30年全国高中数学联赛试题及答案解析全集(1988-2017)

全国高中数学联赛试题及 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 解析全集（1988-2017）目录2017全国高中数学联赛试题及答案解析2016全国高中数学联赛试题及答案解析2015全国高中数学联赛试题及答案解析2014全国高中数学联赛试题及答案解析2013全国高中数学联赛试题及答案解析2012全国高中数学联赛试题及答案解析2011全国高中数学联赛试题及答案解析2010全国高中数学联赛试题及答案解析2009全国高中数学联赛试题及答案解析2008全国高中数学联赛试题及答案解析2007全国高中数学联赛试题及答案解析2006全国高中数学联赛试题及答案解析2005全国高中数学联赛试题及答案解析2004全国高中数学联赛试题及答案解析2003全国高中数学联赛试题及答案解析2002全国高中数学联赛试题及答案解析2001全国高中数学联赛试题及答案解析2000全国高中数学联赛试题及答案解析1999全国高中数学联赛试题及答案解析1998全国高中数学联赛试题及答案解析1997全国高中数学联赛试题及答案解析1996全国高中数学联赛试题及答案解析1995全国高中数学联赛试题及答案解析1994全国高中数学联赛试题及答案解析1993全国高中数学联赛试题及答案解析1992全国高中数学联赛试题及答案解析1991全国高中数学联赛试题及答案解析1990全国高中数学联赛试题及答案解析1989全国高中数学联赛试题及答案解析1988全国高中数学联赛试题及答案解析2017年全国高中数学联赛A卷试题和答案一、填空题1.设是定义在上的函数，对任意实数有.又当时，，则的值为__________.2.若实数满足，则的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，为的上焦点，为的右顶点，是上位于第一象限内的动点，则四边形的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥中，，，过的平面将其体积平分，则棱与平面所成角的余弦值为__________.6.在平面直角坐标系中，点集.在中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为的概率为__________.7.在中，是边的中点，是线段的中点.若，的面积为，则的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列满足：，对任意正整数，有，，则的所有可能值为__________.二、解答题9.设为实数，不等式对所有成立.证明：.10.设是非负实数，满足，求的最小值和最大值.11.设复数满足，，且（其中表示复数的实部）.（1）求的最小值；（2）求的最小值.2017年全国高中数学联赛A卷二试一.如图，在中，，为的内心，以为圆心，为半径作圆，以为圆心，为半径作圆，过点的圆与,分别交于点（不同于点）.设与交于点.证明：二.设数列定义为，.求满足的正整数的个数.三.将方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设均是大于1的整数，，是个不超过的互不相同的正整数，且互素.证明：对任意实数，均存在一个，使得，这里表示实数到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2016年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次给分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分1．设实数满足，则的取值范围是答案：解：由可得，原不等式可变形为即，所以．又，故．2．设复数满足，，其中是虚数单位，分别表示的共轭复数，则的模为答案：解：由运算性质，，因为与为实数，，故，，又，所以，从而因此，的模为．3．正实数均不等于1，若，，则的值为答案：解：令，，则，，条件化为，，由此可得，因此．4．袋子A中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B中装有4张5元纸币和3张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为答案：解：一种取法符合要求，等价于从A中取走的两张纸币的总面值小于从B中取走的两张纸币的总面值，从而．故只能从A中国取走两张1元纸币，相应的取法数为．又此时，即从B中取走的两张纸币不能都是1元纸币，相应有种取法．因此，所求的概率为．5．设P为一圆锥的顶点，A，B，C是其底面圆周上的三点，满足=90°，M为AP的中点．若AB=1，AC=2，，则二面角M—BC—A的大小为答案：解：由=90°知，AC为底面圆的直径．设底面中心为O，则平面ABC，易知，进而．设H为M在底面上的射影，则H为AO的中点．在底面中作于点K，则由三垂线定理知，从而为二面角M—BC—A的平面角．因，结合与平行知，，即，这样．故二面角M—BC—A的大小为．6．设函数，其中是一个正整数．若对任意实数，均有，则的最小值为答案：16解：由条件知，其中当且仅当时，取到最大值．根据条件知，任意一个长为1的开区间至少包含一个最大值点，从而，即．