ACM程序设计计算机学院刘春英今天，你了吗？AC每周一星（2）：06057231杨振华第三讲 递推求解先来看一个超级简单的例题:有5人坐在一起，当问第5个人多少岁,他说比第4个人大2岁，问第4个人多少岁,他说比第3个人大2岁，依此下去，问第一个人多少岁，他说他10岁，最后求第5个人多少岁？如果所坐的不是5人而是n人，写出第n个人的年龄表达式。显然可以得到如下公式:化简后的公式:F(n)=10+(n-1)*2再来一个简单题:再来一个简单题:蟠桃记递推公式?F(n)=(F(n-1)+1)*2Fibnacci数列：即：1、2、3、5、8、13、21、34…思考:递推公式的伟大意义——？有了公式，人工计算的
方法
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？常见的编程实现方法？（优缺点？）简单思考题:在一个平面上有一个圆和n条直线，这些直线中每一条在圆内同其他直线相交，假设没有3条直线相交于一点，试问这些直线将圆分成多少区域。是不是这个——F(1)=2;F(n)=F(n-1)+n;化简后：F(n)=n(n+1)/2+1;太简单了?来个稍微麻烦一些的例:（2050）折线分割平面问题描述：平面上有n条折线，问这些折线最多能将平面分割成多少块?样例输入12样例输出27思考2分钟:如何解决?结论:Zn=2n(2n+1)/2+1-2n =2n^2–n+1为什么?趁热打铁，来个差不多的说起佐罗，大家首先想到的除了他脸上的面具，恐怕还有他每次刻下的“Z”字。我们知道，一个“Z”可以把平面分为2部分，两个“Z”可以把平面分为12部分，那么，现在的问题是：如果平面上有n个“Z”,平面最多可以分割为几部分呢？说明1：“Z”的两端应看成射线说明2：“Z”的两条射线规定为平行的附加思考题（还没加到OJ）： “佐罗”的烦恼
总结
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：递推求解的基本方法：首先确认，是否能很容易的得到简单情况的解假设规模为N-1的情况已经得到解决重点
分析
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：当规模扩大到N时，如何枚举出所有的情况，并且要确保对于每一种子情况都能用已经得到的数据解决。强调： 1、编程中的空间换时间的思想 2、并不一定是从N-1到N的分析问题的提出：设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。思考题：平面分割方法F(1)=2F(n)=F(n-1)+2(n-1)某人写了n封信和n个信封，如果所有的信都装错了信封。求所有的信都装错信封,共有多少种不同情况。1465不容易系列之一分析思路：1、当N=1和2时，易得解～，假设F(N-1)和F(N-2)已经得到，重点分析下面的情况：4、后者简单，只能是没装错的那封信和第N封信交换信封，没装错的那封信可以是前面N-1封信中的任意一个，故=F(N-2)*(N-1)3、前者，对于每一种错装，可以从N-1封信中任意取一封和第N封错装，故=F(N-1)*(N-1)2、当有N封信的时候，前面N-1封信可以有N-1或者N-2封错装得到如下递推公式：基本形式：d[1]=0;d[2]=1 递归式：d[n]=(n-1)*(d[n-1]+d[n-2])这就是著名的错排公式在2×n的一个长方形方格中,用一个1×2的骨牌铺满方格,例如n=3时,为2×3方格，骨牌的铺放方案有三种(如图),输入n,输出铺放方案的总数思考题（2046）：有1×n的一个长方形，用1×1、1×2、1×3的骨牌铺满方格。例如当n=3时为1×3的方格，此时用1×1，1×2，1×3的骨牌铺满方格，共有四种铺法。如图输入n（0<=n<=30）;输出铺法总数再思考：仔细分析最后一个格的铺法,发现无非是用1×1,1×2,1×3三种铺法,很容易就可以得出：f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3);其中f(1)=1,f(2)=2,f(3)=4典型例题最后一个思考题（有点难度）：Children’sQueue用F(n)表示n个人的合法队列， 作如下分析： 按照最后一个人的性别分析，他要么是男，要么是女，所以可以分两大类讨论： 1、如果n个人的合法队列的最后一个人是男，则对前面n-1个人的队列没有任何限制，他只要站在最后即可，所以，这种情况一共有F(n-1); 2、如果n个人的合法队列的最后一个人是女，则要求队列的第n-1个人务必也是女生，这就是说，限定了最后两个人必须都是女生，这又可以分两种情况： 2.1、如果队列的前n-2个人是合法的队列，则显然后面再加两个女生，也一定是合法的，这种情况有F(n-2); 2.2、但是，难点在于，即使前面n-2个人不是合法的队列，加上两个女生也有可能是合法的，当然，这种长度为n-2的不合法队列，不合法的地方必须是尾巴，就是说，这里说的长度是n-2的不合法串的形式必须是“F(n-4)+男+女”，这种情况一共有F(n-4).结论：所以，通过以上的分析，可以得到递推的通项公式： F(n)=F(n-1)+F(n-2)+F(n-4) (n>3) 然后就是对n<=3的一些特殊情况的处理了，显然： F(0)=1 (没有人也是合法的，这个可以特殊处理，就像0的阶乘定义为1一样) F(1)=1 F(2)=2 F(3)=4有排成一行的ｎ个方格，用红(Red)、粉(Pink)、绿(Green)三色涂每个格子，每格涂一色，要求任何相邻的方格不能同色，且首尾两格也不同色．求全部的满足要求的涂法.附加思考题： 不容易系列之(3) ——LELE的RPG难题一把钥匙有N个槽，2<N<26槽深为1，2，3，4,5,6。每钥匙至少有3个不同的深度且相连的槽其深度之差不得为5。求这样的钥匙的总数。 本题无输入对2<N<26，输出满足要求的钥匙的总数。 附加思考题： 1480_钥匙计数之二详见解题
报告
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：http://acm.hdu.edu.cn/forum/read.php?tid=2294&page=1&toread=1仔细阅读，耐心品味，关键掌握从n-1到n的推导过程。Anyquestion?HDOJ作业：一、课后在线练习:《ACMProgramming》Exercise（3）二、相关题目：1290献给杭电五十周年校庆的礼物1297Children’sQueue1438钥匙计数之一1465~14661480钥匙计数之二2013蟠桃记2018母牛的故事2041~20422044~2050(10/5专题练习)Seeyounextweek.课后一定要练习！
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