代数学史话

49　　　 代 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 史话 王文省 　房元霞 (山东聊城大学数学科学学院 　252059) 　　法国数学家庞加莱 ( Poincare) 说过 :“若欲预见 数学的将来 ,正确的方法是研究它的历史和现状.” “代数是数学中发生的许多新的思想和概念的 摇篮 ,它显著地丰富并发展了数学的许多部门 , 这 些部门已成为物理与技术科学的共同基础. ”可见 , 认真研究代数学的发展具有重要意义. 拂尘展卷 , 追溯代数学的发展进程 , 可分为三个阶段 :初等代 数、高等代数和抽象代数. 1 　初等代数 初等代数是代数学的古典部分 ,它是随着生产 和生活实践中解方程和方程组的需要而产生、发展 的 ,历史悠久 ,大体也可分为三个阶段. 第一阶段 ,称 为文字叙述代数 ,即对问题的解 ,不用缩写和符号 , 而是写成一篇论说文 ;第二阶段 ,称为简化代数 ,即 对某些较常出现的量和运算采用了缩写的方法 ;第 三阶段 ,称为符号代数 ,即对问题的解 ,多半 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 现为 由符号组成的数学速记 ,这些符号与其所表现的内 容没有什么明显的联系. 丢番图 (Diophantos) 之前的 所有代数 ,都是文字叙述代数. 丢番图的杰出贡献之 一是对希腊代数学的简化. 当初的文字叙述代数 ,除 印度之外 ,世界其它地方普遍延续了好几百年. 尤其 在西欧一直到十五世纪. 符号代数在西欧十六世纪 才第一次出现 ,到十七世纪还没有普及. 可见 ,初等 代数符号化的内容才有近四百年的历史. 古代巴比 伦、埃及、希腊、印度、中国、阿拉伯以及文艺复兴时 期的意大利等欧洲国家的数学家 ,对古典代数的发 展都作出了重要贡献. 经考察 ,在巴比伦的泥板中已有二次方程的记 录 ,公元前十八世纪巴比伦人就讨论过二次方程. 大约在公元前 2000 年 ,巴比伦算术已经演化成为一 种高度发展的用文字叙述的代数学. 公元一世纪 ,我国《九章算术》利用“盈不足”的 方法研究方程的解法. 公元三世纪 , 中国数学家赵 爽给出了一元二次方程一个根的公式 ;杨辉使用求 根公式对二次方程求根. 大约公元 625 年王孝通在 其著作中写有中国数学第一个比《九章算术》中 x3 = a复杂的三次方程 ;公元 724 年 ,唐朝数学家张遂 利用求根公式对二次方程求解. 可见 , 中国人发现 二次方程根与系数的关系以及求根公式的运用比 法国数学家韦达 ( Vieda) 获得二次求根公式要早 1000 年. 所以 ,英国剑桥大学李约瑟教授在《中国科 学技术史》一 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 中称誉 :“自远古以来 ,中国人在数 学工作中一贯具有算术和代数的头脑. ” 古埃及人很早就会解一次方程. 古印度人也曾 用“反求法”和“假定法”求一次方程的根和解一元 一次方程. 九世纪 ,阿拉伯数学家花拉子密 ( Khowarzimi) 建立了一元二次方程的一般求根公式. 花拉子密生 于波斯的花拉子模 ,卒于巴格达 ,有名著《移项与整 理同类项》即《代数学》. 花拉子密的著作基本建立 了解方程的方法. 从此 , 方程的解法作为代数的基 本特征 ,被长期保留下来. 所以 ,人们认为“代数”这 一学科名称 ,来源于花拉子密. 古希腊的阿基米德 ( Archimedes) 研究过一元 三次方程的解法. 