反之，当时，任意一个开区间均包含的一个完整周期，此时成立．综上可知，正整数的最小值为．7．双曲线C的方程为，左、右焦点分别为、，过点作直线与双曲线C的右半支交于点P，Q，使得=90°，则的内切圆半径是答案：解：由双曲线的性质知，，．因=90°，故，因此从而直角的内切圆半径是8．设是1，2，…，100中的4个互不相同的数，满足则这样的有序数组的个数为答案：40解：由柯西不等式知，，等号成立的充分必要条件是，即成等比数列．于是问题等价于计算满足…的等比数列的个数．设等比数列的公比，且为有理数．记，其中为互素的正整数，且．先考虑的情况．此时，注意到互素，故为正整数．相应地，分别等于，它们均为正整数．这表明，对任意给定的，满足条件并以为公比的等比数列的个数，即为满足不等式的正整数的个数，即．由于，故仅需考虑这些情况，相应的等比数列的个数为．当时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列．综上可知，共有40个满足条件的有序数组．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）在中，已知．求的最大值．解：由数量积的定义及余弦定理知，．同理得，，．故已知条件化为即．………………………………8分由余弦定理及基本不等式，得所以．………………………………12分等号成立当且仅当．因此的最大值是．……………16分10．（本题满分20分）已知是R上的奇函数，，且对任意，均有．求…的值．解：设=1，2，3，…），则．在中取，注意到，及为奇函数．可知……………………5分即，从而．……………………10分因此……………………20分11．（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系中，F是轴正半轴上的一个动点．以F为焦点，O为顶点作抛物线C．设P是第一象限内C上的一点，Q是轴负半轴上一点，使得PQ为C的切线，且｜PQ｜=2.圆均与直线OP相切于点P，且均与轴相切．求点F的坐标，使圆与的面积之和取到最小值．解：设抛物线C的方程是，点Q的坐标为，并设的圆心分别为．设直线PQ的方程为，将其与C的方程联立，消去可知．因为PQ与C相切于点P，所以上述方程的判别式为，解得．进而可知，点P的坐标为．于是．由｜PQ｜=2可得①……………………5分注意到OP与圆相切于点P，所以．设圆与轴分别相切于点M，N，则分别是的平分线，故=90°．从而由射影定理知结合①，就有②……………………10分由共线，可得．化简得③……………………15分令，则圆的面积之和为．根据题意，仅需考虑T取到最小值的情况．根据②、③可知，．作代换，由于，所以．于是．上式等号成立当且仅当，此时，因此结合①得，从而F的坐标为．………………………20分2015全国高中数学联赛安徽省初赛试卷（考试时间：2015年7月4日上午9:00—11:30） 题号 一 二 总分 9 10 11 12 得分 评卷人复核人 注意： 1．本试卷共12小题，满分150分； 2．请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；3．书写不要超过装订线； 4．不得使用计算器．一、填空题（每题8分，共64分）1.函数的最小值是    ．2.设．数列的通项公式是    ．3.设平面向量满足，则的取值范围是    ．4.设是定义域为的具有周期的奇函数，并且，则在中至少有    个零点．5.设为实数，且关于的方程有实根，则的取值范围是    .6.给定定点，动点满足线段的垂直平分线与抛物线相切，则的轨迹方程是    ．7.设为复数，其中是实数，是虚数单位，其满足的虚部和的实部均非负，则满足条件的复平面上的点集所构成区域的面积是   ．8.设是正整数．把男女乒乓球选手各人配成男双、女双、混双各对，每位选手均不兼项，则配对方式总数是    ．二、解答题（第9题20分，第10━12题22分，共86分）9.设正实数满足．求证：．10.在如图所示的多面体中，已知都与平面垂直．设，．求四面体与公共部分的体积（用表示）．11.设平面四边形的四边长分别为4个连续的正整数。证明：四边形的面积的最大值不是整数。12.已知31位学生参加了某次考试，考试共有10道题，每位学生解出了至少6道题．求证：存在两位学生，他们解出的题目中至少有5道相同．试题解答一、填空题（每题8分，共64分）1.当时，,因此单调减；当时，，此时亦单调减；当时，，.令得因此在处取得最小值6-2ln2．2.设．方程有实根双曲线与圆有公共交点.注意到圆的圆心位于直线之上，只须找到圆与双曲线相切时圆心的位置即可.易计算得，圆与双曲线切于A(1,1)点时，圆心坐标为或.圆与双曲线切于B(-1,-1)点时，圆心坐标为或.因此，a的取值范围为．3.由和，可得．故．4.．．以上等号均可取到．故的取值范围是．5.由题设可知。令x=0得。另一方面，类似地，因此，在中的零点一定包含这11个零点．6.设的垂直平分线与抛物线相切于，切向为.则的方程为．设，由与垂直且中点在上，可得．由解得，代入得的轨迹方程为，．7.等价于.又由于，故满足条件的点集构成了圆的一部分，计算得其面积为．8.从3n名男选手中选取2n人作为男双选手有种选法，把他们配成n对男双选手有种配对方式。女选手类似。把n个男选手和n个女选手配成n对混双有n!种配对方式。因此，配对方式总数是．