逻辑度量空间

第 卷第 期 年 月 数 学 学 报 从 〕 , , 文章编号 一 一 一 文献标识码 逻辑度量空间 王 国俊 陕西师范大学数学研究所 陕西 王 伟 陕西经贸学院计算机中心 陕西 西安 西安 摘 要 取赋值格为 , , 用积分工具引入 了 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 的真度和相似度的概念 , 并从而 在公式集 上建立 了伪距 离 , 为近似推理提供了一种可能的框架 关键词 真度 一 重言式 相似度 逻辑度量空间 准近似推理 主 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 分类 , , 中图分类 , , , 访气 ‘艺二 亡 云 , 二 云 。 二乞 么艺, , 葱’ , ‘。 叭 七 二 二 , 二亡 , 、二乞 二葱 乃 几。亡坛 , ‘’ , 乞、 肠 一 讯 , , 讥 , , , 引言 近年来 , 自然界乃至工程技术领域里的不确定性与模糊性现象越来越引起人们的关注 相 应地 , 处理带有不确定性或模糊性的各种近似推理框架与 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 也纷纷被提出 , 一‘ 在公式之间引入相似度而建立了二值逻辑的一种和谐的近似推理结构 , 其中【 通过 本文则针对连续值命题 收稿 日期 一 一 一 修改 日期 一 一 一 接受 日期 一 一 基金项 目 国家自然科学基金资助项 目 作者简介 王国俊 一 , 男 , 陕西人 , 陕西师范大学数学系教授 , 博士生导师 , 从事拓扑及非经典数理逻辑研究 王伟 一 , 男 , 陕西人 , 陕西经贸学院计算机中心助理工程师 , 从事计算机科学的教学与研究 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 数 学 学 报 卷 逻辑利用积分工具引入公式的真度与相似度的概念 , 然后在全体公式之集上引入一种伪距离 , 得到一个逻辑 伪 度量空间 , 证明了这个空间中没有孤立点 , 并从而提出了一种近似推理方 法 由于伪距离的存在 , 这个逻辑度量空间还为其它的近似推理提供了一种可供利用的构架 本文在全体公式之集上并不引入公理系统 , 而是以真度为 的公式取代公理并利用 与 进行推理 · 逻辑公式的真度与 一 重言式 定义 设 , , ⋯ , 二 , , 、 分别是一元 , 二元和二元运算 , 侧 是由 生成 的 , , , 、 型 自由代数 , 则称 中的元为命题或公式 , 称 中的元为原子命题或原子公 式 定义 设 任 , 中含有 个原子公式 二 , ⋯ , , 则 万蕊是这样的 元 函数 石 , 」” 一【 , 」, 石 作用于 , ⋯ , 。 任 , 」” 的方式恰如 作用于 沙 , ⋯ , 尹。 的方式 , 这里在 , 中规定 , 二 一 , 夕 , 功 , 弓 夕 侧 , 功 , , “ 一 , 是某蕴涵算子 , 如 几 几。 或 为 算子 凡 。 见 一 如 , 设 , , 五 取为 硫 算子 , 则 几 , , 乙。 一 , , 八 以下对 , 夕 任 , , 常用 表示 一 , 分别用 八 夕与 , 表示 , 功 与 , 约 · 并约定当 二 、 时 又万中的下标 可以略去 定义 设 , “ 一 , 为 元函数 , 、。万 , 则 “ , 。 “ 一 , 定义为 “ , ⋯ , 。 、 , ⋯ , 。 , , ⋯ , 二 。 、 任 , 一 ” 称 为 的 次扩张 又 , 约定当 时 哟 容易验证下面的 定理 三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理 积分不变性定理 设 , 几 一 , , 〔 万 , 则 关 ‘ ⋯关 ‘ , ‘无 , · , 一 ⋯ 几 儿 一 关 ‘ ⋯关 ‘ , 留 , 一 一 几 · 以下用 山 。 表示 ⋯ 。 , 用 △。 表示 , ” , 则上述积分不变性定理可简记为 厂 , “ ,、 。 一 , 、目。 。。 无 △。 又 , 既然上式的值与 无无关 , 以下也常略去 其中下标 与 中所含 自变量的个数相同 面。 