他是有史以来三位 (另外还有牛 顿、高斯) 最伟大的数学家之一 ,此三人中 ,以业绩 或影响当代、后代的深邃和久远来比 , 首推阿基米 德. 作为数学、力学家 , 其工作技巧之精彩 , 论证之 严格 ,令人叫绝. 所以 ,克莱因 ( Klein) 评价道 :“他的 严格性比牛顿与莱布尼茨著作中高明得多. ”莱布 尼茨 (Leibniz) 则说 :“了解阿基米德和阿波罗尼奥 斯的人 ,对后代杰出人物就不那么钦佩了. ” 1515 年 ,意大利数学教授费罗 ( Ferro) 发现了 三次方程的代数解法. 当时被称之为人类智慧的高 山东省精品课程经费资助 ,聊城大学科研经费资助 2007 年　第 46 卷　第 12 期　　　　　　　 数学通报 50　　　 超成就. 意大利数学家卡尔达诺 (cardan) 提出三次方程 有三个根 ,四次方程有四个根 ,但他未给出证明. 卡 尔达诺 ,医学出身 ,人称怪杰 ,多才多艺 ,才华过人. 他被誉为 1 6 世纪文艺复兴时期人文主义的代表人 物和百科全书式的学者 ,一生写有各种类型的论著 200 多种 ,内容涉及力学、机械学、天文学、化学、生 物学、密码术及占星术. 卡尔达诺的家仆费拉里 ( Ferrari) ,后因聪明伶 俐 ,不断学习 ,成为卡尔达诺的助手. 他于 1540 年 , 解决了求四次方程根的问题. 1557 年 ,英国的雷科 德 ( Recorde) 出版了具有历史意义的代数学《智力 的磨石》,首次使用了我们现代的等号. 1615 年 ,被西方数学史称为代数学之父的数学 家韦达 ( Vieda) 的著作《论方程的整理与修正》出 版 ,该书给出著名的韦达定理. 但他未给出严格证 明. 同一时期牛顿与卡尔达诺也得出过这些结果. 1799 年高斯得出代数基本定理之后又给出了韦达 定理的证明. 韦达 , 法国数学家 , 法律系毕业 , 作过 律师和议员 , 业余自修数学 , 他一生把大部分闲暇 时间贡献给了数学 ,成为杰出数学家. 十八世纪六十年代 ,第一本完整的初等代数著 作 ,欧拉 ( Euler) 的《代数学引论》出版 ,是对初等代 数发展的总结 , 也标志着初等代数历史的基本结 束. 欧拉是历史上成果最多的数学家 , 一生著述甚 丰 ,仅生前发表的论文就达 560 余种. 他是复变函数 论的先驱 ,与哥德巴赫在通信中提出了今日所谓的 哥德巴赫猜想. 在众多学科 , 如概率论、微分几何、 微积分、微分方程、图论、拓扑学、天文力学、物理 学、建筑学、弹道学、哲学、音乐、神学等领域中作出 了贡献. 他还因为解决了哥尼斯堡七桥问题开创了 图论 ,被称为图论之父. 2 　高等代数 韦达是用字母代表未知数的首创者. 丢番图为 代数的符号化作出了重要贡献. 在丢番图之前 , 代 数学还是口头上的东西. 一则收入《希腊诗文选》的 墓志铭道出他的经历 :丢番图的一生 , 幼年占 1/ 6 , 青少年占 1/ 12 ,又过了 1/ 7 才结婚 ,五年后生子 ,子 先父 4 年而卒 ,寿为其父之半. 由此推知他终年 84 岁. 代数符号的逐渐形成和成熟 , 为建立代数方程 论开辟了道路 , 人们开始摆脱了对具体的、特殊的 方程的考察 ,而集中精力于方程和方程组的一般理 论上 ,这就构成了以方程论为主要内容包括行列式 与矩阵、二次型、线性空间与线性变换以及多项式 理论的高等代数. 高等代数的内容主要包括两大部分 :多项式代 数和线性代数. 由于多项式理论是以代数方程根的 计算和分布作为中心的 , 所以也叫做方程式论. 而 方程式论主要包括 :高次方程根的可解性、方程根 的存在性以及对具体方程的求解方法三部分内容. 2 . 1 　多项式代数 (方程式论) 2 . 1 . 