0.6-张量

A-1指标符号一、求和约定和哑指标二、自由指标三、符号(Kronecker符号)四、置换符号(Ricci符号)A-2矢量的基本运算A-3坐标变换与张量的定义A-4张量的代数运算A-5二阶张量（仿射量）一、仿射量的转置BT三、对称仿射量的主向和主值四、各向同性张量A-6张量分析A-7曲线坐标下的张量分析附A张量分析§A-1指标 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示法例如,三维空间任一点P在笛卡儿坐标系的坐标用指标表示为i—指标——取值范围为小于或等于n的所有正整数n—维数§A-1指标符号一、求和约定和哑指标约定求和指标与所用的字母无关指标重复只能一次指标范围默认表示3维，n维需指出:§A-1指标符号哑标：在表达式的某项中，若某指标重复出现两次，则表示要把该指标在取值范围内遍历求和。该重复指标称为“哑标”。1、哑标的符号可以任意改变（仅表示求和）2、哑标只能成对出现,否则要加上求和号或特别指出3、同项中出现两对（或多对）不同哑标表示多重求和双重求和展开式（9项）是违约的，求和时要保留求和号例：二、自由指标§A-1指标符号一个方程每项中出现非重复的的指标，称为自由指标。对于自由指标可以从最小数取到最大数。自由指标默认取1,2,3，n维可取1,2,3,…,n。例如指标i在方程的各项中只出现一次，为自由指标。于是，上式表示3个方程的缩写： 自由指标仅表示依次取值，也可以换标，但必须所有项换标； 在同一方程的所有项中都出现； 在每一项中只出现一次。§A-1指标符号i，j为自由指标，k为哑标表示9个方程：…三、符号(Kronecker符号)符号定义§A-1指标符号直角坐标系的基矢量§A-1指标符号 二阶张量（2）笛卡尔张量张量可以用黑体大写字母表示，也可用它的一个分量表示。二阶张量有9个分量，二阶张量也可表示为矩阵形式应力张量四、置换符号(Ricci符号)Ricci符号定义§A-1指标符号偶次置换奇次置换Ricci符号定义§A-1指标符号§A-1指标符号§A-1指标符号Kronecker-和Ricci符号的关系§A-1指标符号§A-2矢量的基本运算在三维空间中,任意矢量都可以表示为三个基矢量的线性组合ai为矢量a在基矢量ei下的分解系数,也称矢量的分量一、矢量点积A张量分析§A-2矢量的基本运算一、矢量点积二、矢量叉积A张量分析§A-2矢量的基本运算二、矢量叉积A张量分析证明§A-2矢量的基本运算二、矢量叉积A张量分析三、矢量的混合积§A-2矢量的基本运算Ricci符号A张量分析四、矢量的并乘(并矢)§A-2矢量的基本运算A张量分析并乘§A-3坐标变换与张量的定义A张量分析坐标变换式互逆、正交矩阵基矢量变换式任意向量变换式A张量分析§A-3坐标变换与张量的定义坐标变换系数张量的定义——在坐标系变换时,满足如下变换关系的量称为张量张量的阶——自由指标的数目不变性记法A张量分析§A-3坐标变换与张量的定义一、加(减)法二、矢量与张量的点积(点乘)左点乘A张量分析§A-3坐标变换与张量的定义矢量与张量点乘的结果仍为张量,新张量b比原张量T的阶数降低一阶§A-4张量的代数运算右点乘对称张量两者才相等A张量分析三、矢量与张量的叉积§A-4张量的代数运算左叉乘A张量分析矢量与张量叉乘的结果仍为张量,新张量与原张量同阶右叉乘三、矢量与张量的叉积§A-4张量的代数运算A张量分析四、两个张量的点积§A-4张量的代数运算A张量分析两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是原两个张量的阶数之和减2两个二阶张量点积的结果为