与 △。 的下标 , 而用 几 、 表示 的积分 , 定义 设 任 , 是蕴涵算子 , 则称 伙 时 , 以 袱 简记 伙 助 几石面 为 的 一 真度 当 二 玩 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 期 王国俊等 逻辑度量空间 例 可直接验证 , 设 , 为原子公式 , 则 ·回 一 关 ‘ 一扣咖 以 ‘ 关 ‘ 。 吻 一 、 、 、 丁沙 八 了 声 夸 万 , 丁以 弓 升 二 少 二 又 , 下面的公式是显然的 伙 , 一 川 定义 设在 , 上按 定义了运算 , , 与 , 则 , 成为一个 , , , 型代数 · 称 同态 一 , 为 上的 一 赋值 , 对每个公式 〔 州 , 也称 。 为 的 一 赋值 以下用 几 表示 上的全体 一 赋值之集 , 当 。 时 , 以上的前缀与下标中的 均可略去 · 定义 一‘ 设 任 , 。 任 , 若 任 几 , 。 全 恒成立 , 则称 为 关于 的 一 重言式 当 。 时 , 一 重言式简称为重言式 由于 算子 侧 , 约 一 功 八 连续 , 下面的命题是显然的 命题 设 , 任 , 则《 当且仅当 是重言式 但当 不连续时没有与命题 相应的命题 如 , 对于 。 而言 , 这里 二。 · , 、 一 立、 、 , 劣 兰跳 兰夕, 令 、 、 二 【 、句 、 , 刘, 则可验证 硫一 , 一 , 一 , 并 , 由 可见 二孤百在 几 重言式 , 因为 川贵 , 告 上几乎处处等于 , 所以 伙 助 二 , 这里 。 但是显然 不是 命题 设 是 合不过由积分区域为单位方体知下面的命题 成立 重言式 , 则 伙 全 , 这里 是任一蕴涵算子 特别当 是重言式 时 成立 关于真度的 规则 编码规则下载淘宝规则下载天猫规则下载麻将竞赛规则pdf麻将竞赛规则pdf 与 规则以及真度在 , 中的分布 在形式演绎中有所谓分离规则 与三段论规则 毓 成立 关于积分真度而言我们有以下的定理 与定理 成立 定理 积分 规则 设 , 任 侧 若 丁 川 全 , 《 功 全口, 则《功 全 口一 证明 由积分不变性定理 , 不妨设 与 含有同样的原子公式 , ⋯ , 纵 并略去 △。 与面。 中的下标 这时由定理中的条件知 丁 几而。 全 , 二 功 几 一万十万 山 全尽 由此即得 · , 一 人万“ 一 人 一 人万面 人 区 “ 一 万 ”, 一 “ 七人区 “ 一 万 万 八 ‘一 “ 【 一 万 万 八 」面 一 全 口一 · © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 数 学 学 报 卷 推论 设 丁 《 , 则 《 定理 积分 规则 设 , , 任 州 若 《 、 全 , 叹 、 必 全 口, 则 《 、 全 口一 证明 令 △ 二 任 △ 一 万 万 间 则 丁 ‘ 一 ‘ , 一 人 , 面 人 一 人 , 面 人 一 人面 人 一 、 【 一 万 万 一 万 万 一 」己、 一 。 以。 一 、 一 、。 一 △ △一 △ △一 △ 一 人面 十人 一 △ ‘一 万 瓤 十 人“ 人 △ ‘一 ” 、 一妙 全人 一 万 万 ,八 “ 人 一‘ 十 万 。 “ 一 · 。一 · 推论 设《 《 、 二 , 则 丁 、 在 【 」中我们提出了命题演算的形式系统 ￡ , 在那里定义了与 规则并列的交推理规 则 , 即 从 与 、 可推出 八 , 这里 八 是 成 , , 的简写 , 关于积 分真度 , 我们有 定理 积分交推理规则 设 , , 〔 , 三 〔 若 《 列 全 一 。 , 《 、 全 一 。 , 则 《 八 全 一 丫乏若 证明 令 。 任 △ 万 万 叫 一 了不 , 场 二 任 △ 万 动 叫 一 了妄 设 与 场 的 测度分别为 与 场 二 , 则 厂 一 司 、 一 户 一 功、 一 功、 卜 二 卜 石 △一 一 斌砚 所以由假设知 二 全 一 从而一 以 了丽 全 一 了不 , 万 、 切 全 一 兰 旖 · 同理 三 旖 · 因为在 △ 一 场 上 了死 , 所以在 △一 场 上 万 、 万 八 瓦 叫 全 一 了死 又 , △ 一 的测度 爪 “ 一 日 , 全饥“ 一 一。 