2、解答题（第9题20分，第10━12题每题22分，共86分）9.证明：对任意，由均值不等式有----------------------------------（5分）因此，．------------（15分）同理，对于任意，因此，．---------------------（20分）10.设，则四面体是与的公共部分．-----------------------------------------------------（5分）易计算得：到直线的距离，---------------------------------（10分）到平面的距离，------------------------------------------（15分）到直线的距离，．----------------（20分）因此，．---------------------（22分）11.不妨设是凸四边形，其面积为S．记。由，可得，--------------（8分）两遍平方和得 等号成立当且仅当，即四点共圆--------------------（16分）现根据假设为四个连续整数由此.显然因此，S不是整数。----------------------------------------------------（22分）12.证明：设是所有试题的集合，是第位学生解出的试题的集合，．题目即证存在使得．--------------------------------（5分）不妨设．共有个三元子集，每个恰包含4个三元子集．因此，存在使得包含相同的三元子集，．---（15分）从而，．-----------------（22分）2014年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷一、填空题（每题8分，共64分）1.函数的值域是_______________.2.函数在中的零点个数是__________．3.设定点，动点在轴上，动点在直线上，则的周长的最小值是________．4.设是平面上两点，是关于的对称点，是关于的对称点,．若，则__________．5.已知四面体的侧面展开图如下图所示，则其体积是__________．6.设复数满足，则的取值范围是_______________．7.设动点，其中参数，则线段扫过的平面区域的面积是_____________．8.从正12边形的顶点中取出4个顶点，它们两两不相邻的概率是___________．二、解答题（第9—10题每题21分，第11—12题22分，共86分）9.已知正实数满足．求证：．10.设数列满足．求证：（1）当时，严格单调递减．（2）当时，，这里．11.已知平面凸四边形的面积为1．求证：．12.求证：（1）方程恰有一个实根，并且是无理数；（2）不是任何整数系数二次方程的根．2014年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷答案2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题一.选择题1.如果集 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 时满足,就称有序集对为“好集对”。这里的有序集对意指当，是不同的集对，那么“好集对”一共有（　　）个。　　２.设函数,为()3.设是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺序排列而成那么A除以126的余数是()4.在直角中,,为斜边上的高,D为垂足..设数列的通项为则()5.在正整数构成的数列1.3.5.7……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列,易见那么6.设则7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种.8.设,且为使得取实数值的最小正整数,则对应此的为9.若正整数恰好有4个正约数,则称为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_____________________个.10.平行六面体中,顶点出发的三条棱的长度分别为2,3,4,且两两夹角都为那么这个平行六面体的四条对角线的长度(按顺序)分别为___________________11.函数的迭代的函数定义为其中=2,3,4…设,则方程组的解为_________________12.设平行四边形中，则平行四边形绕直线旋转所得的旋转体的体积为_______________三．解答题13.已知椭圆和点直线两点(可以重合).1)若为钝角或平角(为原点),试确定的斜率的取值范围.2)设关于长轴的对称点为,试判断三点是否共线,并说明理由.3)问题2)中,若三点能否共线?请说明理由.14.数列由下式确定:,试求(注表示不大于的最大整数,即的整数部分.)15.设给定的锐角的三边长满足其中为给定的正实数,试求的最大值,并求出当取此最大值时,的取值.2008年安徽高中数学竞赛初赛试题一、选择题1.若函数的图象绕原点顺时针旋转后，与函数的图象重合，则（）（A） （B）（C） （D）2.平面中，到两条相交直线的距离之和为1的点的轨迹为（）（A）椭圆 （B）双曲线的一部分 （C）抛物线的一部分 （D）矩形3.