一个新的二阶张量,这相当于矩阵相乘五、张量的双点积§A-4张量的代数运算A张量分析两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是原两个张量的阶数之和减4六、张量的双叉乘§A-4张量的代数运算A张量分析七、张量的缩并§A-4张量的代数运算A张量分析在张量的不变性记法中,将某两个基矢量点乘,其结果是一个较原张量低二阶的新张量,这种运算称为缩并八、指标置换§A-4张量的代数运算A张量分析若对该张量的分量中任意两个指标交换次序,得到一个与原张量同阶的新张量九、对称化和反对称化§A-4张量的代数运算A张量分析若张量的任意两个指标经置换后所得的张量与原张量相同,则称该张量关于这两个指标为对称,若与原张量相差一符号,则称该张量关于这两个指标为反称。有6个独立分量有3个独立分量九、对称化和反对称化§A-4张量的代数运算A张量分析 对称化：对已知张量的N个指标进行N!次不同的置换,并取所得的N!个新张量的算术平均值的运算。其结果张量关于参与置换的指标为对称。将指标放在圆括弧内表示对称化运算。九、对称化和反对称化§A-4张量的代数运算A张量分析 反称化:对已知张量的N个指标进行N!次不同的置换,并将其中指标经过奇次置换的新张量取反号,再求算术平均值,这种运算称张量的反称化,其结果张量关于参与置换的指标为反称。将指标放在方括弧内表示反称运算。十、商法则若在某坐标系中按某规律给出33=27个数A(ijk),且A(ijk)bk=Cij,其中bk是与A(ijk)无关的任意矢量,Cij是张量,那么,A(ijk)必为比Cij高一阶的张量。§A-4张量的代数运算A张量分析用于判定某些量的张量性！§A-5二阶张量（仿射量）A张量分析B的作用如同一个算子,它使空间内每一个向量变换为另一个向量,或者说B能把一个向量空间映射为另一向量空间。§A-5二阶张量（仿射量）A张量分析一、仿射量的转置BT对称张量反对称张量§A-5二阶张量（仿射量）A张量分析一、仿射量的转置BTα和b为任意向量A张量分析§A-5二阶张量（仿射量）一、仿射量的逆B-1A张量分析§A-5二阶张量（仿射量）三、对称仿射量的主向和主值对于仿射量B,若存在三个相互垂直的方向i,j,k,其映象B·i,B·j,B·k也相互垂直,则称该三个方向为B的主向。对称仿射量T必存在三个主向和三个相应的主值。主值S满足如下特征方程。A张量分析§A-5二阶张量（仿射量）三、对称仿射量的主向和主值A张量分析§A-5二阶张量（仿射量）三、对称仿射量的主向和主值三、对称仿射量的主向和主值笛卡儿坐标A张量分析§A-5二阶张量（仿射量）A张量分析§A-5二阶张量（仿射量）四、各向同性张量各向同性张量——在坐标任意变换时,各分量保持不变的张量零阶张量(标量)总是各向同性的。一阶张量(即矢量)总不是各向同性的。对于对称二阶张量T,如果其三个主值相等,即S1=S2=S3=λ,则是各向同性的。§A-5二阶张量（仿射量）四、各向同性张量证明：(1)4个指标都相同的分量有3个§A-5二阶张量（仿射量）四、各向同性张量证明：(2)4个指标有3个相同的分量有24个以A1112为例。如绕x2转1800，坐标变换系数为要使新坐标的分量A1112与原坐标中的分量A1112相等，A1112。必为零。所以A1123=0。其它都为零。(3)4个指标中有2个相同的分量有36个以A1123为例。坐标仍绕x2转1800，坐标变换系数同上，则将此三类分量用统一形式表示为：(3)4个指标中有2对指标重复的分量有18个。可分为3类，每6个分量相等。在空间所论域内,每点定义的同阶张量,构成了张量场。一般张量场中被考察的张量随位置而变化。