1 　高次方程的可解性 1540 年费拉里获得四次方程的根式解后 ,数学 家一直致力于五次和五次以上方程的根式解法 ,然 而 200 多年毫无进展. 1770 年、1771 年拉格朗日 (Lagrange) 和范德蒙 (Vandermonde) 提出四次以上 一般方程不可能有根式解的论述 ,引进了对称多项 式理论、置换理论和预解式概念 , 并指出根的排列 理论是“整个问题的真谛”. 这种观点后来被伽罗瓦 所吸收 ,为获得置换群的思想创造了条件. 拉格朗 日 ,法国数学家、力学家、天文学家. 他的关于代数 方程解法的思考 ,蕴涵着群论思想的萌芽. 意大利的鲁菲尼 ( Ruffini) 试图证明四次以上 的方程不可能用根式解 , 得到一个定理 :如果一个 方程能用根式解出 ,则其中的根式是已知方程的根 和单位根的有理系数的有理函数. 但他没有给出证 明. 挪威数学家阿贝尔 ( Abel) 证明了这个定理. 阿 贝尔的工作指出 :高于四次的代数方程根式解一般 而言是不存在的 ,但一些特殊的高次方程如阿贝尔 方程可以有根式解. 阿贝尔是数学史上罕见的才 子 ,他见解卓著 ,英年早逝 ,亡年 27 岁数学家厄米特 ( Hermite) 对其评价说 :“他丰富的思想可以使数学 家忙碌 500 年. ”1824 年 ,22 岁的阿贝尔证明了次数 大于四的一般代数方程不可能用根式解. 但方程能 用根式解出的充要条件是什么呢 ? 伽罗瓦 ( Galois) 利用群的观点彻底解决了此问 题. 其思想是 :每个方程都相应地有一个根的置换 群 ,方程有根式解的充要条件是 :该群是可解群. 这 样 ,任意高次方程根式解法的问题得到彻底、圆满 的解决. 伽罗瓦关于方程代数解法的研究 , 不仅回 答了代数方程可解性的充要条件 ,解决了方程论中 的核心课题. 而且 , 他还引进了群、域等概念 , 这些 概念具有巨大的应用价值和潜在的理论意义 ,成为 数学通报 2007 年　第 46 卷　第 12 期 51　　　 更广泛的代数理论的基础 , 使代数学获得新生. 从 此 ,它不仅使代数学在对象、内容和方法上都发生 了深刻变革 , 而且它还推动了量子力学的发展. 伽 罗瓦 ,法国数学家 ,幼时受到良好的家庭教育 ,颇具 数学才能. 1832 年 5 月 ,由于政治和爱情的纠葛 ,死 于一场决斗 ,年方 21 岁. 2 . 1 . 2 　方程根的存在性 (代数基本定理) 方程根的存在性定理也称为代数基本定理 , 即 :“每一个实系数或复系数方程 ,至少有一个实根 或复根”或“n次实系数或复系数方程在复数域内有 n个根”. 此问题是方程式理论严密化的标志 ,也是 理论发展的必然结果. 早在十六、十七世纪 ,对方程 根的个数与方程次数的关系就有不少猜测. 1629 年 法国 ———荷兰数学家吉拉尔 ( Girad) 就在《代数新 发现》一书中推测 n次代数方程有 n 个根. 虽然未给 出证明 ,但是人们仍然把代数基本定理的发现归功 于他. 对方程根的存在性问题的普遍关心是在十八 世纪. 1742 年欧拉指出 :“任何实系数多项式都能分 解成一次或二次因式的乘积”,还指出 ,之所以不能 都分解成一次因式 , 是因为复根共轭成对. 达朗贝 尔 (Dalembert) 、欧拉、拉格朗日分别在 1746 年、 1749 年、1772 年都对代数基本定理作了不完全证 明. 1799 年 22 岁的法国数学家高斯 ( Gauss) 在他 的博士论文中第一个给这个定理较完整的证明 ,该 证明成为方程理论的基石. 而且还附带证明了 :任 一 n次实系数多项式必能分解成一次或二次实系数 因式的乘积. 从而开创了数学中证明存在性的新途 径 ,是对数学证明的创新. 