2019年福建省三明市中考数学一模试卷 解析版

2019年福建省三明市中考数学一模试卷一、选择题（共10题，每题4分，满分40分.每题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂）1．（4分）下列计算结果等于﹣1的是（　　）A．﹣1+2B．（﹣1）0C．﹣12D．（﹣1）﹣22．（4分）第十六届海峡交易会对接 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 项目2049项，总投资682亿元．将682亿用科学记数法表示为（　　）A．0.682×1011B．6.82×1010C．6.82×109D．682×1083．（4分）如图所示的几何体左视图是（　　）A．B．C．D．4．（4分）一个不透明的袋子中只装有4个黄球，它们除颜色外完全相同，从中随机摸出一个球．下列说法正确的是（　　）A．摸到红球的概率是B．摸到红球是不可能事件C．摸到红球是随机事件D．摸到红球是必然事件5．（4分）如图，已知DE为△ABC的中位线，△ADE的面积为3，则四边形DECB的面积为（　　）A．6B．8C．9D．126．（4分）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（　　）A．B．1C．D．7．（4分）若2n+2n＝1，则n的值为（　　）A．﹣1B．﹣2C．0D．8．（4分）如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的半径为5，BC＝8，则AB的长为（　　）A．8B．10C．D．9．（4分）二次函数y＝x2﹣6x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当8＜x＜9时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（　　）A．27B．9C．﹣7D．﹣1610．（4分）如图，四边形ABCD为正方形，AB＝1，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，连接DF，则DF的长为（　　）A．B．C．D．二、填空题（共6题，每题4分，满分24分．请将 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 填在答题卡的相应位置）11．（4分）如图，直线a∥b，∠1＝55°，则∠2＝　　．12．（4分）某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差S2，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是　　． 甲 乙 丙 丁 7 8 8 7 s2 1 1.2 0.9 1.813．（4分）不等式组的解集是　　．14．（4分）程大位是我国珠算发明家．他的著作《直指算法统宗》中记载了一个数学问题，大意是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．问大、小和尚各有多少人？若设大和尚有x人，小和尚有y人，则可列方程组为　　．15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交BC边于点E，若E恰为BC的中点，则图中阴影部分的面积为　　．16．（4分）如图，在直角坐标系中，四边形OABC为菱形，OA在x轴的正半轴上，∠AOC＝60°，过点C的反比例函数的图象与AB交于点D，则△COD的面积为　　．三、解答题（共9题，满分86分．请将解答过程写在答题卡的相应位置，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（8分）先化简，再求值：，其中．18．（8分）菱形ABCD的对角线交于O点，DE∥AC，CE∥BD，求证：四边形OCED是矩形．19．（8分）在平面直角坐标系中，直线l经过点A（﹣1，﹣4）和B（1，0），求直线l的函数表达式．20．（8分）如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC．（Ⅰ）请用尺规作图的方法在边AC上确定点P，使得点P到边BC的距离等于PA的长；（保留作图痕迹，不写作法）（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：BC＝AB+AP．21．（8分）某景区的水上乐园有一批4人座的自划船，每艘可供1至4位游客乘坐游湖，因景区加大宣传，预计今年游客将会增加，水上乐园的工作人员随机抽取了去年某天中出租的100艘次4人自划船，统计了每艘船的乘坐人数，制成了如下统计图．（Ⅰ）扇形统计图中，“乘坐1人”所对应的圆心角度数为　　；（Ⅱ）所抽取的自划船每艘乘坐人数的中位数是　　；（Ⅲ）若每天将增加游客300人，那么每天需多安排多少艘次4人座的自划船才能满足需求？22．