模糊线性回归预测

第 34 卷 　第 9 期 　2000 年 9 月 　　　 　　　　西 　安 　交 　通 　大 　学 　学 　报 JOURNAL OF XI′AN J IAO TON G UN IV ERSIT Y 　　　　 　Vol. 34 　№9 　　Sep . 2000 文章编号 :0253 - 987X(2000) 09Ο0100Ο03 模糊线性回归预测 吴　冲 , 潘启树 , 李汉铃 (哈尔滨工业大学 , 150001 , 哈尔滨) 摘要 : 为了解决带有模糊信息的动态预测问题 ,在已有的线性回归预测法的基础上 ,提出了模糊线 性回归预测的模型. 模型的确定在于模糊系数的确定 ,模糊系数为对称三角模糊数 ,为此给出了描 述对称三角模糊数近似程度的拟合度的定义及其 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式. 借助于对称三角模糊数以截集表示的一 对函数 ,给出了对称模糊的模糊度的定义及其表达式 ,给出了确定模糊系数的准则 :对于事先指定 的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 拟合度 ,要求在每个方程估计值的拟合度都不小于标准拟合度的约束条件下 ,使得模糊系数 的综合模糊度达到最小 ,于是模糊系数的确定问题可转化为求解线性规划问题. 实例表明 :该模型 具有很高的精度. 关键词 : 对称三角模糊数 ;模糊线性回归 ;模糊预测 中图分类号 : C81 ;O159 　文献标识码 : A Fuzzy Linear Regression Prediction W u Chong , Pan Qishu , L i Hanli ng ( Harbin Institute of Technology ,Harbin 150001 ,China) Abstract : The dynamic prediction problem with fuzzy information is solved by using the linear regres2 sion prediction method. This involves the determination of fuzzy coefficients which are symmetric t ri2 angular fuzzy numbers and the definition of fitness. Expressions are given to describe the closeness of the estimated value and observed value of the equation for two symmetric t riangular fuzzy numbers. The solution is expressed in term of a pair of functions expressed in cutset for symmetric t riangular fuzzy numbers. More specifically , fuzzy coefficients are minimized under the rest rictive condition that the fitness of the estimated value of each equation is not less than the predesignated fitness , while de2 termination of fuzzy coefficients is reduced to solving a linear planning problem. Examples show that the model can yield results with very high accuracy. Keywords : sym met ric t riangular f uz zy num bers ; f uz zy li near regression ; f uz zy prediction 　　在模糊线性回归模型 Y 3i = ∑n j = 1 A j x ij 　( i = 1 , 2 , ⋯, m ) 中 , 要利用给定的一组输入与输出 , 来确 定模糊系数 A j ( j = 1 ,2 , ⋯, n) . 本文首先对输出数 据进行模糊化 ,使对应 y i 的模糊输出 Y i 为对称三角 模糊数 Y i ( y i , ci) ( i = 1 ,2 , ⋯, m ) , ci 依据实际问 收稿日期 : 2000Ο01Ο04. 　