在以后的 1814 —1815 年、 1816 年和 1848 —1850 年又分别给出了代数基本定 理的另外三个证明. 复数这一新工具的出现 , 解决 了代数基本问题. 人们最初是考虑最一般的方程 , 后来把问题简化、特殊化为代数方程 ,化为多项式 , 从而与因式分解联系起来. 后来 ,在达朗贝尔、欧拉和高斯的几个关于代 数基本定理的证明中 ,均以不同方式引进了直觉的 连续性观念 , 高斯获得了成功. 实践证明用纯代数 学的方法已无能为力 , 只能借助分析学的方法. 正 是因为代数基本定理的证明中含有与代数无关的 方法 ,所以使这个定理能够适应于更广的范围. 由 此也可以看出 ,多项式不过是整函数的特例. 于是 , 作为多项式的直接推广的整函数和幂级数即无穷 级数 ,成为复变函数的基础 , 使十九世纪的数学理 论产生了重大突破和发展. 高斯是数学史上罕见的 神童 ,被数学界誉为“数学王子”. 他为人严肃沉稳、 简朴认真 , 文章著作精炼凝重. 他在科学的王国处 处流芳 :在 3 A (算术 Arithmatic ,代数 Algebra 和分 析 Analysis) 领域做出了巨大的贡献 ,对复变函数、 超几何级数、椭圆函数、统计数学、位势论、天文学、 电磁学、光学等方面均有出色成果 , 他还是发明非 欧几何的第一人. 别人称他为天才 , 他说 :“你和我 一样深入持续地思考数学真理 ,也会作出同样的发 现. ”克莱因说 :“如果我们把十八世纪以前的数学 家想象成一系列高山峻岭 ,那么一个使人肃然起敬 的巅峰便是高斯. ” 2 . 1 . 3 　具体方程的求解方法 不解出方程 , 而按它的系数来反映根的性质 , 主要包括三个方面的问题 : (1) 确定实根的个数 ; (2) 有多少正根、负根 ; (3) 指出根所在的范围 ,或指 出给定范围内方程有多少个实数根. 1637 年笛卡儿 (Descartes) 提出著名的“笛卡儿 符号法则”:实系数方程 f ( x) = 0 的正根的最多个 数等于系数变号的次数 ,而负根的最多个数等于系 数中两个“+”号和两个“- ”号连续出现的次数. 但 笛卡尔的法则没有确切地指出正根和负根的个数 , 这是因为方程中还有复数根存在. 笛卡儿 ,法国哲学家、数学家、自然科学家. 他 不仅是解析几何的创始人 ,而且是近代西方哲学的 奠基人之一. 其数学思想和数学方法洋溢着深刻的 哲学气息和形而上学的思辩性. 笛卡儿的解析几何 彻底改变了数学的研究方法. 除创建解析几何外 , 笛卡儿还给出多项式正负根个数和待定系数法等 重要的数学方法. 他的数学格言是 :“一切问题可以 化成数学问题 , 一切数学问题可以化成代数问题 , 一切代数问题可以化成方程求解的问题. ”笛卡儿 自幼聪敏 ,好奇心强 , 禀赋内向 , 一生办事谨慎 , 与 世无争 ,但终因其科学结论与教义相违而招致教会 的迫害. 笛卡儿因其数学和哲学成就之大 , 而深受 世界各国人民的怀念和尊崇. 他的墓碑上刻有 :“笛 卡儿 ,欧洲文艺复兴以来 , 为人类争取并保证理性 权利的第一人”字样. 牛顿 ( Newton) 1707 年给出了判别正负根个数 的法则 ,效果虽比笛卡尔法则好 , 但不如笛卡尔法 则简捷. 然而 , 他们都是仅仅提出了法则 , 没有证 2007 年　第 46 卷　第 12 期　　　　　　　 数学通报 52　　　 明. 牛顿 ,英国大物理学家、数学家. 出身农民 ,爱好 实验 ,在科学研究中废寝忘食 , 超常勤奋 , 超凡脱 俗 ,不修边幅 ,不求享受 ,献身科学 ,终身未娶. 牛顿 因为微积分方面的成就获得一片欢呼和歌颂. 