一 ‘一 一 心 卜 梅一 卜疾 , 所以由 与 得 二 弓 八 二 几 万弓 万八万 由 几一 二 。 万叶 万八万 由 全 一在 , 推论 设 , 叹 二《 二 , 则 叹 八 二 我们给出一个后面要用到的引理如下 引理 基本引理 设 〔 , 则 中有公式 满足 《 已 证明 设 。 , 二 八纵 二 则 《 。 显然成立 , 以下只须证 , , ⋯ , 这里 ‘ 任 且当 乞笋夕时 ‘ 笋马 三艺, 三司 斗 发 二 。 丁 ⋯八 。 二 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 期 王国俊等 逻辑度量空间 事实上 , 可以证明更强的结论 , 即 · 八 ⋯八 性 , 一 人 八一 山。 几 这里 △ 二 , ” 令 ︸、从 一一 △‘ 二 , ⋯ , 。 〔 △ , ⋯ , 纵互不相等 , 则可以证明 △‘ 的 测度 饥 △, 饥 △ 二 , 所以以下在计算 △上的积分时不妨设 , ⋯ , 。 互不相等 令 △‘ 、 任 △ 二 八纵 则 《 二 八 脚 厂 八 ⋯ 。 、 。 一 全厂 。 。 ￡ 。 , ⋯八 动 。。 因为 门 ,‘ 几 八 ⋯八 儿 公。 么 ⋯ 劣‘一 ‘ , 一 ︸ 云工一 尹了九一一’卜伟丫一十 月 儿户儿一 这里 。 , 二 是 函数 所以由 与 即得 以下讨论 中的公式的真度值在 , 中的分布情况 下面的定理 表明真度值之集 在 阳, 中没有孤立点 定理 设 任 , 〔 , 则 中有公式 满足条件《 并叹列 且 《川 一《司 巴 证明 设 二 八 ⋯八几 , 并取 充分大 , 使 击 则由引理 的证明知 厂。、 一 已 令 , 、 则 二 疏、 一 二 丁 一倪 另一方面 , 显然 万 全万 , 从而 万 万 八 、 厂 。 山 一 、 、 。、 么 △ △ 《 全 丁 由 与 即得 定理 表明真度之集在 , 中无孤立点 , 我们提出一个问题 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 数 学 学 报 卷 问题 真度之集是否在 , 中稠密 逻辑度量空间 定义 设 , , , 一 , 是蕴涵算子 , 则称 石贰 , 川侧万 , 功 八 时万 , 万 南 为 与 之间的 一 积分相似度 当 若斌式 的 , 记作 当 取为 蕴涵算子 。 时称 与 是 一 积分相似 注意 一 万十 万 与 一 万 十 万 中至少有一个不大于 , 前缀及下标中的 可略去 得 ‘ , ”卜人‘一 万 ‘ , 八 ‘一 ” 万 山 · 容易验证以下两个命题成立 命题 设 , 〔 侧 且算子 满足 侧 , 句二 当且仅当 三 则 石二 , 若。 , 刀 石二 刀 , 且 当 万 三万 时 荟 , 刀 伙 刀 命题 设 , 任 , 则 石斌 , 兰伙 、 伙 一 定理 设 , 〔 , 则 、 当且仅当 与 是逻辑等价的 , 即 〔 几 , 助 、 证明 设 , 即《 , , 则由 以及 。 的连续性知 一 万十万 二 一 万 万 恒成立 , 即对每个赋值 任 几 、 司 二 试 二 恒成立 由此得 三 司 且 三可 , 故 。 助 所以 与 是逻辑等价的 反过来 , 当 与 逻辑等价时按 反方向推理便知 例 设 , 、。 , 即 , , 。为原子公式 , 则 石沙, 。 号 , , , , 、 是 解 令 △ , 功 三好 , △ , 功 好 则 曰一 一一 ︸工一,工一 一一 石”, “ 人 ‘咖 的 一 人 一 人 ‘ 一 、十 · , · , 人‘一 十 , , ·吻 仪 、 川 八 夕 、 」山 , 一 、 厂 二 乙 由 夕 、 面 一 夕 少以闺 十 二 乙 厂劫。戈 二九一一 ︶勺一 一一 曰上工白上 一一 以下讨论映射 若 引理 设 了 , 功 到 一 , 的基本性质 容易分情况直接验证下面的引理 。 , , 。 夕, , 则 , 全 , 占, 一 定理 设 , , 任 若《 , 功 全 , 《 , 全口, 则《 , 全 口一 证明 由引理 得 、 , 。 一 , 、, 、 厂, , 。 、 , 。