（10分）惠好商场用24000元购进某种玩具进行销售，由于深受顾客喜爱，很快脱销，惠好商场又用50000元购进这种玩具，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每套进价比第一次多了10元．（Ⅰ）惠好商场第一次购进这种玩具多少套？（Ⅱ）惠好商场以每套300元的价格销售这种玩具，当第二次购进的玩具售出时，出现了滞销，商场决定降价促销，若要使第二次购进的玩具销售利润率不低于12%，剩余的玩具每套售价至少要多少元？23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∠B＝2∠ADE，点C在BA的延长线上．（Ⅰ）若∠C＝∠DAB，求证：CE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OF＝2，AF＝3，求EF的长．24．（12分）如图，在△ABC中，点P是BC边上的动点，点M是AP的中点，PD⊥AB，垂足为D，PE⊥AC，垂足为E，连接MD，ME．（Ⅰ）求证：∠DME＝2∠BAC；（Ⅱ）若∠B＝45°，∠C＝75°，AB＝，连接DE，求△MDE周长的最小值．25．（14分）已知二次函数y1＝mx2﹣nx﹣m+n（m＞0）．（Ⅰ）求证：该函数图象与x轴必有交点；（Ⅱ）若m﹣n＝3，（ⅰ）当﹣m≤x＜1时，二次函数的最大值小于0，求m的取值范围；（ⅱ）点A（p，q）为函数y2＝|mx2﹣nx﹣m+n|图象上的动点，当﹣4＜p＜﹣1时，点A在直线y＝﹣x+4的上方，求m的取值范围．2019年福建省三明市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10题，每题4分，满分40分.每题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂）1．（4分）下列计算结果等于﹣1的是（　　）A．﹣1+2B．（﹣1）0C．﹣12D．（﹣1）﹣2【 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和有理数的加减运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、﹣1+2＝1，不合题意；B、（﹣1）0＝1，不合题意；C、﹣12＝﹣1，符合题意；D、（﹣1）﹣2＝1，不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及负指数幂的性质和有理数的加减运算，正确化简各数是解题关键．2．（4分）第十六届海峡交易会对接合同项目2049项，总投资682亿元．将682亿用科学记数法表示为（　　）A．0.682×1011B．6.82×1010C．6.82×109D．682×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：数字682亿用科学记数法表示为：6.82×1010．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（4分）如图所示的几何体左视图是（　　）A．B．C．D．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：从左边看是一个矩形中间为虚线，故选：C．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．4．（4分）一个不透明的袋子中只装有4个黄球，它们除颜色外完全相同，从中随机摸出一个球．下列说法正确的是（　　）A．摸到红球的概率是B．摸到红球是不可能事件C．摸到红球是随机事件D．摸到红球是必然事件【分析】根据概率 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 和必然事件、随机事件及不可能事件逐一判断即可得．【解答】解：A．摸到红球的概率是0，此选项错误；B．摸到红球是不可能事件，此选项正确，C、D选项错误；故选：B．【点评】此题考查了概率的定义：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．5．（4分）如图，已知DE为△ABC的中位线，△ADE的面积为3，则四边形DECB的面积为（　　）A．6B．8C．9D．12【分析】根据中位线的性质以及相似三角形的判定与性质即可求出答案．【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，2DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴S△ABC＝4S△ADE＝12，∴四边形DECB的面积为12﹣3＝9，故选：C．【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定与性质，本题属于基础题型．6．（4分）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（　　）A．B．1C．D．【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．