他的 《自然哲学的数学原理》被爱因斯坦赞誉为“无比辉 煌的演绎成就. ”他以微积分为工具 ,严格证明了行 星三大运动定律、万有引力定律等极端重大的自然 科学定律 ,还把微积分应用于流体力学、声学、光学 等. 面对赞扬 , 牛顿更显现出高尚的科学品格和伟 大的谦虚人品. 除了顽强的毅力和失眠的习惯 , 牛 顿不承认自己与常人有什么区别. 他说 :“我不在乎 世间把我看成什么样的人 , 但是 , 我说我自己就象 一个在海边玩耍的孩子 ,有时拾到一块比较平滑的 卵石或格外漂亮的贝壳 , 自然感到高兴 , 但在我面 前则是完全没有被发现的真理的大海. ”“如果我比 别人看得更远些 , 那只是因为我站在巨人的肩膀 上. ” 高斯则给出了笛卡尔法则的完整证明. 他指 出 ,对实系数方程 ,如果它的一切根都是实的 ,那么 正根个数 (包括重根数) 就等于它的系数序列的变 号的次数 ;如果它有复根 ,那么 ,正根数就等于这个 变号数或比这个变号数少某一个偶数. 高斯回答了 正、负根的个数问题 , 但一个实系数多项式是否有 实根、总共有几个实根、在给定范围内有几个根等 等这些重大问题仍没有解决. 许多数学家致力于该 问题的研究. 直到 1835 年法国数学家斯图漠 ( Sturm) 提出了“斯图漠定理”,才圆满地提出了解 决这三个问题的综合方法. 至此 , 高等代数方程论 部分基本确立. 2 . 2 　线性代数 线性代数在欧洲是从十七世纪下半叶大致与 微积分同时发展起来的 , 研究线性向量 (线性) 空 间 ,向量空间上线性算子 (线性映射) ,线性、双线性 与二次函数 (泛函与二次型) 的一个代数分支. “线性”一词源于解析几何中平面笛卡儿坐标 系下的一次方程是直线方程 ,后来凡遇一次的均称 为线性的. 历史上线性代数的第一个分支是线性方 程组理论. 与求解线性方程组相关 , 于是产生了行 列式概念. 由线性方程组及其行列式的研究产生了矩阵 的概念 ,矩阵立即被作为一种重要的变换手段 , 与 线性变换下的不变量相结合 , 加以研究 , 产生了线 性代数. 2 . 2 . 1 　行列式理论的发展 行列式起源于解线性方程组的需要. 尽管它只 是一种速记的表达式 , 并未产生新的数学思想 , 但 它毕竟是一种非常有效的数学工具 ,在现代数学中 起着重要的作用. 1678 年莱布尼茨 (Leibniz) 开始对线性方程组 的研究 ,不久 , 关于线性方程组的研究出现了突飞 猛进. 1693 年他用分离系数法引出了行列式的概 念 ,到十八世纪便建立了系统的理论. 莱布尼茨 ,出 身书香门第 , 幼年即显露超常才智. 以独立创立微 积分学而著称. 莱布尼茨是百科全书式的天才 , 在 分析数学和离散数学的各个领域都有举足轻重的 贡献 ,他不仅是伟大的数学家 , 是制造计算机的先 驱 ,还卓有成效地涉猎于哲学、历史、自然科学和工 程技术各领域 , 并慷慨从事慈善事业 , 一生孜孜不 倦 ,勤奋忘我 ,终生未娶. 莱布尼茨是最早关心中国 科学事业的西方朋友. 1750 年 ,瑞士数学家克莱姆 ( Cramer) 给出了用 行列式解线性方程组的方法即后来的克莱姆法则. 1772 年 ,范德蒙首先对行列式进行独立的系统 研究 ,讨论了行列式的展开 , 给出计算行列式的余 子式的方法. 拉普拉斯 (Laplace) 将其结果加以推 广 ,于是有了拉普拉斯关于行列式展开的定理. 1812 年“行列式”一词最早出现在柯西 ( Cauchy) 著作中 ,所以是柯西首先使用了行列式的 概念 ,它采用双足标记法把一个行列式的元素排成 方阵. 1813 年 ,他改进了拉普拉斯行列式展开定理 , 1815 年得到了一般形式的乘法定理 ,还研究了特征 方程和二次型化简为 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 型问题 ,得到了矩阵相似 的概念 ,并证明了相似矩阵有相同的特征多项式. 