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高考数学一轮复习北师大版专题讲座立体几何在高考中的常见题型与求解策略 名师制作优质课件.ppt

高考数学一轮复习北师大版专题讲座立体几何在高考中的常见题型与求…

Miss杨
2019-04-14 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《高考数学一轮复习北师大版专题讲座立体几何在高考中的常见题型与求解策略 名师制作优质课件ppt》,可适用于高中教育领域

栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略eqx(考情概述) 立体几何是历年高考必考的热点试题难度中等命题的热点主要有空间线面位置关系的证明和空间角的求解试题背景有折叠问题探索性问题等考查了学生的空间想象能力、逻辑思维能力以及转化与化归思想的应用能力解决此类问题一般有传统方法和向量方法用向量法解决问题可以化繁为简降低题目的难度.栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略专题一 线面位置关系的证明与空间角的求解 (middot高考浙江卷)如图在三棱柱ABCshyABC中angBAC=degAB=AC=AA=A在底面ABC的射影为BC的中点D是BC的中点.()证明:ADperp平面ABC()求二面角AshyBDshyB的平面角的余弦值.栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略解()证明:设E为BC的中点连接AEAEDE(图略)由题意得AEperp平面ABC所以AEperpAE因为AB=AC所以AEperpBC故AEperp平面ABC由DE分别为BCBC的中点得DE∥BB且DE=BB从而DE∥AADE=AA所以四边形AAED为平行四边形.栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略故AD∥AE又因为AEperp平面ABC所以ADperp平面ABC栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略()以CB的中点E为原点分别以射线EAEB为xy轴的正半轴建立空间直角坐标系Exyz如图所示.由题意知各点坐标如下:A(eqr())B(eqr())D(-eqr()eqr())B(-eqr()eqr()eqr()).因此eqo(AB,sup(rarr))=(eqr()-eqr())eqo(BD,sup(rarr))=(-eqr()-eqr()eqr())eqo(DB,sup(rarr))=(eqr()).栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略设平面ABD的法向量为m=(xyz)平面BBD的法向量为n=(xyz).由eqblc{(avsalco(mmiddoto(AB,sup(rarr))=,mmiddoto(BD,sup(rarr))=))即eqblc{(avsalco(r()y-r()z=,-r()x-r()y+r()z=))可取m=(eqr()).由eqblc{(avsalco(nmiddoto(DB,sup(rarr))=,nmiddoto(BD,sup(rarr))=))栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略即eqblc{(avsalco(r()y=,-r()x-r()y+r()z=))可取n=(eqr()).于是|cos〈mn〉|=eqf(|mmiddotn|,|m|middot|n|)=eqf(,)由题意可知所求二面角的平面角是钝角故二面角AshyBDshyB的平面角的余弦值为-eqf(,)栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略空间中线面的平行与垂直的证明思路()利用相应的判定定理和性质定理去解决()利用空间向量法来论证应用向量证明线、面的位置关系的关键是建立恰当的直角坐标系将空间中的线、面分别用向量正确表示.把空间位置关系的证明转化为空间向量的运算通过运算解决证明问题.栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略 (middot天津十二县(区)联考)如图三棱柱ABCshyABC中AAperp平面ABCBCperpACBC=AC=AA=D为AC的中点.()求证:AB∥平面BDC()求二面角CshyBDshyC的余弦值()在侧棱AA上是否存在点P使得CPperp平面BDC?请证明你的结论?栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略解()证明:依题意可建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz则C()B()B()C()A()D()设n=(xyz)是平面BDC的法向量则eqblc{(avsalco(nmiddoto(CB,sup(rarr))=,nmiddoto(CD,sup(rarr))=))栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略即eqblc{(avsalco(y+z=,x+y=))取n=eqblc(rc)(avsalco(-f(,)f(,)))又eqo(AB,sup(rarr))=(--)所以eqo(AB,sup(rarr))middotn=-++=即eqo(AB,sup(rarr))perpn因为AB平面BDC所以AB∥平面BDC()易知eqo(CC,sup(rarr))=()是平面ABC的一个法