【解答】解：连接BC，由网格可得AB＝BC＝，AC＝，即AB2+BC2＝AC2，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，则tan∠BAC＝1，故选：B．【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．7．（4分）若2n+2n＝1，则n的值为（　　）A．﹣1B．﹣2C．0D．【分析】直接利用合并同类项以及幂的乘方运算法则将原式变形得出答案．【解答】解：∵2n+2n＝1，∴2×2n＝20＝1，∴2n+1＝20，∴n+1＝0，解得：n＝﹣1．故选：A．【点评】此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．8．（4分）如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的半径为5，BC＝8，则AB的长为（　　）A．8B．10C．D．【分析】根据垂径定理求出BD，根据勾股定理求出OD，求出AD，再根据勾股定理求出AB即可．【解答】解：连接OB，∵AO⊥BC，AO过O，BC＝8，∴BD＝CD＝4，∠BDO＝90°，由勾股定理得：OD＝＝＝3，∴AD＝OA+OD＝5+3＝8，在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB＝＝4，故选：D．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出BD长是解此题的关键．9．（4分）二次函数y＝x2﹣6x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当8＜x＜9时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（　　）A．27B．9C．﹣7D．﹣16【分析】先确定抛物线的对称轴为直线x＝3，则根据抛物线的对称性得到x＝﹣2和x＝8时，函数值相等，然后根据题意判断抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（8，0），最后把（﹣2，0）代入y＝x2﹣6x+m可求得m的值．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝3，∴x＝﹣2和x＝8时，函数值相等，∵当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当8＜x＜9时，它的图象位于x轴的上方，∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（8，0），把（﹣2，0）代入y＝x2﹣6x+m得4+12+m＝0，解得m＝﹣16．故选：D．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．10．（4分）如图，四边形ABCD为正方形，AB＝1，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，连接DF，则DF的长为（　　）A．B．C．D．【分析】连接BE，CE，过E作EG⊥BC于G，判定△ADF≌△AEC（SAS），即可得出DF＝CE，再根据勾股定理求得CE的长，即可得到DF的长．【解答】解：如图，连接BE，CE，过E作EG⊥BC于G，由旋转可得，AB＝AE＝1＝AD，AC＝AF，∠BAC＝∠EAF＝45°＝∠DAC，∴∠CAE＝∠FAD，∴△ADF≌△AEC（SAS），∴DF＝CE，由旋转可得，AB＝AE＝1，∠BAE＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴BE＝1，∠ABE＝60°，∴∠EBG＝30°，∴EG＝BE＝，BG＝，∴CG＝1﹣，∴Rt△CEG中，CE＝＝＝＝＝＝，∴DF＝，故选：A．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．二、填空题（共6题，每题4分，满分24分．请将答案填在答题卡的相应位置）11．（4分）如图，直线a∥b，∠1＝55°，则∠2＝　125°　．【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由两角互补的性质求出∠2的度数即可．【解答】解：∵直线a∥b，∠1＝55°，∴∠3＝∠1＝55°，∵∠2+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣∠2＝180°﹣55°＝125°．故答案为：125°．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．12．（4分）某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差S2，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是　丙　． 