柯西 ,法国数学家、力学家. 十九世纪数学分析严格 化的先驱 , 他的研究几乎遍及数学的方方面面. 阿 贝尔当时赞叹柯西“是当今懂得应该怎样对待数学 的人. ”柯西死后 ,搜集到他的论文800多篇 ,其数量 之大 ,仅次于欧拉 ,名列世界第二. 柯西生前乐善好 施 ,常常把工资捐助给穷人 ,是个虔诚的慈善家. 英国数学家剑桥大学的西勒维斯特 ( Sylvester) 也是一位对行列式理论有贡献的人. 1840 年他改进 了一个从 n次和一个 m 次方程中消去 x 的方法 ,它 用两个方程的系数形成一个 m + n 阶行列式 ,指出 这两个方程有公共解的充要条件是该行列式为零. 数学通报 2007 年　第 46 卷　第 12 期 53　　　 1825 年他得到了惯性定理 , 第一次指出 , 无论用什 么变换 ,正惯性指数和负惯性指数都不变. 他在研 究二次曲线和曲面的分类问题中 ,引进了初等因子 概念. 1851 年得到了不变因子概念. 他给出了二次 型正定的充要条件 ,推出了加边行列式的西勒维斯 特恒等式. 西勒维斯特的主要贡献在代数学方面. 他创造了许多数学名词 ,代数中的常用术语如不变 式、判别式、雅可比行列式等. 他是《美国数学杂志》 的创始人 ,为发展美国数学研究作出了贡献. 德国数学家雅可比 (J acobi) 1841 年的著名论文 《论行列式的形成与性质》标志着行列式系统理论 的建成. 他引入函数行列式概念 , 给出函数行列式 的求导公式. 在此之前 , 还曾把行列式理论应用于 重积分的变量代换. 也曾给出函数行列式的乘积定 理. 1851 年他重新发现并证明了惯性定理. 在行列 式的形成与发展中作出重大贡献的还有裴蜀、拉格 朗日、高斯等. 总之 , 十九世纪行列式的发展获得大量新成 果 ,在消元法、坐标变换、多变量的二次型化为标准 型、多重积分变量变换以及解行星运动微分方程等 方面都有新的应用. 与此同时 , 矩阵的理论以及与 之相联系的线性空间、线性变换的理论 , 也蓬蓬勃 勃地发展起来了. 如今行列式已成为现代数学乃至 于现代科学的不可或缺的有力工具. 21212 　矩阵 矩阵概念的出现与线性方程组及其行列式的 研究有关 ,是数学语言的改革 ,数学工具的创新. 矩 阵具有许多独特性质 ,它是抽象数学结构的具体表 现 ,在数学中有广泛的应用 , 与行列式相比占有更 重要的地位. 一个行列式联系着一个数字方阵. 1801 年高斯 首先写出现代矩阵的表示法. 1850 年西勒维斯特首 先使用矩阵这一术语 , 他指的是矩形数字阵列. 1855 年凯莱 ( Cayley) 用矩阵的概念来解线性方程 组. 1861 年史密斯 ( Smith) 在讨论 n 个未知数 m 个 方程的求解问题时 ,在还没有矩阵概念的情况下使 用了增广矩阵和非增广矩阵的术语. 证明了 n 个未 知数 m 个方程的方程组相容的充分必要条件是其 增广矩阵与非增广矩阵的秩相等. 德国数学家爱森 斯坦 ( Eisenstein) 进一步研究了矩阵的理论. 英国数学家凯莱的出色工作 ,一般认为他是矩 阵论的创立者. 1841 年凯莱首先利用两条竖线夹着 一个数字方阵来表示行列式. 他把矩阵作为一个独 立的概念 , 建立了系统的理论. 他是在研究线性变 换下的不变问题为简化记号而引入矩阵概念的. 