L16_17-能带论4

上一讲回顾1.简并微扰上一讲回顾2.克朗尼格-朋奈模型1区2区3区上一讲回顾3.平面波展开法定理上一讲回顾4.紧束缚近似波函数：能带：交叠积分：例1：求简单立方晶体中由原子的s态所形成的能带由于s态的原子波函数是球对称的，有对于简单立方：Rs＝(a,0,0),(0,a,0),(0,0,a)能量的最高点和最低点？在简单立方晶格的简约区中点：k＝(0,0,0)X点：k＝(/a,0,0)R点：k＝(/a,/a,/a)由于s态波函数是偶宇称，s(r)=s(-r)，所以，在近邻重叠积分中波函数的贡献为正，即J1>0。点：能带底；R点：能带顶 原子的一个s能级在晶体中展宽为一个相应的能带，能带宽度取决于J1，即近邻原子波函数的重叠积分。 原子的内层电子轨道半径较小，所形成的能带校窄；而外层电子的轨道半径较大，所形成的能带较宽。 以上讨论仅适用于原子能级非简并，且原子波函数重叠很少的情况，即适用于原子内层s电子所形成的能带。对于p电子、d电子等，这些状态都是简并的，因此，其Bloch函数应是孤立原子的有关状态波函数的线性组合。例2：求简单立方晶体由原子的p态所形成的能带原子的p态为三重简并，其原子轨道可 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 为在简单立方晶体中，三个p轨道各自形成一个能带，其波函数是各自原子轨道的线性组合。二、原子能级与能带的对应 对于原子的内层电子，其电子轨道很小，因而形成的能带较窄。这时，原子能级与能带之间有简单的一一对应关系。在某些情况下还可能出现不同原子态的相互作用。如：Si的价带与导带。紧束缚近似对原子的内层电子是相当好的近似，它还可用来近似地描述过渡金属的d带、类金刚石晶体以及惰性元素晶体的价带。紧束缚近似是定量计算绝缘体、化合物及半导体特性的有效工具。§4.6晶体能带的对称性一、En(k)函数的对称性晶体点群对称操作的算符T()，物理意义：对于任意函数f(r)，有其中，－1是的逆操作，其定义为－1r点经操作后变换到r点。晶体中电子运动的哈密顿量为：能带的点群对称性En(αk)=En(k)将T()和H同时作用在任意函数f(r)上，2在正交变换下形式不变，电子的势能函数U(r)具有与晶格相同的对称性：由于f(r)是任意函数，所以T()与H可对易在晶体中电子运动的本征态波函数为Bloch函数n：能带标记，k：简约波矢，对应的能量本征值：En(k)更准确和详细的推导参看PLA308,116(2003);PRB67,155114(2003)这表明，用T()作用在Bloch函数的结果只是将简约波矢k变换到另一个简约波矢k。证明了在k空间中En(k)具有与晶体点群完全相同的对称性。上式对所有晶体点群的对称操作都成立。能带的反演对称性En(k)=En(-k)证明*：k态的薛定谔方程：由布洛赫定理：取k态薛定谔方程的复共轭：-k态的薛定谔方程：方程(a)和方程(b)中哈密顿量完全相同，因此其能量本征值也相同，即En(k)=En(-k)，能带具有反演对称性。同时还有En(k)函数的三种图象 扩展布里渊区图象： 周期布里渊区图象： 简约布里渊区图象：能带的平移对称性En(k+G)=En(k)电子波函数在k空间具有平移对称性。结论：相差为倒格矢的两个状态k和k´的全部本征函数和能量本征值的集合是全同的。能带是k的周期函数。能带和波函数的对称性---来源于晶格的平移对称性(周期性)---来源于晶体的点群对称性---来源于时间反演对称性二维正方晶格的点群是C4V(4mm)，点群的阶数：8只需研究清楚简约区中1/8空间中电子的能量状态，就可以知道整个k空间中的能量状态了。以二维正方晶格为例：立方晶系的Oh(m3m)点群（48阶），只需研究(1/48)b即可。这部分体积称为简约区的不可约体积。二、波矢星和波矢群对所有晶体点群的对称操作，可得到一组k，它们都是等价的，都具有相同的能量本征值。