下列4个数中与最接近的是（）（A）-2008 （B）-1 （C）1 （D）20084.四面体的6个二面角中至多可能有（）个钝角。（A）3 （B）4 （C）5 （D）65.写成十进制循环小数的形式，其循环节的长度为()(A)30 (B)40 (C)50 （D）606.设多项式，则中共有（）个是偶数。（A）127 （B）1003 （C）1005 （D）1881二、填空题7.化简多项式8.函数的值域为9.若数列满足，且具有最小正周期2008，则10.设非负数的和等于1，则的最大值为11.设点A，B、C在椭圆上，当直线BC的方程为时，的面积最大。12.平面点集，易知可被1个三角形覆盖（即各点在某个三角形的边上），可被2个三角形覆盖，则覆盖需要个三角形。三、解答题13.将6个形状大小相同的小球（其中红色、黄色、蓝色各2个）随机放入3个盒子中，每个盒子中恰好放2个小球，记为盒中小于颜色相同的盒子的个数，求的分布。14.设，其中表示不超过x的最大整数。证明：无论取何正整数时，不在数列的素数只有有限多个。15.设圆与圆相交于A，B两点，圆分别与圆，圆外切于C，D，直线EF分别与圆，圆相切于E，F，直线CE与直线DF相交于G，证明：A，B，G三点共线。2009年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试题二．解答题（共86分）9.（21分）已知平行四边形ABCD满足BAD>,向四边形外部做DCE和BCF使得EDC=CBF,DCE=BFC,连接EF,向CEF外部作EFG使得EFG=CFB,FEG=CED.证明：10.（21分）设正项数列满足=1，，。求数列的通项公式11，（22分）求方程的所有解，其中表示不超过a的最大整数12．（22分）假设平面点集S具有性质：（1）任意三点不公线；（2）任意两点距离各不相等。对于S中两点A,B，若存在使得，则称AB是AB的一条中边。对于S中三点A,B,C,若AB,AC,BC都是S的中边，则称三角形ABC是S的中边三角形。求最小的n使得任意具有性质（1）（2）的n元平面点集S中一定存在中边三角形。2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷一、填空题（每小题8分，共64分）1.函数的值域是.2.函数的图象与的图象关于直线对称.3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于.4.设椭圆与双曲线相切，则.5.设是复数，则的最小值等于.6.设，，是实数，若方程的三个根构成公差为1的等差数列，则，，应满足的充分必要条件是.7.设是的内心，，，，，，动点的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于.8.从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是.二、解答题（共86分）9.（20分）设数列满足，，.求的通项公式.10.（22分）求最小正整数使得可被2010整除.11.（22分）已知的三边长度各不相等，，，分别是，，的平分线与边，，的垂直平分线的交点.求证：的面积小于的面积.12.（22分）桌上放有根火柴，甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取，第一次可取走至多根火柴，此后每人每次至少取走根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的2倍.取得最后一根火柴者获胜.问：当时，甲是否有获胜策略？请详细说明理由.2011年全国高中数学联赛安徽省预赛一、填空题（每小题8分，共64分）1．以表示集合的元素个数.若有限集合满足，，，则的最大可能值为2．设是正实数.若的最小值为10，则3．已知实系数多项式满足，，，则的所有可能值集合为4．设展开式.若，则第5题第6题5．在如图所示的长方体中，设是矩形的中心，线段交平面于点.若，，，则　　　　　　.6．平面上一个半径的动圆沿边长的正三角形的外侧滚动，其扫过区域的面积为.7．设直角坐标平面上的点与复数一一对应.若点分别对应复数（），则直线与轴的交点对应复数（用表示）.8．设n是大于4的偶数.随机选取正n边形的4个顶点构造四边形，得到矩形的概率为.二、解答题（第9—10题每题22分，第11—12题每题21分，共86分）9．已知数列满足，（），求的通项公式.10．已知正整数都是合数，并且两两互素，求证：.11．设（是实数），当时，.求的最大可能值.12．设点，在双曲线的左支上，，直线交双曲线的右支于点.求证：直线与的交点在直线上.2012年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷一．填空题（每题8分，共64分）1.设函数，则的最小正周期为2.设实数x,y满足，则x-2y的最大值为3.（用数字作答）4.设两点C,D在以线段AB为直径的半圆弧上，线段AC和线段BD相交与点E，AB=10,AC=8,BD=,则三角形ABE的面积为5.设两个椭圆有公共的焦点，则t=6.如图，设正四棱锥P-ABCD的体积为1，E,F,G,H分别是线段AB,CD,PB,PC的中点，则多面体BEG-CFH的体积为7.不超过2012且与210的最大公约数是1的正整数共有个8.