作者简介 : 吴 　冲 ,男 ,1971 年 1 月生 ,讲师 ,博士后 ; 潘启树 (联系人) ,男 ,哈尔滨工业大学管 理学院 ,教授. 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 (7970021) . © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 题而定. 因为 A j ( j = 1 , 2 , ⋯, n ) 为对称模糊数 A j ( aj , ej) ,故模型的确定在于参数 a1 , a2 , ⋯, an 及 e1 , e2 , ⋯, en 的确定. 为了确定参数 ,引进了拟合度 和模糊度的概念. 1 　对称三角模糊数拟合度和模糊度 定义 1[1 ] 　记 F( R) 为 R 上的全体模糊集 ,设 M ∈ F( R) ,如果 M 的隶属函数μM , R →[0 ,1 ]表示为 　μM ( x ) = 1 - | x - a | c 　　| x - a | ≤ c 0 　　　　　　　　　　其他 称 M 为对称三角模糊数 ,记为 M ( a , c) . 定义 2[2 ] 　设 M 为一对称三角模糊数 ,并且λ∈ [0 ,1 ] , M 的λ截集被一对函数 L M (·) 、RM (·) 所表 示 ,这里 L M (λ) = inf{ x | x ∈Mλ} 　　　当λ∈[0 ,1 ]时 inf{ x | x ∈supp ( M ) } 　当λ= 0 时 RM (λ) = sup{ x | x ∈Mλ} 　　　当λ∈[0 ,1 ]时 sup{ x | x ∈supp ( M ) } 当λ= 0 时 定义 3 　我们称一增函数 S : [0 , 1 ] →[0 , 1 ]为限制 函数 ,它满足 S (0) = 0、S (1) = 1 . 定义 4 　设 M 为一个具有λ截集表示 ( L M (λ) , RM (λ) )的对称三角模糊数 , S 为限制函数 , M 的模 糊度为 　S M =∫10 S (λ) [ RM (λ) - L M (λ) ]dλ 限制函数 S 表示 :对于不同的λ水平 ,其对模 糊度的作用是不同的. 通常我们可取 S (λ) =λm , m 为自然数 ,在本文中我们取 S (λ) =λ. 定理 1 　设 M ( a , c) 为对称三角模糊数 , S (λ) =λ, 则 S M = (1/ 3) c. 证明 　由对称三角模糊数、L M 和 RM 的定义可得 RM (λ) = a + (1 - λ) c , L M (λ) = a - (1 - λ) c 从而 S M =∫10λ[ ( a + (1 - λ) c) - ( a - (1 - λ) c) ]dλ = ∫10λ2 c (1 - λ) dλ =∫ 1 0 (2 cλ - 2 cλ2) dλ = 　　∫102 cλdλ - ∫ 1 0 2 cλ2dλ = c - (2/ 3) c = (1/ 3) c 推论 1 　 Y 3i ( ∑n j = 1 x ijaj , ∑ n j = 1 | x ij | ej) 的模糊度为 1 3 ∑ n j = 1 | x ij | ej 　( i = 1 ,2 , ⋯, m ) . 定义 5 　A 、B 是 R 上 的 2 个 模 糊 集 , 令 h = ∨ x ∈R (μA ( x ) ∧μB ( x ) ) ,称 h 为 A 对 B 的拟合度. 定理 2 　设 2 个对称三角模糊数分别为 A 1 ( a1 , c1) 和 A 2 ( a2 , c2) ,则 　h = 1 - (| a1 - a2 | ) / ( c1 - c2) 证明 　由定理条件知 , A 1 与 A 2 的隶属函数分别为 μA 1 ( x ) = 1 - (| x - a1 | ) / c1 　a1 - c1 ≤ x ≤ a1 + c1 0 　　　　　　　　　　　　　其他 μA 2 ( x ) = 1 - (| x - a2 | ) / c2 　a2 - c2 ≤ x ≤ a2 + c2 0 　　　　　　　　　　　　　其他 设 A 1 所对应的隶属函数的三角形的右腰与 A 2 所 对应的隶属函数的三角形的左腰在点 x h 处相交 , 即 　　　　μA 1 ( x ) = μA 2 ( x ) 即有 　　(| x h - a| ) / c1 = (| x h - a2 | ) / c2 (1) 因为 a1 < x h < a2 ,则式 (1) 可写成 　　　　　( x h - a1) / c1 = ( a2 - x h) / c2 或 　　　　x h = ( c1 a2 + c2 