甲 乙 丙 丁 7 8 8 7 s2 1 1.2 0.9 1.8【分析】先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到丙组的状态稳定，于是可决定选丙组去参赛．【解答】解：因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，而丙组的方差比乙组的小，所以丙组的成绩比较稳定，所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组．故答案为：丙．【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数的意义．13．（4分）不等式组的解集是　﹣2＜x≤1　．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2x+4＞0，得：x＞﹣2，解不等式x﹣3（x﹣2）≥4，得：x≤1，则不等式组的解集为﹣2＜x≤1，故答案为：﹣2＜x≤1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．14．（4分）程大位是我国珠算发明家．他的著作《直指算法统宗》中记载了一个数学问题，大意是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．问大、小和尚各有多少人？若设大和尚有x人，小和尚有y人，则可列方程组为　　．【分析】根据有100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完可以列出相应的方程组，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，，故答案为：．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交BC边于点E，若E恰为BC的中点，则图中阴影部分的面积为　　．【分析】根据矩形的性质得出∠B＝∠DAB＝90°，AD＝BC＝AB＝2＝AE，求出BE，根据勾股定理求出AB，再分别求出扇形EAD和矩形ABCD、△ABE的面积，即可得出答案．【解答】解：连接AE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠DAB＝90°，AD＝BC＝AB＝2＝AE，∵E恰为BC的中点，∴BE＝1，∴∠BAE＝30°，∴∠EAD＝90°﹣30°＝60°，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB＝＝，∴阴影部分的面积S＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EAD＝﹣﹣＝﹣π，故答案为：﹣π．【点评】本题考查了矩形的性质、扇形的面积公式和直角三角形的性质等知识点，能求出AB长和∠EAD的度数是解此题的关键．16．（4分）如图，在直角坐标系中，四边形OABC为菱形，OA在x轴的正半轴上，∠AOC＝60°，过点C的反比例函数的图象与AB交于点D，则△COD的面积为　　．【分析】易证S菱形ABCO＝2S△CDO，再根据tan∠AOC的值即可求得菱形的边长，即可求得点C的坐标，可得菱形的面积和结论．【解答】解：作DF∥AO，CE⊥AO，∵∠AOC＝60°，∴tan∠AOC＝，∴设OE＝x，CE＝x，∴x•x＝4，∴x＝±2，∴OE＝2，CE＝2，由勾股定理得：OC＝4，∴S菱形OABC＝OA•CE＝4×2＝8，∵四边形OABC为菱形，∴AB∥CO，AO∥BC，∵DF∥AO，∴S△ADO＝S△DFO，同理S△BCD＝S△CDF，∵S菱形ABCO＝S△ADO+S△DFO+S△BCD+S△CDF，∴S菱形ABCO＝2（S△DFO+S△CDF）＝2S△CDO＝8，∴S△CDO＝4；故答案为4．【点评】本题考查了菱形的性质，反比例函数的性质，三角函数的定义，考查了菱形面积的计算，本题中求得S菱形ABCO＝2S△CDO是解题的关键．三、解答题（共9题，满分86分．请将解答过程写在答题卡的相应位置，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（8分）先化简，再求值：，其中．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝＝＝，当x＝时，原式＝＝，【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础基础题型．18．（8分）菱形ABCD的对角线交于O点，DE∥AC，CE∥BD，求证：四边形OCED是矩形．【分析】由已知的两组平行线可证得四边形OCED是平行四边形，根据菱形的对角线互相垂直可取得∠COD是直角，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判定OCED是矩形．【解答】证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．