设随机变量X~N(1,2),Y~N(3,4)。若则=二．解答题（第9~10题每题25分，第11~12题每题18分，共86分）9．已知三角形ABC的周长是1，且。（1）证明：三角形ABC是直角三角形；（2）求三角形ABC面积的最大值。10.设无穷数列满足=1，。证明：（1）当时，；（2）不存在实数C使得对所有的n都成立11.设，m是正整数。求所有满足的n次实系数多项式12.设。对平面上任意n个向量，以M表示满足i<j且的实数对（i,j）的个数。证明：。2013年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷1．填空题（每题8分，共64分）1.函数|+1|+|-1|+的值域是2.方程sin（2013兀x）=的实数根为3.化简sinsinsin=（用数字作答）4.设数列{}满足，,则5.设ΔABC的外接圆圆心P满足，则=6.设复数z=x+yi满足的实部和虚部之比为，其中i是虚数单位，x,y，则的最大值为7.设=，其中是常数，则=8.随机选取正11边形的3个不同顶点，它们构成锐角三角形的概率为2．解答题（第9-10每题21分，第11-12题每题22分，共86分）9.设正三棱锥的底面边长为1，侧面长为2，求其体积和内切球的半径.10.求所有函数，使得对任意的x,y都有11.设a,b,c是不全为0的实数，求F=的取值范围，a,b,c分别满足什么条件时，F取最大值和最小值？12.设数列{}满足（1）求数列{}的通项公式；（2）求证：对任意的正整数k,和都是整数. 1988年全国高中数学联赛试题第一试(10月16日上午8∶00——9∶30)一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)：1．设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是()A．y=－φ(x)B．y=－φ(－x)C．y=－φ－1(x)D．y=－φ－1(－x)2．已知原点在椭圆k2x2+y2－4kx+2ky+k2－1=0的内部，那么参数k的取值范围是()A．|k|>1B．|k|≠1C．－1<k<1D．0<|k|<13．平面上有三个点集M，N，P：M={(x，y)||x|+|y|<1}，N={(x，y)|+<2}，P={(x，y)||x+y|<1，|x|<1，|y|<1}．则A．MPNB．MNPC．PNMD．A、B、C都不成立4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c．若有命题甲：θ>；命题乙：a、b、c相交于一点．则A．甲是乙的充分条件但不必要B．甲是乙的必要条件但不充分C．甲是乙的充分必要条件D．A、B、C都不对5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式⑴M∪N∪P=I；⑵N≠Ø．⑶M≠Ø．⑷P≠Ø中，正确的表达式的个数是A．1B．2C．3D．4二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)：1．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么=．2．(+2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为．3．在△ABC中，已知∠A=α，CD、BE分别是AB、AC上的高，则=．4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为．三．(15分)长为，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积．四．(15分)复平面上动点Z1的轨迹方程为|Z1－Z0|=|Z1|，Z0为定点，Z0≠0，另一个动点Z满足Z1Z=－1，求点Z的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置．五．(15分)已知a、b为正实数，且+=1，试证：对每一个n∈N*，(a+b)n－an－bn≥22n－2n+1．1988年全国高中数学联赛二试题一．已知数列{an}，其中a1=1，a2=2，an+2=试证：对一切n∈N*，an≠0．二．如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB边上，求证：>．三．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l1，l2，……，ln，…的直线族，它满足条件：⑴点(1，1)∈ln，(n=1，2，3，……)；⑵kn+1=an－bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，(n=1，2，3，……)；⑶knkn+1≥0，(n=1，2，3，……)．并证明你的结论．1988年全国高中数学联赛解答一试题一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)：1．设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是()A．y=－φ(x)B．y=－φ(－x)C．y=－φ－1(x)D．y=－φ－1(－x)解：第二个函数是y=φ－1(x)．