中科大数值计算方法—常微分方程求解课件

null第8章　常微分方程第8章　常微分方程 实际中，很多问题的数学模型都是微分方程。我们可以研究它们的一些性质。但是，只有极少数特殊的方程有解析解。对于绝大部分的微分方程是没有解析解的。 常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在自然界与工程界有很广泛的应用。很多问题的数学表述都可以归结为常微分方程的定解问题。很多偏微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来近似求解。本章讨论常微分方程的数值解法例：弹簧运动，物体下落风阻null对于一个常微分方程：通常会有无穷个解。如：因此，我们要加入一个限定条件。通常会在端点出给出，如下面的初值问题：为了使解存在唯一，一般，要加限制条件在f上，要求f对y满足Lipschitz条件：null 常微分方程的解是一个函数，但是，计算机没有办法对函数进行运算。因此，常微分方程的数值解并不是求函数的近似，而是求解函数在某些节点的近似值。例：我们对区间做等距分割：设解函数在节点的近似为由数值微分公式，我们有，则：向前差商公式可以看到，给出初值，就可以用上式求出所有的null基本步骤如下：③ 解差分方程，求出格点函数① 对区间作分割： 求y(x)在xi上的近似值yi。称为分割上的格点函数数值方法，主要研究步骤②，即如何建立差分方程，并研究差分方程的性质。 这种方法 ，称为数值离散方法。求的是在一系列离散点列上，求未知函数y在这些点上的值的近似。我们的目的，就是求这个格点函数null 为了考察数值方法提供的数值解，是否有实用价值，需要知道如下几个结论：① 收敛性问题② 误差估计③ 稳定性问题步长充分小时，所得到的数值解能否逼近问题的真解；舍入误差，在以后各步的计算中，是否会无限制扩大；null8.1 Euler公式做等距分割，利用数值微分代替导数项，建立差分方程。1、向前差商公式所以，可以构造差分方程称为局部截断误差。显然，这个误差在逐步计算过程中会传播，积累。因此还要估计这种积累null记为2、收敛性考察局部误差的传播和积累nullnull称为整体截断误差是1阶方法null3、稳定性－误差在以后各步的计算中不会无限制扩大。见8.5节的分析null4、向后差商公式是隐 格式 pdf格式笔记格式下载页码格式下载公文格式下载简报格式下载 ，要迭代求解null5、中心差商公式是多步，2阶格式，该格式不稳定6、梯形法－基于数值积分的公式对微分方程做积分，则：null类似，可以算出其误差估计式：2阶的方法所以，有格式为：是个隐式的方法，要用迭代法求解局部截断误差null由Taylor展开记为所以，可以构造格式这种格式使用到了各阶偏导数，使用不便。如何得到高精度的格式？null从另一个角度看，取(x,y)及其附近的点做线性组合，表示F，问题就好办了。当然，要求此时的展开精度相同。这种方法称为Runge－Kutta法，基本公式为8.2 Runge－Kutta法null在(xn,yn)处展开，比较以2阶为例，设null有：1、改进的Euler公式2、Heun公式null一般的Runge－Kutta法构造常见的为3阶，4阶公式null 最常用为四级4阶经典龙格-库塔法 ：null8.3 线性多步法其通式可写为：当 10 时，为隐式公式; 1=0 则为显式公式。一步法只用到了前一步的近似值yn，在提高精度时要增加中间函数值的计算，加大了计算量；多步法试图减小计算量而达到一定的精度。null 基于数值积分的构造法将 在 上积分，得到只要近似地算出右边的积分 ，则可通过 近似y(xn+1) 。而选用不同近似式 Ik，可得到不同的计算公式。null若积分用节点作为积分点，则有积分系数这是显格式，q+1阶r+1步格式。r=max{p,q}若以xn+1, xn+1,…, xn-q+1 为积分节点，可以构造q+1阶r+1步隐格式局部截断误差null例：建立p=1,q=2的显格式p=1，q=2，显格式，积分区间为积分节点为所以null例：建立p=2,q=2的隐格式p=2，q=2，隐格式，积分区间为积分节点为所以null通常隐格式的截断误差较显格式小，也具有更好的稳定性。 Adams公式 －－ p=0 时候的多步法p=0，积分区间为 四阶显格式，q=3，积分节点为由于积分区间为[xn,xn+1]，而积分插值多项式是在区间 [xn-3,xn]作的，因此又被称为Adams外插公式nullnull4阶Adams外插公式nullp=0，积分区间为 四阶隐格式，q=3，积分节点为由于积分区间为[xn,xn+1]，而积分插值多项式是在区间 [xn-2,xn+1]作的，因此又被称为Adams内插公式用内插公式需要迭代，通常用外插公式计算初值，然后用内插公式迭代计算。null§8.4 方程组和高阶方程的数值解法写成向量的形式：m个未知函数， m个初始条件null各种方法都可以直接运用过来。Euler公式以两个方程的方程组为例nullRunge-Kutta公式nullnull2、确定方法，然后求解（0.20276 0.0881157） （0.213007 0.0934037） （0.223763 0.0988499） （0.235052 0.104437） （0.246902 0.110146）4阶Runge-Kutta法，h=1例题null高阶方程null则有：令null 1.0000 2.0000 4.0000 8.0000 1.6000101 3.2000101 1.0000 2.5000101 6.2500102 1.5625102 3.9063103 9.76561041.0000 2.5000 6.2500 1.5626101 3.9063101 9.76561011.0000 4.9787102 2.4788103 1.2341104 6.1442106 3.0590107出了什么问题 ??!null§8.5 差分方程的绝对稳定性对于一般的差分方程由初始误差产生了差分解的误差，实际上是同一差分方程，取不同初值所得到的2组差分解之间的差。这个差不仅于差分方程本身有关，而且与微分方程本身有关。如果微分方程本身是不稳定，那就没理由要求这2组解充分接近。因此，差分方程的稳定性概念是建立在微分方程稳定的基础上的。考虑最简单的模型：只有初值产生误差，看看这个误差的传播。null把这个典型微分方程规定为：差分方程运用到如上的微分方程后，可以得到对于给定的初始误差，误差方程具有一样的形式null定义：用一个数值方法，求解微分方程时，对给定步长h>0，在计算yn时引入误差en。若这个误差在计算后面的yn+k(k=1,2,…)中所引起的误差按绝对值均不增加，就说这个数值方法对于步长h和复数是绝对稳定的。 为保证方法的绝对稳定性，h和的都要受到一定限制，他们的允许范围，称为该方法的绝对稳定区域。例：Euler公式的稳定性误差方程：null可见绝对稳定区域为：注：一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式法的好。绝对稳定区域越大，方法的适应性就越强，h也不会要求太小，若绝对稳定区域包含h -复平面的整个左半平面，我们就称这个数值方法是A-稳定的。null3阶Runge-Kutta显式 1~ 4 阶方法的绝对稳定区域为Lab07 常微分方程Lab07 常微分方程3.用如上程序求常微分方程分别取步长h=0.1,0.1/2,0.1/4,0.1/8计算y(1.5)，并与精确解比较1.经典4阶Runge-Kutta方法解常微分方程的通用程序2.Adams隐式3阶方法解常微分方程的通用程序(由1提供初值)4.简单分析数据误差与h4的关系