, 一 、 △ △ 《 , 《 , 一 全 口一 利用积分相似度可以在 上引入伪距离如下 · 定义 设 , 任 , 规定 风 , 二 一《 , 定理 户 一 , 」是 上的伪距离 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 期 王国俊等 逻辑度量空间 证明 顽 , 与 风 , 功 风 , 显然对 , 任 成立 再设 〔 侧 , 则由定理 得 荟 , 全石 , 石 , 一 , 从而有 户 , 一石 , 三 一苟 , 一若 , 户 , 户 , 在 还可像在通常函数空间上引入一致收敛距离那样定义 武 , 几 兀一 司 以 注 意这里的函数 万, 万 可为 元 , 元 , 乃至任意有限元函数 , 而函数的个数却只有可数多个 · 定理 己 户, 即 , 对任二 , 〔 , , 户 , 证明 容易验证 一 一 八 一 一 , 所以 , 一 一 , 一 一 一 万 万 。 一 万 十 又 。 一 万一 万 、 一 己 , 容易看出下面的命题成立 命题 设 , 任 , 则 风二 , , 二 风 , 推论 设 , 。 任 , , ⋯ 则 二一 户 。 , 当且仅当 户 , 。 , , 不难分情况验证下面的引理成立 引理 设 , , , 〔【, 」, 则 一 三 一 乙 。 , 乙 一 。 , 三 一 一 由上述引理的 可证 命题 设 , , , 任 , 且 , 。, , 。, 则 户 , 刀 刀 推论 设 , 刀 , 。 , 刀。 任 。 , , ⋯ , 则当 。 户 。 , 。、二 。 , 时 户 二 , 又 , 由此推论以及推论 得 推论 设 , 刀 , 八。 , 。 任 , , ⋯ , 则当 。一 户 。 , 。 , 户 。 , 时 几 一巾 仁 风 。 , 二 由引理 的 可证下述命题 , 命题 设 , , , 任 , 、 三 , , 曰男 推论 设 , 刀, 。 , 。 〔 侧 。 , , 二 , 则当 夕 。 , 几 辛以 , 今 , 担懊 , 试 。 。 , 总结以上各性质得 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 数 学 学 报 卷 定理 在伪距离空间 州 , 川 中 , 一元运算 “ , “ 与二元运算 “ , “ ’与 “ 都是连 续的 与公式的真度集在 , 中的分布情况相对应 , 我们有下述 定理 伪距离空间 , 川 中没有孤立点 , 即 , 设 任 , 〔 , 则有 任 使 , 。 证明 如定理 的证明那样 , 令 二 纵 , , , 则 万 全万 粼 , ”卜加 一 、一 ⋯护 一 、 ⋯一 ⋯人赢 一 人、 ⋯一 一 因为定理 中的证明对给定的 , 有 使 《 一《功 为充分小的正数 , 所以由上面的推理 知有 使 成立 由 万 与 万 的连续性以及定理 知 , 当 风 , 功 时必有 万 万 , 即 , 。 〔 几 , 。 川 二 。 但这时不必有 二 如令 , 、 这里 与 是不同的原子 公式 就有 风八 , 功 但 并 所以 , 川 不是距离空间 但为了方便起见 , 我们也称 , 川 为逻辑度量空间 正像人们把 伪距离简称为 距离一样 不过这 里的确存在一个度量空间 事实上 , 不难验证相似关系 是 到 上关于 “ 二 , , 八 , 而言的 同余关系 , 从而商代数 、 存在 以 川 记 所在的同余类 , 则可证下面的 定理 , 是度量空间 , 这里 与 川 , 司 中的代表公式的选择无关 【 」,【 」 户 , , , 〔 , 且 续算子 · 、 , 中没有孤立点 , , , 八 与 都是 、 , 户 中的连 侧 中的近似推理 形式推理是建立在公理和推理规则的基础之上的 们将以积分真度为 的公式取代公理的地位 又 , 本文在 中并未引入公理系统 我 在经典命题演算中 , 只要有了 者同时提出作为推理规则 以下用 关于推理规则 , 除 之外 , 同时使用 , 则利用公理可得出演绎定理从而得出 这里则需要将二 表示全体真度为 的公式之集 即 任 叹川 定义 设 任 , 从 到 的准推理是一个有限序列 , ⋯ , 。 , 其中 。 , 且对于每个 艺三 , 、 任 , 或者存在 , 乞使 ‘ 是由 或者 规则而得的结果 · 叫做 的 级准推论 , 记作 间 卜 之集记作 “ 或简记作 “ 为准定理 · 是准定理记作 卜 显然 与 、 运用 尸 的全体 级准推论 当 为空集时 , 称 “ 。 , , ⋯ 中的公式 ‘ 刀 , 刀 “ 刀 ‘ , , , ⋯ 定义 自然数列 、 , 二 , ⋯ 叫斐波那契数列 , 若 二 , 二 , 二。 二。 二 。 , © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 期 王国俊等 逻辑度量空间 , , ⋯斐波那契数列的通项公式为 褥、几 一 褥、几。 二 — 一 二 — 几 、 ⋯了 丫 在上述的准推理过程中 , 由于假设集 中的公式真度并不一定等于 , 那么随着推理长度的增 加 , 所得准推论的真度就减小 容易利用数学归纳法证明下面有趣的定理 定理 设 〔 , , 〔 ” 若 〔 , 袱功 全 , 则 二 全 。。 一 , , , ⋯ 这里 际 是斐波那契数列的第 项 推论 设 , 任 回 二 二 , , ⋯ , 则 《助 例 设 〔 , 中各公式的真度均不小于 , 则 〔 , 由 、 知 丁 全 一 定义 设 令 日篡 “ , “ 。几 , 刀 , 刀 。 “ , , 且 , 刀 且 , 刀 任 分别称 回 与 为 的 级发散度与发散度 当 时称 为全发散 的 易证 当且仅当 在经典命题演算中 , 设 是定理 , 则当 二 任 时可以从 推出所有的公式 , 即 是不 相容的 这里的全发散类似于不相容性 容易验证下面的命题 命题 设 · 如果 中有公式 满足 万 三 硕 , 即 , 饰 。 几 , 三 告 , 则 即 全发散 · 例 任取 〔 , 令 二 八 , 好 , 则 全发散 · 定义 设 任 , 令 这里 准推论 如果 不真 已 , , ￡川 ￡ , 口 艺 卜 侧侧 一 司“ 一 , 是 州 上的 距离 这时称 为 的误差为 。 的 就是 的准推论 , 在 中取 艺 可见 是 的误差为零的准推论 , 但反之 定理 设 〔 , , 且 是 的误差小于 。 的准推论 , 则在伪距离空间 州 , 川 中 到 的距离小于 。 证明 设 , 浑 艺 , 卜 。 , 则有 ￡ 使 , 剐 〔 , 卜 由 是 ￡的准推论知 任 黔 , 所以 户 , 三 ’ , 艺 。 推论 设 〔 , , 且 是 的误差为零的准推论 , 则在伪距离空间 州 , 川 中 属于 的闭包 反面的问题稍微复杂一些 我们有 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 数 学 学 报 卷 定理 设 〔 , 〔 , 且 三 百, 兰 石 如果 户 , 。 则 。 , 三 百 。, 即 是 的误差不大于 百 〔 的准推论 由“ ︺只证明 设 户扭 , 。, 则有 刀 任 使 户扭 , 三百知 , 三百, 从而 , 兰占 。 由此得 。 任取 , 户 , 〔 三 户 , 〔 兰百 。 任取 〔 , 则 由 三百知 户 , 三 占, 所以 户 , 三 户 , 三户 , 风 , 三百 。 由此得 户 , 川 〔 三石 。 由 距离的定义和 , 即得 , 三百 。 从而由 卜 得 , 推论 则 是 致谢 , 艺 , 习 卜 三 , 三石 。 设 任 侧 , 如果在伪距离空间 , 川 中 属于 的闭包 , 的误差不超过 石的准推论 , 这里 占是 与 的发散度中之较大者 · 感谢审稿人提出的宝贵意见 , 使本文的若干证明得到了简化 参 考 文 献 九 , 【 , , , 一 · , , 【 , 一 , , , 一 , , , 一 , , , 一 一 【〕, , 一 」 , 一 , , 一 【」, 口 , 【」, , , 」 , , , , , 一 , 一 , , 【』, , , 一 · , 【」, , , 一 认尸 , 【」, , , 一 么 、 , ,乃月 , 【〕, , , 一 」, 叭 , 一 一 , , 一 【』, , , 公一 一 一 」, , , 卫卫卫,山八︸‘月 , 。 , , 一 , 【 , © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net