a1) / ( c1 + c2) 将其代入函数μA 2 ( x ) 中 ,得到拟合度 　h = 1 - (| x h - a2 | ) / c2 = 　　1 - (| ( c1 a2 + c2 a1) / ( c1 + c2) - a2 | ) / c2 = 　　1 - (| a1 - a2 | ) / ( c1 + c2) 推论 2 　模糊线性回归观测值 Y i ( y i , ci ) 对模糊线 性回归估计值 Y 3i ( ∑n j = 1 x ijaj , ∑ n j = 1 | x ij | ej) 的拟合度 hi 为 　hi = 1 - | y i - ∑ n j = 1 x ijaj | / ( ∑ n j = 1 | x ij | ej + cj) 2 　模糊线性回归模型的确定 对于给定的观测值 Y i ( y i , ci ) ,当 Y 3i 的中心 位置 ∑ n j = 1 x ijaj 固定时 ,模糊度 S Y 3i 越大 ,拟合度 hi 也越大. 因此 ,最佳的模糊线性回归估计还应该使全 体模糊系数 ( A 1 , A 2 , ⋯, A n) 的综合模糊度能达到 最小. 取 S = ∑ n j = 1 W jS j , 表示模糊系数的综合模糊 101第 9 期　　　　　　　　　　　　　　　　　　　吴　冲 ,等 :模糊线性回归预测 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 度 ,其中 W j = ∑ n i = 1 | x ij | ( j = 1 ,2 , ⋯, n) . 对于事 先指定的标准拟合度 h0 ,要求在每个 hi ( i = 1 ,2 , ⋯, m ) 都不小于 h0 的约束条件下 ,使得模糊系数的 综合模糊度 S 达到最小 ,即表示为如下的线性规划 问题 　 min S s ·t 　hi ≥ h0 　( i = 1 ,2 , ⋯, m) 由 hi ≥h0 　( i = 1 ,2 , ⋯, m) ,可得 ∑ n j = 1 x ijaj + (1 - h0) ∑ n j = 1 | x ij | ej ≥ yi - (1 - h0) ci ∑ n j = 1 x ijaj - (1 - h0) ∑ m j = 1 | x ij | ej ≤ yi + (1 - h0) ci 　i = 1 ,2 , ⋯, m 　 上述线性规划问题又可转化为 : 目标函数 　S = ∑ n j = 1 W j ·S j 约束条件 ∑ n j = 1 x ijaj + (1 - h0) ∑ n j = 1 | x ij | ej ≥ yi - (1 - h0) ci ∑ n j = 1 x ijaj - (1 - h0) ∑ n j = 1 | x ij | ej ≤ yi + (1 - h0) ci 　　ej > 0 ; j = 1 ,2 , ⋯, n ; i = 1 ,2 , ⋯, m 3 　结　论 本文通过给出对称三角模糊数的模糊度和拟合 度的定义及其表达式 ,建立了模糊线性回归预测模 型. 利用该模型对某地区电视机的销售量进行的预 测表明 ,该模型具有很高的精度 ,为解决带有模糊信 息的动态预测问题提供了崭新的途径. 参考文献 : [1 ] 　吴今培. 基于可能性理论的设备故障诊断 [J ] . 模糊系 统与数学 ,1999 ,13 (2) :25～32. [2 ] 　Delgado M , Vila M A , Voxman W. On a canonical rep2 resentation of fuzzy numbers[J ] . Fuzzy Sets and Systems , 1998 ,93 (1) :125～135. (编辑 　赵大良) [文摘预登 ] 应用连续小波变换提取机械故障的特征 刘 　刚 , 屈梁生 (西安交通大学 , 710049 , 西安) 针对机械信号的特征和小波变换的特点 ,论证了机械信号的连续小波可分解特性 ,提出了信号的时间Ο 小波能量谱和尺度Ο小波能量谱的概念. 同时 ,利用信号经连续 Morlet 小波变换后在时间Ο尺度域内的不同能 量分布特性 ,依据信号的尺度Ο小波能量谱分布特性 ,对螺杆泵减速器和滚动轴承这两类不同机械的信号进 行了特征提取. 结果表明 ,应用机械信号的尺度Ο小波能量谱进行特征提取更好地利用了小波变换的恒 Q 带 通滤波器的性质 ,可以获得更好的信号特征以应用于机械故障诊断. 201 西　安　交　通　大　学　学　报　　　　　　　　　　　　　　　　　　第 34 卷 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net