向量.cos〈neqo(CC,sup(rarr))〉=eqf(nmiddoto(CC,sup(rarr)),|n||o(CC,sup(rarr))|)=-eqf(,)栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略所以二面角CshyBDshyC的余弦值为eqf(,)()假设侧棱AA上存在一点P使得CPperp平面BDC设P(y)(leyle)则eqo(CP,sup(rarr))=(y-)则eqblc{(avsalco(o(CP,sup(rarr))middoto(CB,sup(rarr))=,o(CP,sup(rarr))middoto(CD,sup(rarr))=))即eqblc{(avsalco((y-)=,+(y-)=))解得eqblc{(avsalco(y=,y=f(,)))所以方程组无解.所以侧棱AA上不存在点P使CPperp平面BDC栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略专题二 平面图形的翻折问题 如图①在等腰直角三角形ABC中angA=degBC=DE分别是ACAB上的点CD=BE=eqr()O为BC的中点.将△ADE沿DE折起得到如图②所示的四棱锥AprimeshyBCDE其中AprimeO=eqr()()证明:AprimeOperp平面BCDE()求二面角AprimeshyCDshyB的平面角的余弦值.栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略解()证明:法一:在折叠前的图形中在等腰直角三角形ABC中因为BC=O为BC的中点所以AC=AB=eqr()OC=OB=又因为CD=BE=eqr()所以AD=AE=eqr()如图(a)连接OD在△OCD中由余弦定理可得OD=eqr(OC+CD-OCmiddotCDcosdeg)=eqr()在折叠后的图形中因为AprimeD=eqr()所以AprimeO+OD=AprimeD所以AprimeOperpOD同理可证AprimeOperpOE又ODcapOE=O所以AprimeOperp平面BCDE栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略法二:如图(a)在折叠前的图形中连接AO交DE于点F则F为DE的中点.在等腰Rt△ABC中因为BC=O为BC的中点所以AC=AB=eqr()OA=因为CD=BE=eqr()所以D和E分别是ACAB的三等分点则AF=OF=如图(b)在折叠后的图形中连接OF和AprimeF栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略因为AprimeO=eqr()所以AprimeF=OF+AprimeO所以AprimeOperpOF在折叠前的图形中DEperpOF所以在折叠后的图形中DEperpAprimeFDEperpOF又OFcapAprimeF=FOFAprimeF平面OAprimeF所以DEperp平面OAprimeF因为OAprime平面OAprimeF所以DEperpOAprime因为OFcapDE=FOFDE平面BCDE所以AprimeOperp平面BCDE栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略()法一:如图(b)过O作OM垂直于CD的延长线于点M连接AprimeM因为AprimeOperp平面BCDECM平面BCDEOM平面BCDE所以AprimeOperpCMAprimeOperpOM因为AprimeOcapOM=O所以CMperp平面AprimeOM因为AprimeM平面AprimeOM所以CMperpAprimeM故angAprimeMO就是所求二面角的平面角.在Rt△OMC中OC=angOCM=deg所以OM=eqf(r(),)在Rt△AprimeOM中因为AprimeO=eqr()OM=eqf(r(),)栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略所以AprimeM=eqr(AprimeO+OM)=eqr(+f(,))=eqf(r(),)所以cosangAprimeMO=eqf(OM,AprimeM)=eqf(f(r(),),f(r(),))=eqf(r(),)所以二面角AprimeshyCDshyB的平面角的余弦值为eqf(r(),)栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略法二:以点O为原点建立空间直角坐标系Oxyz如图(c)所示(F为DE的中点)则Aprime(eqr())C(-)D(-)所以eqo(OAprime,sup(rarr))=(eqr())eqo(CAprime,sup(rarr))=(eqr())eqo(DAprime,sup(rarr))=(-eqr()).设n=(xyz)为平面AprimeCD的一个法向量则eqblc{(avsalco(nmiddoto(CAprime,sup(rarr))=y+r()z=,nmiddoto(DAprime,sup(rarr))=-x+y+r()z=))栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略令z=eqr()得n=(-eqr())|n|=eqr(++)=eqr()由()知eqo(OAprime,sup(rarr))=(eqr())为平面CDB的一个法向量.