F(G)=彳一1f，伍)exp(一fG·尺迹。其中A为元胞二面积，，㈣表示元胞介电常数，G为倒格子空间的矢量。根据周期结构傅立叶变换理论，可以得到表示光纤横向折射率分布甩2和k厅2解析形式：14雌川I罄一(等H孚)+》Cos(等H等)。3咄，h雌㈡l弘cos(等H孚)+弘cos(等H等)只6、D曲、础、比分别为两周期结构展开系数，P、D为展开式项数，乓、知分别为周期性折射率在工，y方向上的周期长度。设PCF纵向折射率均匀，则其模式电场可写为：Eky，z)一bky)+乞ky)】exd砬)exd一韶)(3—17)夕是模式的传播常数，口为PCF衰减系数，在不考虑衰减时，口=O。e肛y)=锁+缈，嘶y)分别是电场横向、纵向分量。代入矢量波动方程，如不考虑耦合可得到：晤形搿厅2k，一一孙警】c卜㈣(vM∥咒2b，一一*等)c3邗，晟、乃是五y方向上偏振模式的传播常数，晟确，万2翎2G纠是横向折射率分布。用厄密．高斯函数将模式电场(3_18)，(3-19)展开：巳G，y)一∑￡二也b盹(y)(3—．20)舶e，G，y)；罗E二咒G心(y)。(3-21)。盎南，为展开式项数，妒。G滩一口，缸·z，y)是正交归一化厄密．高斯函数：喇一篙唧怯M昙)c～?如D俐是石阶厄密函数国是特征宽度。把模式电场展开式代入波动方程可得两个偏振模式的特征方程：∽。弘比+磁+啦】-霹％(3_23)∥。弘比+叫如+划=纯(3—24)，毙、J：如、J怂、，!如地展开式见参考文献【63】。上两式简写为：M’y5-卢y’(3—．25)M，．，(1)+七2，(2)+，(3l，(3—26)矩阵∥的本征值中大部分无实际物理意义，只有雕落在纯石英在工作波长处的折射率和包层区的折射率之间时才对应PCF相应模式的传播常数。3．1．4多极法模型‘61】此方法把气孔设置为圆形孔，在这些圆孔的周围模场用柱谐函数展开。设圆柱的序号为，，在此圆柱周围，电场的纵向分量E可用以圆柱Z为中心的局部极坐标“，，∥展开：t一妻[口f”)．，。@_)+研“)日2)@i，j)】-exp铆锄)·expo膨)(3—-27)这里七i．仁；甩；一∥：严是横向波矢，％是石英折射率，夕是模式的传播常数，J．和Ⅳ2’分别是贝塞尔函数和第一类汉克尔函数，朋表示阶次。在圆孔内，此例中折射率刀产1，模场可用规则贝塞尔函数展开为：疋一妻c，’，。任_)·exp(锄办)·exp(f肛)(卜28)这里七i。G；雄?一卢z严，飓的展开式以此类似。利用气孔表面的磁场和电场的边界条件，可得口P’，西⋯，cf”’的关系式。气孔，附近模场的规则部分(J。)是由其它气孔歹一z的模场的出射部分(Ⅳ!))叠加而成，这样就可得到不同气孔系数之间的关系。由这些关系就可得到一个与p有关的无限维矩阵方程，通过设定(3-3)(3—4)中的截断系数M：．M硼圳就可通过数值方法计算模式的传播常数口。163．1．5全矢量模型№2】光子晶体光纤得导波模可用一组空间上简化了的^，。(2：)和e-。(耄)方程来表示，方程只含横截面的五y方向。假定电磁场是单频的，且只在z轴上有谐波，即电磁场的传播常数p已知。根据横截面电磁场的分布，方程可写成：』曲t。p2'(3-29)lL+毛。-p+2或一乏2㈦"是工的伴随矩阵算符，幸表示复合共轭魏矩阵工中每个微分算符元素￡口，的形式如下：k一咿+砌2k—k一即‰．1k一硒)，q'；考，7硝)，，(3_30)V2是拉普拉斯算符，Va是横截面分量梯度算符。与T是在卅方向上的完全反对称张量，万是介质的折射率，七是自由空间波数。公式(3_29)组成了算符三和它的伴随矩阵三+的特征方程。每个微分算符三。T代表一个小单元，每个小单元z，)，方向的长度为仇，和岛。在这两个方向上都包含中心缺陷，且满足五)，方向电磁场的周期性边界条件，将此小单元拓展到整个二维横截面平面，虽然每个小单元不具有周期结构，但从整个二维平面上看确实是一种周期结构。因此表示这种周期结构的整个矩阵能够写为每个结构的矩阵的和。