返回后页前页*§3上极限和下极限数列的上极限与下极限是非常有用的概念,通过一、上(下)极限的基本概念程来说,上(下)极限也是不可缺少的工具.极限或下极限来解决问题.此外,对于不少后继课考虑的某些数列不存在极限的情形,那时需要用
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第十二、十四章讨论级数收敛性时,常会遇到所它们可得出数列极限存在的另一个充要条件.在下二、上(下)极限的基本性质返回返回后页前页一、上(下)极限的基本概念注点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于:的一个聚点.限多个项”.现举例如下:前者要求“含有无限多个点”,后者要求“含有无返回后页前页定理7.4有界数列至少存在一个聚点,并且有最大聚点和最小聚点.返回后页前页故由确界原理,存在的一个聚点.返回后页前页返回后页前页返回后页前页注由定理7.4得知,有界数列必有上、下极限.提供了一个新的平台.的上、下极限总是存在的,这为研究数列的性质极限来研究该数列往往是徒劳的;但是有界数列数列若有界,它的极限可以不存在,此时想通过这样,上、下极限的优越性就显现出来了:一个返回后页前页例1考察以下两个数列的上、下极限:从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极限之间存在着的内在联系.详细讨论请见下文.返回后页前页二、上(下)极限的基本性质由上、下极限的定义,立即得出:下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间的关系.返回后页前页返回后页前页一的假设相矛盾.另一聚点,导致与聚点惟性定理,这无限多项必有返回后页前页返回后页前页还有聚点,这与A是最大聚点相矛盾.设这有限项返回后页前页的最大下标为N,那么当n>N时,上含有{xn}的无限项,即A是{xn}的聚点.返回后页前页则取上(下)极限后,原来的不等号方向保持不变:返回后页前页返回后页前页同理可证关于上极限的不等式;而(4)式则可由又因(1)与(3)式直接推得.返回后页前页证这里只证明(i),(ii)可同理证明.设由定理7.7,存在N,当n>N时,返回后页前页再由定理7.8的(4)式,得注这里严格不等的情形确实会发生,例如故返回后页前页返回后页前页返回后页前页定理7.9设{xn}为有界数列.则有(i)A是{xn}的上极限的充要条件是(ii)B是{xn}的下极限的充要条件是返回后页前页同理,由于返回后页前页返回后页前页注本例命题用现在这种证法,可以说是最简捷的.返回后页前页证根据定理7.9的(8)与(9),可得分析将(11)式改写为返回后页前页把它用于(12)式,并利用例1的结论(6),便有这也就证明了(11)式.返回后页前页复习思考题种定义方式各有哪些特点?试从直观性、应用的方便性等方面,分析这三它们的充要条件(定理7.7与定理7.9)来定义.数列的上、下极限,除用定义2定义外,也可用
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