我们将这组k的集合称为波矢星。这时，k是布里渊区中的一般点，这时k星中的等价波矢量数目等于晶体点群中的元素数（即点群的阶数）。如二维正方晶格的C4V（4mm）点群（8阶），在第一布里渊区的一般位置k，可以得到8个等价的波矢量k组成k星。对于简单立方晶格的Oh群，有48个对称操作，那么在简约区中的一般位置k，可以得到48个等价的波矢量组成波矢星。2.在晶体点群中存在某些对称操作，使得在这种情况下，k一定是处在简约区中的特殊位置（如对称点、对称轴或对称面）上。这时波矢星中所包含的等价波矢量数目就少于晶体点群的阶数，而只是它的一个分数。k操作的集合构成一个群，称为波矢群，或称为群。波矢群也是晶体点群的一种，而且一定是这种晶体点群的子群，或者就是晶体点群本身。以二维正方晶格C4V（4mm）为例：在它的简约区（即第一布里渊区）中有六种具有波矢群的对称点或对称轴： 特殊位置 k星中等价k数 群 波矢群阶数 波矢群中的对称操作 点 (0,0) 1 C4V 8 4z，mx，my，1，2 X点 (/a,0) 2 C2V 4 2z，mx，my M点 (/a,/a) 1 C4V 8 4z，mx，my，1，2 轴 (k,0) 4 CS 2 my 轴 (k,k) 4 CS 2 2 Z轴 (/a,k) 4 CS 2 mx简单立方晶格Oh(m3m)点群： 特殊位置 群 点 (0,0,0) Oh(m3m) X点 (/a,0,0) D4h(4/mmm) M点 (/a,/a,0) D4h(4/mmm) R点 (/a,/a,/a) Oh(m3m) 轴 (k,0,0) C4V(4mm) Z轴 (/a,k,0) C2V(mm2) 轴 (k,k,0) C2V(mm2) S轴 (/a,k,k) C2V(mm2) T轴 (/a,/a,k) C4V(4mm) 轴 (k,k,k) C3V(3m)§4.7能态密度和费米面一、能态密度1.定义能态密度：dZ：能量在E－E+dE两等能面间的量子态数（考虑了电子自旋）能态密度：能带中单位能量间隔内的电子量子态数dZ=2(k)(k空间中能量在E－E+dE两等能面间的体积)2.近自由电子的能态密度对于自由电子：能量为E的等能面是半径为在球面上的球面在近自由电子情况下，周期场的影响主要表现在布里渊区边界附近，而离布里渊区边界较远处，周期场对电子运动的影响很小。近自由电子的等能面当ECⅠ<EBⅡ时：有能隙（禁带）当ECⅠ>EBⅡ时：出现能带重叠3.紧束缚近似的能态密度以简单立方晶格s带为例:在k=0，即能带底附近，等能面近似为球面，随着E的增大，等能面明显偏离球面。在、X、M和R点处，kE=0，称为VanHove奇点，这些点都是布里渊区中的高对称点。二、费米面讨论近自由电子的费米面结构:对金属：EＦ０>>KBT，在T>0时，只有费米面附近的少量电子受到热激发。～～～a.费米面的构造步骤 按电子浓度求出相应的费米半径，并作出费米球（圆）；1.近自由电子费米面的构造法 按照近自由电子作必要的修正。 将处在各个布里渊区中的费米球（圆）分块按倒格矢平移到简约区中，来自第n个布里渊区的对应于第n个能带，于是在简约区中得到对应于各个能带的费米面图形； 根据晶体结构画出倒易空间中扩展的布里渊区图形；b.修正的依据 电子的能量只在布里渊区边界附近偏离自由电子能量，周期场的影响使等能面在布里渊区边界面附近发生畸变，形成向外突出的凸包； 周期场的影响使费米面上的尖锐角圆滑化。 费米面所包围的总体积仅依赖于电子浓度，而不取决于电子与晶格相互作用的细节； 等能面几乎总是与布里渊区边界面垂直相交；例：二维正方晶格近自由电子的费米面图形。设二维晶格的晶格常数为a，晶体的原胞数为N，设平均每个原子有个价电子，即电子浓度为电子/原子。对于简单晶格：其中为简约区的内切圆半径 电子浓度 kF/k1 1 0.798 2 1.128 3 1.382 4 1.596 5 1.784 6 1.954简约区中自由电子的费米面=2,3=4,5,6