第三个函数是－x=φ－1(－y)，即y=－φ(－x)．选B．2．已知原点在椭圆k2x2+y2－4kx+2ky+k2－1=0的内部，那么参数k的取值范围是()A．|k|>1B．|k|≠1C．－1<k<1D．0<|k|<1解：因是椭圆，故k≠0，以(0，0)代入方程，得k2－1<0，选D．3．平面上有三个点集M，N，P：M={(x，y)||x|+|y|<1}，N={(x，y)|+<2}，P={(x，y)||x+y|<1，|x|<1，|y|<1}．则A．MPNB．MNPC．PNMD．A、B、C都不成立解：M表示以(1，0)，(0．1)，(－1，0)，(0，－1)为顶点的正方形内部的点的集合(不包括边界)；N表示焦点为(，－)，(－，)，长轴为2的椭圆内部的点的集合，P表示由x+y=±1，x=±1，y=±1围成的六边形内部的点的集合．故选A．4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c．若有命题甲：θ>；命题乙：a、b、c相交于一点．则A．甲是乙的充分条件但不必要B．甲是乙的必要条件但不充分C．甲是乙的充分必要条件D．A、B、C都不对解：a，b，c或平行，或交于一点．但当a∥b∥c时，θ=．当它们交于一点时，<θ<π．选C．5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式⑴M∪N∪P=I；⑵N≠Ø．⑶M≠Ø．⑷P≠Ø中，正确的表达式的个数是A．1B．2C．3D．4解：均正确，选D．二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)：1．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么=．解：a2－a1=(y－x)，b4－b3=(y－x)，=．2．(+2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为．解：(+2)2n+1－(－2)2n+1=2(C2xn+C23xn－1+C25xn－2+…+C22n+1)．令x=1，得所求系数和=(32n+1+1)．3．在△ABC中，已知∠A=α，CD、BE分别是AB、AC上的高，则=．解：△AED∽△ABC，==|cosα|．4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为．解画1行14个格子，每个格子依次代表一场比赛，如果某场比赛某人输了，就在相应的格子中写上他的顺序号(两方的人各用一种颜色写以示区别)．如果某一方7人都已失败则在后面的格子中依次填入另一方未出场的队员的顺序号．于是每一种比赛结果都对应一种填表方法，每一种填表方法对应一种比赛结果．这是一一对应关系．故所求方法数等于在14个格子中任选7个写入某一方的号码的方法数．∴共有C种比赛方式．三．(15分)长为，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积．解：过轴所在对角线BD中点O作MN⊥BD交边AD、BC于M、N，作AE⊥BD于E，则△ABD旋转所得旋转体为两个有公共底面的圆锥，底面半径AE==．其体积V=()2·=π．同样，△BCD旋转所得旋转体的体积=π．其重叠部分也是两个圆锥，由△DOM∽△DAB，DO=，OM==．∴其体积=2·π·()2·=π．∴所求体积=2·π－π=．四．(15分)复平面上动点Z1的轨迹方程为|Z1－Z0|=|Z1|，Z0为定点，Z0≠0，另一个动点Z满足Z1Z=－1，求点Z的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置．解：Z1=－，故得|－－Z0|=||，即|ZZ0+1|=1．|Z+|=||．即以－为圆心||为半径的圆．五．(15分)已知a、b为正实数，且+=1．试证：对每一个n∈N*，(a+b)n－an－bn≥22n－2n+1．证明：由已知得a+b=ab．又a+b≥2，∴ab≥2，故a+b=ab≥4．于是(a+b)k=(ab)k≥22k．又ak+bk≥2=2≥2k+1．下面用数学归纳法证明：1°当n=1时，左=右=0．左≥右成立．2°设当n=k(k≥1，k∈N)时结论成立，即(a+b)k－ak－bk≥22k－2k+1成立．则(a+b)k+1－ak+1－bk+1=(a+b)(a+b)k－(ak+bk)(a+b)+ab(ak－1+bk－1)=(a+b)[(a+b)k－ak－bk]+ab(ak－1+bk－1)≥4∙(22k－2k+1)+4∙2k=22(k+1)－4∙2k+1+4∙2k=22(k+1)－2(k+1)+1．即命题对于n=k+1也成立．故对于一切n∈N*，命题成立．二试题一．已知数列{an}，其中a1=1，a2=2，an+2=试证：对一切n∈N*，an≠0．（1988年全国高中竞赛试题） 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：改证an≢0(mod4)或an≢0(mod3)．证明：由a1=1，a2=2，得a3=7，a4=29，……∴a1≡1，a2≡2，a3≡3(mod4)．设a3k－2≡1，a3k－1≡2，a3k≡3(mod4)．则a3k+1≡5×3－3×2=9≡1(mod4)；a3k+2≡1－3=－2≡2(mod4)；a3k+3≡5×2－3×1=7≡3(mod4)．