由这种周期性结构可将二维电磁场按照函数无“)-exp(吨·‘)拓展为离散的傅立叶级数。七。一幼(万，／见，以，／B)是离散的横截面波矢量。通过以上变换就将微分方程(3～29)转化为矩阵￡的代数方程，矩阵L的范围通常限制在二维的被约束状态，按照光纤传播理论，矩阵L范围的被约束状态就是导波模。3．1．6平面波矢量模型删把PCF看成一个超元胞，在假定周期性边界条件的前提下，由超元胞构成超格子。此时，把z和)，偏振模分别进行傅立叶变换，得到；17(3—-31)式中吞为倒格子空间的晶格矢量，e三和e茎分别为工和y偏振平面波晶格矢量方向的传播振幅：，．为空间矢量；E和马分别为z和y偏振模的电场分量。在光纤断面的介电常数分量巴和它的对数也能分解为傅立叶级数，即：(3-32)为了找出z和y偏振模的传播常数p，我们需把(3_-31)(3-32)代入电场的横向分量的半矢量波动方程(3—33)并求解。一p：E1一B2Ey式中如为传播常数，晟、岛分别为z和y方向的传播常数。3．1．7光速传播模型(BMP)嘲(3_33)用三维标量的Helmhotz方程，在缓变包络近似下得到电场的FIrcsnel方程标量波方程：2加。詈一害+害埘‰y)矗逾(3_34)其中开D为参考折射率。对上式横向采用中心差分 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，纵向采用超松弛差分格式，使之离散化后整理得到形如砭“E“1·《E7(3_35)的线性方程。对固定的网格剖分和结构参数，彤"，《为常系数矩阵，历，目“分别是第f和第Z+1截面的电场分布函数。在给定初场分布后求解方程(3-35)可得到纵向各截面的电场分布融另纠、EG另2出)、⋯⋯、￡G弦Ⅳ毖)。另一方面，电场可以表示成正交函数的叠加：￡G，y，七△z)；∑风比。G，y)exp(-．『卢朋z)，七=1，2，⋯，Ⅳ(3—36)18、l_，、ll，一r—r—G—G，～U、，～U、ppXXeex—Gy-GeeV分Y分I皇、l，、l，一r—r，J～，r～XyEE，lIIII-‘--●-【一r一一r一峨一呶峨一曲d—d—EE，___．_。____L，_--_____--_Ld一救d一曲++皿皿一r—r，J_、，JI、上上￡￡2O2Okk++xyEEVV其中‰Gy)和砌分别是正交函数和旁轴波方程第咒阶模式的传播常数。假定电场没衰减，把(3．_36)式代入电场幅度相关函数P(z)一俨‘G，)，，o逑G，)，，七△z皿方得到：P(z)=∑⋯2exp(-伊朋z)(3-37)对(3．1．37)进行傅立叶变换得到：P(∥)一∑町6∞一以)(3_38)寻找峰值点对应的励，即可得到光纤导模的传播常数。3．1．8有限元法从MaxweU方程出发得到光子晶体光纤所遵从的本征值方程：V×(￡j1V×疗)一@／c)2旃(3．39)其中疗=曰G，y)exp(一j位)是磁场强度；棚J￡l分别是介质的介电常数和磁导率；c为真空中光速；础光波角频率。根据所要计算区域构建模型；设定波长材料折射率参数、子区域及边界条件，对整个计算区域进行离散网格化，在每个小区域求解方程(3_39)，再对所有小区域内的解进行综合，得到该计算区域上的解。本方法在下一章将详细叙述。3．2理论模型的优缺点比较等效折射率模型分为矢量和标量模型，是T．A．Birks等【31】建立一种相对简单的分析高折射率芯的光子晶体光纤的传播特性的模型。该模型构造计算模型简单，将光子晶体光纤等效为阶跃光纤，忽视了其截面结构引起的复杂的折射率分布，不仅计算非常简便，而且图像清晰，便于对光子晶体光纤的特性进行理解和分析。该模型能对其”无尽单模”做出解释，但不能精确预测它的模式特性如偏振特性。主要用于解释全内反射型光子晶体光纤的单模特性，而且由于采用标量波近似理论，考虑Maxwell方程的矢量特性，对于包层空气孔较大的情况的光子晶体光纤不能使用此方法。时域有限差分法应用于光子晶体光纤时，由于光波长相对一般电磁波长较短，故要求网格密度大，所以计算量大，效率不高。