又|eqo(OAprime,sup(rarr))|=eqr()eqo(OAprime,sup(rarr))middotn=times+times(-)+eqr()timeseqr()=所以cos〈neqo(OAprime,sup(rarr))〉=eqf(nmiddoto(OAprime,sup(rarr)),avsal(|n||o(OAprime,sup(rarr))|))=eqf(,r()timesr())=eqf(r(),)即二面角AprimeshyCDshyB的平面角的余弦值为eqf(r(),)栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略翻折问题的求解策略()解决这类问题的关键是搞清翻折前后的变化量和不变量.一般情况下长度是不变量而位置关系往往会发生变化()在解决问题时要综合考虑翻折前后的图形既要分析翻折后的图形也要分析翻折前的图形进而将其转化为立体几何的常规问题求解.栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略 (middot青岛模拟)如图所示四边形ABCD中ABperpADAD∥BCAD=BC=AB=点EF分别在BCAD上且E为BC的中点EF∥AB现将四边形ABEF沿EF折起使二面角AshyEFshyD等于deg()设P为AD的中点求证:CP∥平面ABEF()求直线AF与平面ACD所成角的正弦值.栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略解:()证明:取AF的中点Q连接QEQP则QP∥DFQP=eqf(,)DF又DF=EC=且DF∥EC所以QP∥EC且QP=EC即四边形PQEC为平行四边形.所以CP∥QE又因为QE平面ABEFCP平面ABEF所以CP∥平面ABEF栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略()由题意知翻折后仍有EFperpAFEFperpFD则EFperp平面AFD所以angAFD为二面角AshyEFshyD的平面角即angAFD=deg过A作AOperpFD于O又因为AOperpEF所以AOperp平面CDFE作OG∥EF交EC于G则OGperpFDAOperpOG分别以OGODOA所在直线为xyz轴建立空间直角坐标系Oxyz栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略在Rt△AOF中AF=angAFO=deg则FO=OA=eqr()所以F(-)A(eqr())D()C().所以eqo(AF,sup(rarr))=(--eqr())eqo(AD,sup(rarr))=(-eqr())eqo(CD,sup(rarr))=(-).设平面ACD的法向量为n=(xyz)则eqblc{(avsalco(nmiddoto(AD,sup(rarr))=,nmiddoto(CD,sup(rarr))=))即eqblc{(avsalco(y-r()z=,-x+y=))令z=eqr()得y=x=所以n=(eqr())则cos〈neqo(AF,sup(rarr))〉=eqf(|--|,timesr())=eqf(r(),)所以直线AF与平面ACD所成角的正弦值为eqf(r(),)栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略专题三 立体几何中的探索性问题 (middot高考湖北卷)如图在棱长为的正方体ABCDshyABCD中EFMN分别是棱ABADABAD的中点点PQ分别在棱DDBB上移动且DP=BQ=lambda(<lambda<).()当lambda=时证明:直线BC∥平面EFPQ()是否存在lambda使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在求出lambda的值若不存在说明理由.栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略解法一:()证明:如图()连接AD由ABCDshyABCD是正方体知BC∥AD当lambda=时P是DD的中点又F是AD的中点所以FP∥AD所以BC∥FP而FP平面EFPQ且BC平面EFPQ故直线BC∥平面EFPQ栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略()如图()连接BD因为EF分别是ABAD的中点所以EF∥BD且EF=eqf(,)BD又DP=BQDP∥BQ所以四边形PQBD是平行四边形故PQ∥BD且PQ=BD从而EF∥PQ且EF=eqf(,)PQ在Rt△EBQ和Rt△FDP中因为BQ=DP=lambdaBE=DF=于是EQ=FP=eqr(+lambda)所以四边形EFPQ是等腰梯形.同理可证四边形PQMN是等腰梯形.分别取EFPQMN的中点为HOG连接OHOG则GOperpPQHOperpPQ而GOcapHO=O栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略故angGOH是面EFPQ与面PQMN所成的二面角的平面角.若存在lambda使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角则angGOH=deg连接EMFN则由EF∥MN且EF=MN知四边形EFNM是平行四边形.连接GH因为HG分别是EFMN的中点所以GH=ME=在△GOH中GH=OH=+lambda-eqblc(rc)(avsalco(f(r(),)))eqsup()=lambda+eqf(,)OG=+(-lambda)-eqblc(rc)(avsalco(f(r(),)))eqsup()=(-lambda)+eqf(,)栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略由OG+OH=GH得(-lambda)+eqf(,)+lambda+eqf(,)=解得lambda=plusmneqf(r(),)故存在lambda=plusmneqf(r(),)使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略法二:向量方法:以D为原点射线DADCDD分别为xyz轴的正半轴建立如图()所示的空间直角坐标系Dxyz由已知得B()C()E()F()P(lambda)eqo(BC,sup(rarr))=(-)eqo(FP,sup(rarr))=(-lambda)eqo(FE,sup(rarr))=().栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略()证明:当lambda=时eqo(FP,sup(rarr))=(-)因为eqo(BC,sup(rarr))=(-)所以eqo(BC,sup(rarr))=eqo(FP,sup(rarr))即BC∥FP而FP平面EFPQ且BC平面EFPQ故直线BC∥平面EFPQ()设平面EFPQ的一个法向量为n=(xyz)则由eqblc{(avsalco(o(FE,sup(rarr))middotn=,o(FP,sup(rarr))middotn=))可得eqblc{(avsalco(x+y=,-x+lambdaz=))于是可取n=(lambda-lambda).栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略同理可得平面MNPQ的一个法向量为m=(lambda--lambda).若存在lambda使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角则mmiddotn=(lambda--lambda)middot(lambda-lambda)=即lambda(lambda-)-lambda(-lambda)+=解得lambda=plusmneqf(r(),)故存在lambda=plusmneqf(r(),)使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略探索性问题的求解策略()对于存在判断型问题的求解应先假设存在把要成立的结论当作条件据此列方程或方程组把ldquo是否存在rdquo问题转化为ldquo点的坐标是否有解是否有规定范围内的解rdquo等()对于位置探究型问题通常借助向量引进参数综合已知和结论列出等式解出参数.栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略 在直三棱柱ABCshyABC中AA=AB=AC=EF分别是CCBC的中点AEperpABD为棱AB上的点.()证明:DFperpAE()是否存在一点D使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为eqf(r(),)?若存在说明点D的位置若不存在说明理由.栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略解:()证明:因为AEperpABAB∥AB所以ABperpAE又因为ABperpAAAEcapAA=A所以ABperp平面AACC又因为AC平面AACC所以ABperpAC栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz则A()Eeqblc(rc)(avsalco(f(,)))Feqblc(rc)(avsalco(f(,)f(,)))A()B().设D(xyz)eqo(AD,sup(rarr))=lambdaeqo(AB,sup(rarr))且lambdaisin则(xyz-)=lambda()所以D(lambda)所以eqo(DF,sup(rarr))=eqblc(rc)(avsalco(f(,)-lambdaf(,)-))又eqo(AE,sup(rarr))=eqblc(rc)(avsalco(f(,)))所以eqo(DF,sup(rarr))middoteqo(AE,sup(rarr))=eqf(,)-eqf(,)=所以DFperpAE栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略()假设存在设平面DEF的法向量为n=(xyz)则eqblc{(avsalco(nmiddoto(FE,sup(rarr))=,nmiddoto(DF,sup(rarr))=))因为eqo(FE,sup(rarr))=eqblc(rc)(avsalco(-f(,)f(,)f(,)))eqo(DF,sup(rarr))=eqblc(rc)(avsalco(f(,)-lambdaf(,)-))所以eqblc{(avsalco(-f(,)x+f(,)y+f(,)z=,blc(rc)(avsalco(f(,)-lambda))x+f(,)y-z=))即eqblc{(avsalco(x=f(,(-lambda))z,y=f(+lambda,(-lambda))z))栏目导引专题讲座四 立体几何在高考中的常见题型与求解策略令z=(-lambda)则n=(+lambda(-lambda)).由题可知平面ABC的一个法向量m=().因为平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为eqf(r(),)所以|cos〈mn〉|=eqf(|mmiddotn|,|m||n|)=eqf(r(),)即eqf(|(-lambda)|,r(+(+lambda)+(-lambda)))=eqf(r(),)所以lambda=eqf(,)或lambda=eqf(,)(舍去)所以当点D为AB的中点时满足要求.

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