根据归纳原理知，对于一切n∈N，a3n－2≡1，a3n－1≡2，a3n≡3(mod4)恒成立，故an≢0(mod4)成立，从而an≠0．又证：a1≡1，a2≡2(mod3)．设a2k－1≡1，a2k≡2(mod3)成立，则当a2k－1∙a2k为偶数时a2k+1≡5×2－3×1≡1(mod3)，当a2k－1∙a2k为奇数时a2k+1≡2－1≡1(mod3)，总之a2k+1≡1(mod3)．当a2k∙a2k+1为偶数时a2k+2≡5×1－3×2≡2(mod3)，当a2k∙a2k+1为奇数时a2k+2≡1－2≡2(mod3)，总之，a2k+2≡2(mod3)．于是an≢0(mod3)．故an≠0．二．如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB边上，求证：>．证明：作△ABC及△PQR的高CN、RH．设△ABC的周长为1．则PQ=．则==·，但AB<，于是>，AP≤AB－PQ<－=，∴AR=－AP>，AC<，故>，从而>．三．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l1，l2，……，ln，…的直线族，它满足条件：⑴点(1，1)∈ln，(n=1，2，3，……)；⑵kn+1=an－bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，(n=1，2，3，……)；⑶knkn+1≥0，(n=1，2，3，……)．并证明你的结论．证明：设an=bn≠0，即kn－1=－1，或an=bn=0，即kn=1，就有kn+1=0，此时an+1不存在，故kn≠±1．现设kn≠0，1，则y=kn(x－1)+1，得bn=1－kn，an=1－，∴kn+1=kn－．此时knkn+1=kn2－1．∴kn>1或kn<－1．从而k1>1或k1<－1．⑴当k1>1时，由于0<<1，故k1>k2=k1－>0，若k2>1，则又有k1>k2>k3>0，依此类推，知当km>1时，有k1>k2>k3>∙…>km>km+1>0，且0<<<…<<1，km+1=km－<km－=km－1－－<km－1－<…<k1－．由于k1－随m的增大而线性减小，故必存在一个m值，m=m0，使k1－≤1，从而必存在一个m值m=m1≤m0，使k≥1，而1>k=k－>0，此时k·k<0．即此时不存在这样的直线族．⑵当k1<－1时，同样有－1<<0，得k1<k2=k1－<0．若k2<－1，又有k1<k2<k3<0，依此类推，知当km<－1时，有k1<k2<k3<∙…<km<km+1<0，且0>>>…>>－1，km+1=km－>km－=km－1－－>km－1－>…>k1－．由于k1－随m的增大而线性增大，故必存在一个m值，m=m0，使k1－≥－1，从而必存在一个m值，m=m1(m1≤m0)，使k≤－1，而－1<k=k－<0，此时k·k<0．即此时不存在这样的直线族．综上可知这样的直线族不存在．厦门市参加2010年福建省高中数学竞赛暨2010年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知贵校教务处转数学教研组：根据闽科协发【2010】39号文件《关于举办2010年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知》，以及省数学会《关于2010年福建省高中数学竞赛暨2010年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知》，根据我市情况，有关竞赛工作通知如下：一、赛制、竞赛时间和命题范围竞赛分预赛和复赛两个阶段。1．预赛：（1）时间：2010年9月11日（星期六）9：00——11：30，在本市 考点 西游记考点整理二建建筑实务必背考点药理学考点整理部分幼儿综合素质考点归纳小学教育教学知识能力 进行。（2）试题来源：预赛试题由福建省数学学会组织命题，同时也作为《2010年福建省高中数学竞赛》的试题，试题类型以全国联赛类型为主，适当补充少量全国联赛加试部分的内容。（3）试卷结构：填空题10题，每题6分，满分60分；解答题5题，每题20分，满分100分。全卷满分160分。考试时间150分钟。2．复赛（1）时间与地点：2010年10月17日（星期日）8：00——12：10，集中在福州一中旧校区进行考试。其中联赛时间为8：00—9：20，加试时间为9：40—12：10。（2）试题来源与命题要求：复赛试题是由中国数学会统一命题的全国联赛试题和加试试题。命题范围以现行高中数学教学大纲为准，加试试题的命题范围以数学竞赛大纲为准。根据现行“高中数学竞赛大纲”的要求，全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超过教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合、灵活运用知识的能力。全国高中数学联赛加试（二试）与中国数学奥林匹克（冬令营）、国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些教学大纲之外的内容。（3）试卷结构：全国高中数学联赛（一试）试卷结构为：填空题8题，每题8分，满分64分；解答题3题，分别为16分、20分、20分，满分56分。