但作为较为成熟的电磁领域的计算方法，随着计算机领域的飞速发展在一定程度上克服了其计算量偏大的19弱点，而其简明直接，易于编程的特点日益突现。加上这种算法是直接基于M嬲well方程建立的，具有广泛的适用性。同时它还具有可以通过傅立叶变换，可以计算出包含很大频率范围的结果，因此应用范围越来越广。但它限制了网格的划分，比较适合截面形状比较规则的光子晶体光纤。正交函数模型通过傅立叶变换中的基矢量变换，可以构造其他结构的超元胞格子，用来描述各种结构的光子晶体光纤的横向折射率。采用两种周期性结构的叠加来表示光子晶体的横向折射率，对其横向折射率分布的描述可以达到非常高的精确度。利用正交函数的性质，将全矢量波动方程转换为矩阵的本征值问题，这是一个可以表示各种结构光子晶体光纤的模型。但此模型表达式复杂，转换后得到的是一个四维矩阵，要进一步简化矩阵才能求解。而且此方法要求光子晶体光纤的空气孔与孔距之比足够小，否则得不到精确的结果。多极法模型将每个空气孔周围的场分量用柱谐函数和贝塞尔函数展开，并把这些函数联立加入边界条件，组成一个方程组，通过求解矩阵方程来确定模式传播常数。该方法能有效的计算光子晶体光纤的损耗，但其边界条件的确定和求解方法比较复杂。而且该方法适合于分析空气孔为圆形的PCF，计算空气孔数目不大的PCF速度很快且精度较高，但随着空气孔数量的增大，计算量急剧增加，所以不适合气孔数量较多的情况。全矢量模型把光在光纤中传播的全矢量特征考虑在内，可以恰当的表示实际带有中心缺陷的二维周期结构，能够精确模拟光子晶体光纤，分析设计参数不同的光纤，预测其模式特性。但由于没有利用导波模的局域化特征，以及对截面折射率分布的周期性拓展，因此计算量大、效率不高。利用二维电磁场按照指数函数JcI“)一exp(呶·‘)拓展为离散的傅立叶级数很容易建立表示任意位置的孔与表示位于坐标原点的孔的关系，而且这些结构是完全相同的，仅仅是位置不同。同时对矩阵中任意元素的计算能由该函数的解析式得到，并且可以通过计算矩阵特征值对应的特征矢量进一步计算横截面上导波模电磁场的强度分布。有限元法分析光波导的模场具有较高的计算精度，可适用截面是任意不规则形状，材料折射率任意组合的情况下，能够对光纤的偏振特性和色散特性进行很好的阐述。对大空气孔占空比的T瓜．PCF，在小空气孔占空比Tm．PCF中具有的弱近似条件下不再满足，这时必须采用矢量有限元法，计算的难度也相应增加。同时需要指出的是采用变分公式和有限元展开式求解电磁场问题时，往往会有虚模即非物理解，它们与真正的物理解混在一起，干扰了对物理解的寻求；而且虚模的数目随着网格密度(即总体矩阵的阶数)的增加而增加，任何提高精度的作法都伴随着增加虚模的烦恼。因此，鉴别和消除虚模始终是有限元法求解电磁场问题的一个重要课题【矧。光速传播模型计算方法不受光波导横截面形状的限制而且简单方便，因而发展十分迅速，并且出现了多种光束传播法的形式。光束传播法的基本思想是在给定初始场的前提下一步一步地计算出各个传播截面上的场，其算法简单，不受材料和波导形状的限制，具有通用性。可以得到光子晶体光纤的色散特性，精度也比较高，但计算过程相对复杂。Silvertrc等人提出了全矢量平面波展开的平面波矢量模型、光速传播模型都可比较精确描述光子晶体光纤的性质，但计算难度和计算量都比时域有限差分模型大，并且难以对光子带隙光纤的导波模式和色散等问题进行进一步的研究。正交函数模型、全矢量模型、等效折射率模型都不能完全反映光子晶体光纤的特性。等效折射率模型、全矢量模型、时域有限差分模型、有限元法都可用来研究光子晶体光纤的导模。3．3本章小结本章介绍了研究光子晶体光纤的主要理论模型及其推导过程，并对这些理论模型作了比较。通过以上比较，我们不难看出各个理论模型各有其优点和不足，研究光子晶体光纤不同特性选用不同理论模型能更快速得到比较精确数据。总的来说，作为比较成熟的TIR．