∵菱形ABCD的对角线交于O点，∴AC⊥BD，即∠COD＝90°．∴四边形OCED是矩形．【点评】此题主要考查的是菱形的性质及矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形．19．（8分）在平面直角坐标系中，直线l经过点A（﹣1，﹣4）和B（1，0），求直线l的函数表达式．【分析】根据待定系数法，可得一次函数解析式．【解答】解：设直线l的表达式为y＝kx+b（k≠0），依题意，得解得：．所以直线l的表达式为y＝2x﹣2．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．20．（8分）如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC．（Ⅰ）请用尺规作图的方法在边AC上确定点P，使得点P到边BC的距离等于PA的长；（保留作图痕迹，不写作法）（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：BC＝AB+AP．【分析】（Ⅰ）作∠ABC的平分线即可解决问题．（Ⅱ）证明Rt△ABP≌Rt△DBP（HL），PD＝DC即可解决问题．【解答】解：（Ⅰ）如图，点P即为所求．（Ⅱ）过点P作PD⊥BC于点D，由（Ⅰ）知PA＝PD．又∵∠A＝90°，PD⊥BC，BP＝BP，∴Rt△ABP≌Rt△DBP（HL），∴AB＝DB，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠C＝45°．∴∠1＝90°﹣45°＝45°，∴∠1＝∠C，∴DP＝DC，∴DC＝AP，∴BC＝BD+DC＝AB+AP．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（8分）某景区的水上乐园有一批4人座的自划船，每艘可供1至4位游客乘坐游湖，因景区加大宣传，预计今年游客将会增加，水上乐园的工作人员随机抽取了去年某天中出租的100艘次4人自划船，统计了每艘船的乘坐人数，制成了如下统计图．（Ⅰ）扇形统计图中，“乘坐1人”所对应的圆心角度数为　18°　；（Ⅱ）所抽取的自划船每艘乘坐人数的中位数是　3　；（Ⅲ）若每天将增加游客300人，那么每天需多安排多少艘次4人座的自划船才能满足需求？【分析】（Ⅰ）用360°乘以对应的百分比可得；（Ⅱ）根据中位数的定义求解可得；（Ⅲ）先求出样本的平均数，再乘以总人数即可得．【解答】解：（Ⅰ）扇形统计图中，“乘坐1人”所对应的圆心角度数为360°×（1﹣20%﹣45%﹣30%）＝18°，故答案为：18°；（Ⅱ）∵乘坐1人的有5艘、乘坐2人的有20艘，乘坐3人的有45艘，乘坐4人的有30艘，∴所抽取的自划船每艘乘坐人数的中位数是＝3，故答案为：3；（Ⅲ）每艘船乘坐人数的平均数约为1×5%+2×20%+3×45%+4×30%＝3，所以每天需多安排4人座的自划船的艘次为300÷3＝100．【点评】本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．22．（10分）惠好商场用24000元购进某种玩具进行销售，由于深受顾客喜爱，很快脱销，惠好商场又用50000元购进这种玩具，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每套进价比第一次多了10元．（Ⅰ）惠好商场第一次购进这种玩具多少套？（Ⅱ）惠好商场以每套300元的价格销售这种玩具，当第二次购进的玩具售出时，出现了滞销，商场决定降价促销，若要使第二次购进的玩具销售利润率不低于12%，剩余的玩具每套售价至少要多少元？【分析】（Ⅰ）设惠好商场第一次购x套玩具，那么第二次购进2x套玩具，根据第二次比第一次每套进价多了10元，可列方程求解．（Ⅱ）根据利润＝售价﹣进价，根据且全部售完后总利润率不低于12%，这个不等量关系可列式求解．【解答】解：（Ⅰ）设惠好商场第一次购进这种玩具x套，依题意，得．解得x＝100．经检验，x＝100是该方程的根．答：惠好商场第一次购进这种玩具100套；（Ⅱ）设剩余玩具每套的售价为y元，则：第二次进价为50000÷200＝250（元/套）．（300﹣250）××200+（1﹣）×200×（y﹣250）≥50000×12%．解得y≥200．答：剩余玩具每套售价至少要200元．【点评】本题是分式方程和一元一次不等式的应用，考查理解题意能力，（1）中根据两次购进的价格相差10元的等量关系列出方程求解，（2）中根据全部售完后总利润率不低于12%，列出不等式求解．23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∠B＝2∠ADE，点C在BA的延长线上．（Ⅰ）若∠C＝∠DAB，求证：CE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OF＝2，AF＝3，求EF的长．【分析】（Ⅰ）连接OE，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°．