全卷满分120分。考试时间80分钟；全国高中数学联赛加试（二试）试卷结构为：4道解答题，涉及平面几何、代数、数论、组合四个方面。每题50分。满分200分。考试时间150分钟。二、参赛对象本学年度的在校高中学生均可报名，自愿参加，不影响学校的正常教学秩序。三、报名、报名费和准考证采用网上报名。在各校教务处的指导下，由高二年数学备课组长具体负责，组织学生报名参加竞赛。报名表请参照样表、统一用Excel文档并按要求认真填写，根据省数学会要求，报名时需将所有参加考试的考生的花名册上交，为最后评奖、颁发获奖学生证书以及制作指导教师证书的依据，务必请各校认真填写报名表，指导教师以报名表上登记的为准（每名学生只能上报1名指导教师），赛后不得更改。报名费（按省数学会通知）统一收取每生18元。各参赛学校请将报名表的电子文本用E.mail发送至电子油箱xmczm@126.com；报名费请直接汇入建设银行活期存折，存折户名：陈智猛，ATM卡号：4367421930036257416。报名截止时间是6月25日，逾期不予受理。请保留汇款的凭单备查，将本校报名人数以及汇款的金额数用手机短信形式发送至13806039993，短信联系进行报名的确认。9月初召开考务会同时领取准考证，准考证请各校自行填写，由备课组长保管，考前30分钟再发给考生。四、考号安排学校 考号安排厦门一中 10001——10600双十中学 10601——11200厦门六中 11201——11800外国语学校 11801——12400科技中学 12401——13000厦门二中 13001——13200湖滨中学 13201——13400学校 考号安排松柏中学 13401——13600厦门三中 13601——13800华侨中学 13801——14000禾山中学 14001——14200大同中学 14201——14400康桥中学 14401——14600集美中学 20001——20400英才学校 20401——20600灌口中学 20601——28000乐安中学 20801——21000厦门十中 21001——21400杏南中学 21401——21600海沧中学 21601——21800海沧实验中学 21801——22000同安一中 30001——30600启悟中学 30601——30800第二外国语学校 30801——31000东山中学 31001——31200五显中学 31201——31400国祺中学 31401——31600翔安一中 40001——40400新店中学 40401——40600内厝中学 40601——40800诗扳中学 40801——41000五、考务：有关考场的设置、监考等考务工作另行安排布置。六、奖项：按参赛人数的5%从高分到低分确定复赛入围者；预赛成绩为本区第一名经省数学会审核无误后也可以直接参加复赛。另外，符合下列条件之一者可直接进入复赛：（1）2008年、2009年全国高中数学联赛（福建赛区）一、二等奖获得者；（2）2010年东南地区数学奥林匹克竞赛一、二等奖获得者；（3）2010年福建省高一数学竞赛（省）前十五名获得者；（4）2010年中国女子数学奥林匹克竞赛一、二等奖获得者。复赛试卷经省数学会评定后，评出（省级）全国一、二、三等奖的获奖名单报省科协、省教育厅审定，获得（省级）全国一、二、三等奖的选手及指导教师由省科协和省教育厅联合颁发获奖证书。注意：一等奖、二等奖和三等奖均按联赛与加试的总分评定。省数学会评出《2009年福建省高中数学竞赛》一、二、三等奖后，我市在省奖之外再评出市一等奖、二等奖、三等奖，以及表扬奖若干名。为了鼓励各校参加高中数学联赛的积极性，研究决定：按报名人数给学校不低于10%的市级（以上）获奖名额，鼓励学生。厦门市教育科学研究院基础教育研究室厦门市教育学会数学教学专业委员会2010年5月13日附：2010年全国高中数学联赛福建赛区（厦门）竞赛报名表 考号 学生姓名 性别 年级 所在学校 指导教师 考生总数（人） 应交金额（元）（注：报名表的指导教师栏请认真填写，赛后不得更改）1992年全国高中数学联赛试卷第一试一．选择题(每小题5分，共30分)1.对于每个自然数n，抛物线y(n2＋n)x2(2n＋1)x＋1与x轴交于An，Bn两点，以|AnBn|表示该两点的距离，则|A1B1|＋|A2B2|＋＋|A1992B1992|的值是()(A)(B)(C)(D)1.已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是()(A)(x＋)(y＋)=0(B)(x)(y)=0(C)(x＋)(y)=0(D)(x)(y＋)=01.设四面体四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，它们的最大值为S，记=/S，则一定满足()(A)2<≤4(B)3<<4(C)2.5<≤4.5(D)3.5<<5.51.在△ABC中，角A，B，C的对边分别记为a，b，c(b1)，且都是方程=logb(4x4)的根，则△ABC()(A)是等腰三角形，但不是直角三角形(B)是直角三角形，但不是等腰三角形(C)是等腰直角三角形(D)不是等腰三角形，也不是直角三角形1.设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且|z1|=4，4z122z1z2＋z22=