研究张量场因位置而变化的情况使我们从张量代数的领域进入张量分析的领域。笛卡儿坐标系中的张量分析。A-6张量分析 一、哈密顿(Hamilton)算子(梯度算子)设有标量场(x),当位置点r(x)变到r(x+dx)时,的增量d命为梯度算子,矢量算子A-6张量分析 一、哈密顿(Hamilton)算子(梯度算子)A-6张量分析1.标量场的梯度2.矢量场u的散度 一、哈密顿(Hamilton)算子(梯度算子)A-6张量分析3.矢量的旋度二、张量场的微分A-6张量分析1.张量A的梯度左梯度右梯度张量的梯度为比原张量高一阶的新张量二、张量场的微分A-6张量分析1.张量A的散度左散度右散度张量的散度为比原张量低一阶的新张量二、张量场的微分A-6张量分析3.张量A的旋度左旋度二、张量场的微分A-6张量分析3.张量A的旋度右旋度三、散度定理A-6张量分析高斯积分公式为三、散度定理A-6张量分析高斯积分公式为——任意阶张量A-7曲线坐标下的张量分析一般讨论的张量,都是在笛卡儿坐标系下进行的,在解决具体问题时,往往 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 更复杂的坐标系。一、曲线坐标在笛卡儿坐标系,空间任一点P的向径是设在三维空间某连通区域,给定了笛氏坐标的三个连续可微的单值函数反函数A-7曲线坐标下的张量分析A-7曲线坐标下的张量分析若函数不是线性函数,则称其为曲线坐标系用于编排指标i’的次序A-7曲线坐标下的张量分析二、局部基矢量在笛卡儿坐标系,空间任意向量(张量)都可以在基上分解。这种做法可进行两种不同的解释:(l)空间里只有一个固定在原点的基ei,先将向量(张量)平行移至原点,然后在这基上分解。(2)在定义区域内每点都有一个与ei相同的基,即局部基,向量(张量)在本作用点的局部基上就地分解。在曲线坐标系,如果只用一个固定基的做法,就会使曲线坐标的引人成为无的放矢。我们采用第二种做法,在空间每一点都建立局部基。A-7曲线坐标下的张量分析A-7曲线坐标下的张量分析二、局部基矢量取一点处坐标曲线的切向量自然基度量张量A-7曲线坐标下的张量分析二、局部基矢量求圆柱坐标系的自然基gi和度量张量gijA-7曲线坐标下的张量分析二、局部基矢量求圆柱坐标系的自然基gi和度量张量gijA-7曲线坐标下的张量分析二、局部基矢量笛卡儿坐标系中关于张量的定义和张量的运算等,可以推广到曲线坐标系,区别只在于这时的基矢量gi及变换系数i’i是空间点位置的函数。如张量A在曲线坐标系可以写成由于在曲线坐标系并非所有坐标都具有长度量纲,例如,圆柱坐标中的。因此,相对应的自然基矢量就不是无量纲的单位矢量。具有一定物理意义的向量(张量)在这样的基上的各分量并不具有物理量纲,从而给直接的物理解释带来不便。A-7曲线坐标下的张量分析二、局部基矢量为了使张量在每个具体坐标系里能取得具有物理量纲的分量,在正交曲线坐标系,取切于坐标曲线的无量纲单位矢量作为基矢量,即正交单位标架为物理标架,或称物理基在物理标架上分解的张量,其相应的各分量能取得相同的物理量纲圆柱坐标下的张量分析圆柱坐标下的张量分析A-7曲线坐标下的张量分析三、张量对曲线坐标的导数标量场沿s方向的方向导数为两边点乘A-7曲线坐标下的张量分析三、张量对曲线坐标的导数标量场沿s方向的方向导数为形式导数A-7曲线坐标下的张量分析1.克里斯多弗符号A-7曲线坐标下的张量分析1.克里斯多弗符号A-7曲线坐标下的张量分析1.张量的梯度圆柱坐标下的张量分析圆柱坐标下的张量分析圆柱坐标下的张量分析圆柱坐标下的张量分析圆柱坐标下的张量分析圆柱坐标下的张量分析圆柱坐标下的张量分析