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线性与非线性方程.pdf

线性与非线性方程.pdf

上传者: 右边的风 2010-09-04 评分 0 0 0 0 0 0 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《线性与非线性方程pdf》,可适用于其他资料领域,主题内容包含求解线性、非线性方程(组)一、求解线性方程组二、求解非线性方程(组)三、应用举例一、求解线性方程组线性方程组的一般形式给定n个未知数、m个方程的线性符等。

求解线性、非线性方程(组)一、求解线性方程组二、求解非线性方程(组)三、应用举例一、求解线性方程组线性方程组的一般形式给定n个未知数、m个方程的线性方程组:则线性方程组()可表为矩阵形式:TnTnnnijbbbxxxaA),,(,),,(,)(令nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb()bAx()线性方程组的一般解法()直接法(高斯消元法)即经过有限次算术运算求出精确解。•消元过程:利用初等变换消去位于(ij)位置(i、j=,…,n,i>j)的元素•回代过程:由最后一个方程开始,依次代入求解出xi(i=n,n,…,)。()迭代法•直接法适合于系数矩阵为低阶稠密矩阵的情形•大型稀疏矩阵的线性方程组适合使用迭代法。用MATLAB解线性方程组()矩阵左除:xAb()迭代法:(自行编程,见培训资料)例求解方程组xxxxxxxxx解:方法()矩阵左除:运行以下命令>>A=>>b='>>x=Ab结果:x=方法()迭代法:>>A=>>b='>>x='tol=>>x=ykb(A,b,x,tol)雅可比结果:x=先建立雅可比函数ykbm,及高斯赛德尔迭代gsdm,再运行以下命令:>>x=gsd(A,b,x,tol)高斯赛德尔二、求解非线性方程(组)求解非线性方程f(x)=的一般方法()根的隔离法二分法•原理:设f(x)为连续函数,若f(a)f(b)<,(a<b),则在区间(a,b)内,f(x)至少有一个根()迭代法原理:将原方程f(x)=改写为形式,)(xx选择初值x按式迭代(),(,,,)kkxxk若序列{xn}收敛到x*则x*即为原方程的解。()牛顿法)牛顿切线法)牛顿割线法用MATLAB解非线性方程(组)•求一元代数方程的根(多项式的零点)r=roots(c)c为多项式f的系数向量(降幂),r为f的所有根(列向量)例.求方程的所有根。xxx解:运行以下命令:>>c=>>r=roots(c)结果:r=ii•求一元非线性方程的根:x,fv,ef=fzero(('fun',,x,opt)参数:fun由方程f(x)=建立的函数文件名x初始解,opt控制变量x输出x附近的近似根,fv输出fun在x点的函数值,ef返回程序停止运行原因(找到近似根,没有找到,达到最大迭代次数)例.求解非线性方程的正根:sin(),xxexx解:()建立函数文件functiony=fun(x)y=x*sin(x)*exp(x)()运行以下命令:>>fplot('fun',,,,)>>grid由图知近似根>>x=fzero('fun',)结果:x=fv=eef=•求解多元非线性方程组:x,fv,ef=fsolve('fun',,x,opt)参数:同上,函数文件应写成列向量形式例.求解非线性方程组sin()log()yxyzxzxyz解:()建立函数文件(x,y,z写成向量形式):functionq=xyzf(p)x=P()y=p()z=p()q=zeros(,)q()=sin(x)y^log(z)q()=*x^yz^()q()=xyz()运行以下命令(初值取x=,y=,z=)>>x='>>x,fv,ef=fsolve('xyzf',x)【注】fsolve也可求解一元非线性方程的根如例.也可运行以下命令:x,fv,ef=fsolve('fun',)结果:x=(同前)fv=eef=运行结果:x=fv=e*ef=例.发射角问题:炮弹发射视为斜抛运动已知初速为ms问要击中水平距离m、垂直距离m的目标当忽略空气阻力时发射角应多大?解:设发射角为,初速为,水平分速度为vcosvvx垂直距离H=m击中目标的时间为T。竖直分速度为sinvvy,目标水平距离S=m忽略空气阻力这时,xvTSHgTTvy,cosSTvαHgTTvsin将T代入后式有:,即HvgSStgcos(一元非线性方程)>>fplot(‘paotan’,),grid画图()建立函数文件如下:functiony=paotan(x)v=s=h=g=y=s*tan(x)*g*s^((v*cos(x))^)h()求解(运行以下命令):利用系统函数fsolve,初值取>>x=fsolve('paotan',)>>x=x*pix=度初值取>>x=fsolve('paotan',)>>x=x*pix=度利用系统函数fzero,初值取>>x=fzero('paotan',)>>x=x*pix=度初值取>>x=fzero('paotan',)>>x=x*pix=度练习练习.用RungeKutta方法求下列微分方程初值问题的数值解()(),()yxyxyxnyy(Bessel方程令n=),精确解xxy)sin(练习缉私艇上的雷达发现正东方向c海里处有一艘走私船正以速度a向正北方向行驶缉私艇立即以最大速度b(b>a)前往拦截设a=(nmileh)b=(nmileh)c=(nmile)。用雷达进行跟踪时可保持缉私艇的速度方向始终指向走私船。建立任意时刻缉私艇的位置的数学模型求任意时刻缉私艇的位置及缉私艇航线并确定缉私艇追上走私船的位置和时间。分析:缉私艇在x,y方向的速度分别为sin,cosbdtdybdtdx切线与x轴正向夹角为由直角三角形PQR写出sin和cos的表达式得到数学模型(微分方程组):)()()()()()(yatxcyatbdtdyyatxcxcbdtdx初值()()xy练习美国原子能委员会提出一种处理浓缩放射性废料的方法:把它们装入密封的圆桶里,然后扔到水深多米的海底生态学家们表示担心,怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞而破裂,从而造成核污染为此科学家们进行了碰撞实验,发现当圆桶下沉速度超过ms与海底相撞时,圆桶就可能发生碰裂已知圆桶的重量为kg,体积为m,海水密度为kgm设水的阻力与速度大小成正比,其正比例常数k=()对上述问题作必要的假设,建立适当的数学模型()判断这种处理放射性废料的方法是否合理?练习一种大型输电网络可简化为图其中R,R,…,Rn表示负载电阻,r,r,…,rn表示线路内阻I,I,…,In表示各支路电流,V表示电源电压()列出各负载上电流II…In的方程()设R=R=…=Rn=R,r=r=…=rn=r,在r=,R=,V=,n=的情形下,求电流II…In练习.求解非线性方程的根:ln()xxxyx其中参数,,,,xyabab

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