循环冗余校验码(CRC)的基本原理

循环冗余校验码（CRC）的基本原理循环冗余校验码（CRC）的基本原理是：在K位信息码后再拼接R位的校验码，整个编码长度为N位，因此，这种编码又叫（N，K）码。对于一个给定的（N，K）码，可以证明存在一个最高次幂为N-K=R的多项式G(x)。根据G(x)可以生成K位信息的校验码，而G(x)叫做这个CRC码的生成多项式。校验码的具体生成过程为：假设发送信息用信息多项式f(X) 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，将f(x)左移R位（则可表示成f(x)*XR），这样f(x)的右边就会空出R位，这就是校验码的位置。通过f(x)*XR除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码。几个基本概念1、多项式与二进制数码多项式和二进制数有直接对应关系：x的最高幂次对应二进制数的最高位，以下各位对应多项式的各幂次，有此幂次项对应1，无此幂次项对应0。可以看出：x的最高幂次为R，转换成对应的二进制数有R+1位。多项式包括生成多项式G(x)和信息多项式f(x)。如生成多项式为G(x)=X4+X3+X+1，可转换为二进制数码11011。而发送信息位1111，可转换为数据多项式为f(x)=X3+X2+X+1。2、生成多项式是接受方和发送方的一个约定，也就是一个二进制数，在整个传输过程中，这个数始终保持不变。在发送方,利用生成多项式对信息多项式做模2除生成校验码。在接受方利用生成多项式对收到的编码多项式做模2除检测和确定错误位置。应满足以下条件：a、生成多项式的最高位和最低位必须为1。b、当被传送信息（CRC码）任何一位发生错误时，被生成多项式做模2除后应该使余数不为0。c、不同位发生错误时，应该使余数不同。d、对余数继续做模2除，应使余数循环。将这些要求反映为数学关系是比较复杂的。但可以从有关资料查到常用的对应于不同码制的生成多项式如图9所示：N          K          码距d          G(x)多项式          G(x)7          4          3          x3+x+1          10117        4        3          x3+x2+1   11017       3         4         x4+x3+x2+1        111017          3          4          x4+x2+x+1         1011115          11         3          x4+x+1          1001115          7         5          x8+x7+x6+x4+1          11101000131          26         3          x5+x2+1          10010131          21         5          x10+x9+x8+x6+x5+x3+1   1110110100163          57        3          x6+x+1          100001163          51       5          x12+x10+x5+x4+x2+1         10100001101011041      1024          　   x16+x15+x2+1          11000000000000101图9常用的生成多项式3、模2除（按位除）模2除做法与算术除法类似，但每一位除（减）的结果不影响其它位，即不向上一位借位。所以实际上就是异或。然后再移位做下一位的模2减。步骤如下：a、用除数对被除数最高几位做模2减，没有借位。b、除数右移一位，若余数最高位为1，商为1，并对余数做模2减。若余数最高位为0，商为0，除数继续右移一位。c、一直做到余数的位数小于除数时，该余数就是最终余数。【例】1111000除以1101：1011———商————1111000-----被除数1101————除数————10001101————10101101————111————余数4、CRC码的生成步骤（1）将x的最高幂次为R的生成多项式G(x)转换成对应的R+1位二进制数。（2）将信息码左移R位得到多项式f(x)*XR。（3）用生成多项式（二进制数）对f(x)*XR做模2除，得到余数（即校验码）。（4）将余数多项式加到f(x)*XR中，得到完整的CRC码。【例】假设使用的生成多项式是G(x)=x3+x+1。4位的原始报文为1010，求编码后的报文。解：（1）将生成多项式G(x)=x3+x+1转换成对应的二进制除数1011。（2）此题生成多项式有4位（R+1），要把原始报文F(x)左移3（R）位变成1010000（3）用生成多项式对应的二进制数对左移4位后的原始报文进行模2除：1001-------商------------------------10100001011----------除数------------10001011------------11-------余数（校验位）（4）编码后的报文（CRC码）：1010000+        11------------------1010011CRC码为1010011（和纠错）。在接收端收到了CRC码后用生成多项式为G(x)去做模2除，若得到余数为0，则码字无误。若得到余数不为0，则接收的数据有错。5、通信与网络中常用的CRC在数据通信与网络中，通常k相当大，由一千甚至数千数据位构成一帧，而后采用CRC码产生r位的校验位。它只能检测出错误，而不能纠正错误。一般取r=16， 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 的16位生成多项式有CRC-16＝x16+x15+x2+1和CRC-CCITT＝x16+x15+x2+1。【例1】某循环冗余码（CRC）的生成多项式G(x)＝x3+x2+1，用此生成多项式产生的冗余位，加在信息位后形成CRC码。若发送信息位1111和1100则它的CRC码分别为＿A＿和＿B＿。由于某种原因，使接收端收到了按某种规律可判断为出错的CRC码，例如码字＿C＿、＿D＿、和＿E＿。（1998年试题11）供选择的答案A：①1111100      ②1111101       ③1111110     ④1111111B：①1100100      ②1100101       ③1100110      ④1100111C～E：①0000000      ②0001100    ③0010111      ④0011010  ⑤1000110       ⑥1001111        ⑦1010001       ⑧1011000解：A：G(x)＝1101，f(x)＝1111，f(x)*x3÷G(x)＝1111000÷1101＝1011余111得到的CRC码为1111111B：G(x)＝1101，f(x)＝1100，f(x)*x3÷G(x)＝1100000÷1101＝1001余101得到的CRC码为1100101C～E：分别用G(x)＝1101对①～⑧作模2除:①0000000÷1101余000    ②1111101÷1101余001③0010111÷1101余000    ④0011010÷1101余000    ⑤1000110÷1101余000⑥1001111÷1101余100    ⑦1010001÷1101余000    ⑧1011000÷1101余100所以＿C＿、＿D＿和＿E＿的答案是②、⑥、⑧【例2】计算机中常用的一种检错码是CRC，即_A_码。在进行编码过程中要使用_B_运算。假设使用的生成多项式是G(X)=X4+X3+X+1，原始报文为11001010101，则编码后的报文为_C_。CRC码_D_的说法是正确的。供选择的答案：A：①水平垂直奇偶校验                     ②循环求和                     ③循环冗余                          ④正比率B：①模2除法                       ②定点二进制除法                     ③二－十进制除法              ④循环移位法C：①1100101010111             ②110010101010011        ③110010101011100        ④110010101010101D：①可纠正一位差错                ②可检测所有偶数位错③可检测所有小于校验位长度的突发错        ④可检测所有小于、等于校验位长度的突发错解：从前面有关CRC的论述中可得出：    A：③循环冗余    B：①模2除法C：G(x)＝11011，f(x)＝11001010101，F(x)*24÷G(x)＝110010101010000÷11011余0011得到的CRC码为②110010101010011D：从前面有关通信与网络中常用的CRC的论述中可得出：④可检测所有小于、等于校验位长度的突发错