PCF计算模型，等效折射率模型因其简便快捷而深受青睐。正交函数模型，全矢量模型因其计算PBG型光子晶体光纤特性的精确性而正在引起更多人的重视。时域有限差分模型与计算机的结合则成为计算的又一热点。多极法模型提供一个计算任意结构光子晶体光纤损耗特性的新方法。有限元模型则是研究各种截面光子晶体光纤色散特性和偏振特性的有效方法。21第四章有限元法及光子晶体光纤数值模拟实现4．1有限元法概述4．1．1有限元法简介有限单元法(FiIIiteElementMethod)，简称有限元法，是求解数值边值问题的一种 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 计算方法。有限元的思想最早在20世纪50年代首先在连续体力学领域——飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法。有限元法方法摒弃了刻画自然规律中局部的、瞬时的数学描述而以大范围的、全过程的数学分析作为自己的出发点，数学分析的任务就是从无限维空间转化为有限维空间，把连续转变为离散的结构。但这个方法开创性工作公认是R．W．Clougll在20世纪60年代发表的著作中奠定的。上世纪70年代在英国科学家zienkiewicz．O．C等人的努力下，将它推广到各类场问题的数值求解，如温度场，电磁场，也包括流场，并很快广泛地应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。4．1．2有限元法基本思路有限元法基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解，借解出的每个单元的近视解最后得出整个区域的解。根据其采用函数形式又可分为标量有限元法和矢量有限元法。在物理计算中许多问题都可归结为满足一定边界或初始条件的偏微分方程。通常情况下，解这些偏微分方程是很困难的。但对于一些偏微分方程，可以构造相应的泛函，使求泛函的极小值问题与求相应的偏微分方程的问题等价，这就是求解物理问题的变分原理I。变分原理是构造微分方程某些数值解法的基础，具有重要的理论和实践意义。标量有限元计算光子晶体光纤是根据有限元的变分原理得到该问题的对应的变分问题，即所求电场或磁场的标量势函数的偏微分方程的边界问题进行求解，得到电场或磁场分布及传播常数。4．1．3有限元法变分原理、矢量有限元一股焚分法包括以F几步：从物理上建立泛函及冥条件；通过泛函焚分，利用变分法定理得到尤拉方程；求解尤拉方程。泛函就是函数的函数，如函数T=T(力，而尸y(力，则称T是y的泛函．对于多个自变量的函数驴(x，y，z)的泛函r(驴)来说，如果具有以下的一般形式：z(伊)2专妒G鹏毗彤亿蚴+旷@膨(4-1)式中％一誓，哆一警，钇一警则在泛函极小的情况下令6丁=0，可得如下尤拉方程：鸶一去白一号c毒{《M㈣要cos口+要cos∥+要cos)，+兰。o(4_3)一c0S口+一COS∥+——c0S)，+——IU(4_3)a钇a吼。a钇’aG、。将由静电场电位伊0，)，，z)构成的函数F及G，即F。【(争：+卑)z+馔)2+(一旦)纠(4_4)d％栅dz￡G·一g驴(4_5)(4_4)，(卜5汛入(4_-2)式得到：粤+鲁+磐，一(“)一+一+一目一一●单—n-a矿av‘az2￡r2：誓。g(帅rl：伊一‰(¨)(州)式，(4_7)式，(4一_8)式正是电磁场的泊松方程及第二类和第一类边界条件。可见(4一一式，(4_7)式，(4_8)式的微分方程与下面(卜9)式泛函极值等价。即求甫磁场的微分方程问题可化为求下述泛函极小值问题：№)=三缈絮)2+絮)2+絮)2+2(一》M眦+邛钟声=面n(4_9)即6丁=0。也就是说，(4_9)式就是电磁场微分方程的泛函变分表达式。矢量有限元法根据光在光子晶体光纤中的传输问题仍然符合M删ell方程，因此从Maxwell方程出发推导出光在光子晶体光纤中传输所遵