1858 年 ,他在《矩阵论的研究报告》中 ,系统地阐述 了矩阵的理论 ,给出了矩阵相等、代数和的定义 ,指 出矩阵加法的可交换性和可结合性 , 定义了零矩 阵、单位矩阵、数乘矩阵和矩阵的乘法以及逆矩阵、 转置矩阵、对称矩阵等. 他把特征方程的概念从行 列式理论推广到矩阵论 ,发明了著名而漂亮的凯莱 ———哈密顿定理 :任一方阵都是其特征方程的根. 即任何方阵都满足它的特征方程. 从而成为矩阵理 论的先驱. 凯菜 , 人格气质文雅 , 安详公正 , 记忆力 非凡 ,论述精确简洁 ,被称为“数学家的数学家 ,”一 生发表了近 1000 篇论文 ,其中一些影响极其深远. 在纯数学中 ,几乎没有一个领域未被凯莱的天才涉 及和丰富. 十九世纪初出现了应用初等变换解方程组的 著名高斯消元法. 中国这方面的历史可追溯到东汉 初年 (公元一世纪) 成书的《九章算术》,其中的方程 术就是今天的消元法 , 它比欧洲早 1500 ———1800 年. 我国元代数学家朱世杰在 1303 年刊行的 ( (四元 玉鉴》中也运用了矩阵. 德国数学家弗罗贝尼乌斯( Frobenius) 1877 年 , 引进了矩阵的秩这一重要概念 ,使得用方程组的系 数明显地表达线性方程组的相容性与确定性条件 成为可能. 他又提出了寻找矩阵最小多项式的问 题 ,提出了最小多项式的概念 ,并指出是唯一的 ,但 未予证明. 这个定理直到二十世纪才得以证明. 他 还把不变因子、初等因子等概念引进矩阵论 , 并给 出凯莱 ———哈密顿定理的第一个证明. 他又给出了 正交矩阵的定义 ,在相似矩阵等方面也作过有价值 的工作. 十九世纪五十、六十年代 , 证明了复数矩阵中 埃尔米特 ( Hermite) 矩阵的特征根都是实数 , 以及 实对称矩阵及其有关二次型的结果 ,引入了相似矩 阵的概念. 法国数学家约当 (Jordan) 用相似矩阵和特征方 程的概念解决了将矩阵化为标准形的问题 ,1870 年 他证明了对于任一矩阵 A ,均可以找到非退化矩阵 T ,使得 T - 1 A T 为约当标准形 , 即任一矩阵都相似 于一个约当形矩阵. 约当 ,在分析学、代数拓扑学和 集合论等方面都有重要贡献. 他培养了不少优秀学 生 ,其中最著名的有 C. F. 克莱因和 S. 李等. (下转第 57 页) 2007 年　第 46 卷　第 12 期　　　　　　　 数学通报 57　　　 及时总结经验教训 , 反思确定目标的得与失 , 不断 优化活动目标的 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 ;四要把重点目标放在优先的 地位 ,同时还要关注目标的开放性和生成性 , 在活 动的过程中不断生发出新的更富有价值的目标 ,实 现促进学生发展的总目标. 为了准确地把握与理解目标 , 在教学实践中 , 还应注意以下几个问题 :一是目标用语要通俗 ;二 是要在编写目标时 , 要经常问自己以下几个问题 : 学习完这个活动后学生有什么收获 ?我有什么感受 和收获 ?学生能够做什么 ?学生在知识与技能、过程 与方法、情感态度与价值观方面有什么实质性的变 化 ?学生的学习方式、思维方式、解决问题的角度有 什么变化 ?经常向自己提这样的问题才能使确定的 目标有针对性和实效性 ; 三是要时刻考虑 , 目标到 底如何定位才恰当 ?是否弄清了目的和目标 , 总体 目标与具体目标的关系是否有一个清晰的界定 ?目 标所给的量能否达到 ?如何对上一次教学活动的目 标进行有益地反思与总结 , 能从中得出什么 ?能给 下一次确定目标什么启示 ?四是要使活动与目标相 协调 ,活动设计要为目标的实现而努力. 经常写反思日记是提高目标意识和目标能力的 一种重要的途径与方法 ,同时进行必要的实时与反馈 调查可以使教学目标越来越完善. 