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数学分析课件 高斯公式与斯托克斯公式.ppt

数学分析课件 高斯公式与斯托克斯公式

华仔
2019-03-28 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《数学分析课件 高斯公式与斯托克斯公式ppt》,可适用于活动策划领域

返回后页前页sect高斯公式与斯托克斯公式高斯公式与斯托克斯公式都是格林公式的推广格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的关系高斯公式建立了空间区域上的三重积分与其边界曲面上的第二型曲面积分之间的关系斯托克斯公式建立了空间曲面上的第二型曲面积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的关系返回返回后页前页一、高斯公式二、斯托克斯公式返回后页前页一、高斯公式续偏导数,则其中S取外侧()式称为高斯公式返回后页前页这些结果相加便得到高斯公式()先设V是一个xy型区域,即其边界曲面S由曲面证明其余两式:返回后页前页组成(图),其中于是按三重积分的计算方法,有返回后页前页返回后页前页从而得到对于不是xy型区域的情形,一般可用有限个光滑曲面将它分割成若干个xy型区域来讨论返回后页前页例计算其中S是边长为a的正立方体表面并取外侧解应用高斯公式,返回后页前页于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域V的体上侧返回后页前页解由于曲面不是封闭的,不能直接应用高斯公式为了能使用高斯公式以方便计算,可补充一块平面闭曲面于是返回后页前页而因此返回后页前页返回后页前页返回后页前页返回后页前页二、斯托克斯公式先对双侧曲面S的侧与其边界曲线L的方向作如下规定:设有人站在S上指定的一侧,若沿L行走,指定的侧总在人的左方,则人前进的方向为边界线L的正向若沿L行走,指定的侧总在人的右方,则人前进的方向为边界线L的负向这个规定也称为右手法则,如图所示返回后页前页定理设光滑曲面S的边界L是按段光滑的连续曲线若函数P,Q,R在S(连同L)上连续,且有一阶连续偏导数,则有斯托克斯公式如下:返回后页前页其中S的侧与L的方向按右手法则确定证先证返回后页前页公式有所以返回后页前页所以因为返回后页前页返回后页前页将(),(),()三式相加,即得公式()光滑曲线把S分割为若干小块,使每一小块能用这综合上述结果,便得到所要证明的()式返回后页前页为了便于记忆,斯托克斯公式也常写成如下形式:种形式来表示因而这时()式也能成立所示的方向返回后页前页解应用斯托克斯公式推得:返回后页前页车胎状的环形区域则是非单连通的与平面曲线积分相仿,空间曲线积分与路线的无关性也有下面相应的定理不经过V以外的点而连续收缩于属于V的一点例如:两同心球面所界定的区域仍是单连通的而形如区域V称为单连通的,如果V内任一封闭曲线皆可注上述之单连通,又称为ldquo按曲面单连通rdquo其意义是:对于V内任一封闭曲线L,均能以L为边界,绷起一个位于V中的曲面返回后页前页与路线无关个条件是等价的:返回后页前页例验证曲线积分这个定理的证明与定理相仿,这里不重复了返回后页前页所以曲线积分与路线无关现在求原函数:解对于显然有返回后页前页最后沿平行于z轴的直线返回后页前页意常数

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