∠AOE＝2∠ADE，根据切线的判定定理即可得到结论；（Ⅱ）连接AE，根据圆周角定理得到∠1＝∠B．根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）连接OE，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°．∴∠DAB+∠B＝90°，∵∠ADE和∠AOE都对着，∴∠AOE＝2∠ADE，又∵∠B＝2∠ADE，∴∠AOE＝∠B，又∵∠C＝∠DAB，∴∠C+∠AOE＝∠DAB+∠B＝90°．∴∠CEO＝90°，∴OE⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（Ⅱ）连接AE，∵＝，∴∠1＝∠B．由（Ⅰ）知∠AOE＝∠B，∴∠1＝∠AOE，又∵∠2＝∠2，∴△EAF∽△OAE，∴，即，∴EF＝AE，AE2＝3×5＝15，∴EF＝EA＝．【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．24．（12分）如图，在△ABC中，点P是BC边上的动点，点M是AP的中点，PD⊥AB，垂足为D，PE⊥AC，垂足为E，连接MD，ME．（Ⅰ）求证：∠DME＝2∠BAC；（Ⅱ）若∠B＝45°，∠C＝75°，AB＝，连接DE，求△MDE周长的最小值．【分析】（Ⅰ）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得DM＝EM＝AP＝AM，再由等边对等角得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，最后结合三角形外角的性质即可证明；（Ⅱ）根据∠B＝45°，∠C＝75°以及第（Ⅰ）问的结论可知△MDE为顶角为120度的等腰三角形，过点M作MN⊥DE于N，由特殊角的三角函数值可将△MDE的周长表示为（2+）×AP，进而将周长最小转换为AP最短的问题，根据垂线段最短即可求解．【解答】解：（Ⅰ）解法一：∵PD⊥AB，PE⊥AC，M为AP中点，∴DM＝EM＝AP＝AM，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠5＝∠1+∠2＝2∠1，∠6＝∠3+∠4＝2∠3，∴∠DME＝∠5+∠6＝2∠1+2∠3＝2∠BAC；解法二：∵PD⊥AB，PE⊥AC，M为AP中点，∴DM＝EM＝AP＝AM＝PM，∴点A，D，P，E在以M为圆心，MA为半径的圆上，∴∠DME＝2∠BAC；（Ⅱ）过点M作MN⊥DE于N，由（Ⅰ）知DM＝EM，∴∠DMN＝∠EMN＝∠DME，DN＝EN，∵∠B＝45°，∠C＝75°，∴∠BAC＝60°．由（Ⅰ）知，∠DME＝2∠BAC＝120°．∴∠DMN＝60°，∴DN＝DM•sin∠DMN＝DM，∴DE＝2DN＝DM，△MDE周长＝DM+DE+DE＝DM+DM+DM＝（2+）DM＝（2+）×AP，∴当AP最短时，△MDE周长最小．此时AP⊥BC；当AP⊥BC时，∵∠B＝45°，∴AP＝AB＝＝6．∴△MDE周长最小值为（2+）××6＝6+3．【点评】本题考查了直角三角形的性质，垂线段最短，正确的用AP表示出三角形MDE的周长是解题的关键．25．（14分）已知二次函数y1＝mx2﹣nx﹣m+n（m＞0）．（Ⅰ）求证：该函数图象与x轴必有交点；（Ⅱ）若m﹣n＝3，（ⅰ）当﹣m≤x＜1时，二次函数的最大值小于0，求m的取值范围；（ⅱ）点A（p，q）为函数y2＝|mx2﹣nx﹣m+n|图象上的动点，当﹣4＜p＜﹣1时，点A在直线y＝﹣x+4的上方，求m的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用一元二次方程根的情况判断抛物线与x轴的交点情况；（Ⅱ）（ⅰ）根据已知条件得到抛物线解析式为：＝mx2﹣（m﹣3）x﹣3．由此求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据抛物线的增减性求得m的取值范围；（ⅱ）根据二次函数图象与不等式间的转化关系解答．【解答】（Ⅰ）证明：∵△＝（﹣n）2﹣4m（﹣m+n）＝（n﹣2m）2≥0，∴该函数图象与x轴必有交点；解：（Ⅱ）（ⅰ）∵m﹣n＝3，∴n＝m﹣3．∴＝mx2﹣（m﹣3）x﹣3．当y1＝0时，mx2﹣（m﹣3）x﹣3＝0，解得x1＝1，．∴二次函数图象与x轴交点为（1，0）和（，0）∵当﹣m≤x＜1时，二次函数的最大值小于0，∴．又∵m＞0，∴；（ⅱ）∵，m﹣n＝3，∴当或x＞1时，y2＝mx2﹣（m﹣3）x﹣3，当时，y2＝﹣mx2+（m﹣3）x+3．∵当﹣4＜p＜﹣1时，点A在直线y＝﹣x+4上方，∴当，即m＞3时，有m×（﹣1）2﹣（m﹣3）×（﹣1）﹣3≥﹣（﹣1）+4，解得．当，即m时，有﹣m×（﹣1）2+（m﹣3）×（﹣1）+3≥﹣（﹣1）+4且﹣m×（﹣4）2+（m﹣3）×（﹣4）+3≥﹣（﹣4）+4，∴．又∵m＞0，∴．综上，或．【点评】本题考查了二次函数综合题，掌握根的判别式的运用，抛物线与x轴的交点，函数图象上点的坐标特征，一元一次不等式组的解法的运用，解答时灵活掌握抛物线的性质是关键．