当然和同事一起共 同诊断目标确定的合理与否 ,共同检测目标的达成度 , 审视目标与活动之间的关系处理的如何是提高目标 能力的重要举措 ,因为这样做可以将同事的思想整合 到教学活动中去 ,使得教学活动更有实效. 313 　在评价与总结中感悟目标的重要性 确定教学目标 , 有效地实施教学 , 需要不懈的 探索、执着的追求、积极的行动以及勇气、毅力、汗 水 ,还需要一种不屈不挠的精神 ; 也需要不断积累 经验 ,在磨合中不断升华. 我们确立的目标要经得 起实践的检验与反思 ,要在评价与总结中不断感悟 目标的重要性 ,增进对自身能否利用所拥有的技能 去完成某项目标的自信程度. 要把每一节课作为我 们检测目标的场所 ,作为检测数学教育方方面面的 利器 ,以真诚的态度和为学生发展服务的心态与学 生就相关问题进行平等对话 ,并根据学生的课堂行 为表现与感受对自己的教学行为与思路进行机智 性调整 ,以使教学对话深入持久地进行下去. 目标 是一种需要预设但在适当的时候又要敢于放弃预 设 ,所导引的教学是一种遵循规律但又不局限于规 律的教学 , 是一种关注学生也关注教师的教学. 目 标需要明确 ,但更需要反复思考、评价、总结 , 在感 悟中进行本土化的调适 ,在调适中提高目标意识和 目标能力. 参考文献 1 　数学课程标准研制组编. 全日制义务教育数学课程标准 (实 验稿) 解读[ M ] . 北京 :北京师范大学出版社 ,2002 2 　张奠宙. 数学教育研究导引 [ M ] . 南京 : 江苏教育出版社 , 1994 3 　孙晓天. 实施数学新课程需要关注的几个问题及其思考[J ] . 数学通报 ,2003 ,12 (上接第 53 页) 　　矩阵论的发展异常迅速 ,十九世纪完成了矩阵 论的初等工作 , 开始从有限矩阵转向无限矩阵 , 从 以数为元素的矩阵转向以抽象概念为元素的矩阵. 十九世纪下半叶 ,对行列式与矩阵论的发展作 出重要贡献的还有克隆尼克 ( Kronecker) 、道奇森 (Dodgson) 、阿 达 玛 ( Hadamard) 、 克 莱 伯 施 (Clebsch) 、布克还牧 (Buchheim) 、泰伯 ( Tabei) 、亨 泽尔( Hensel) 、梅茨勒 ( Metzler) 等. 1892年 ,梅茨勒 引进了矩阵的超越函数 , 对 eA 、logA、sinA 以及 sin - 1 A 建立了级数 ,于是矩阵论从矩阵代数走向矩 阵分析. 进入二十世纪以后 , 矩阵论、线性代数及其应 用、线性代数计算方法等又有了长足的发展. 我国 数学家华罗庚为此作出了重要贡献. 目前 , 线性代 数及其应用、矩阵论仍在蓬勃发展之中. 如果在十 八与十九世纪线性代数的主要内容由线性方程组 与行列式理论组成 ,那么在二十世纪占据中心位置 的是向量空问概念以及与其相关联的向量空间上 的线性变换 ,线性、双线性与多重线性函数诸概念. 3 　抽象代数 (略) 参考文献 1 　M. 克莱因. 古今数学思想. 上海 :科学技术出版社 ,1979 ,10 2 　王树禾. 数学思想史. 北京 :国防工业出版社 ,2003 ,4 3 　杜瑞芝等. 简明数学史辞典. 济南 :山东教育出版社 ,1991 4 　吴文俊. 世界著名数学家传记. 北京 :科学出版社 ,1995 5 　李文林. 数学史教程. 北京 :高等教育出版社 ,2000 6 　亚历山大洛夫. 数学 ———它的内容、方法和意义. 北京 :科学 出版社 ,第一卷 1958 . 8 ;第三卷 1962 . 5 2007 年　第 46 卷　第 12 期　　　　　　　 数学通报