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高中数学竞赛专题讲座之四:解析几何(1).doc

高中数学竞赛专题讲座之四:解析几何(1)

dzxmldwj 2010-08-29 评分 0 浏览量 0 0 0 0 暂无简介 简介 举报

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PAGE高考资源网提供高考试题、高考模拟题发布高考信息题本站投稿专用信箱:ksucom来信请注明投稿一经采纳待遇从优高中数学竞赛专题讲座之四:解析几何一、选择题部分.(集训试题)过椭圆C:上任一点P作椭圆C的右准线的垂线PH(H为垂足)延长PH到点Q使|HQ|=λ|PH|(λ)。当点P在椭圆C上运动时点Q的轨迹的离心率的取值范围为()A.B.C.D.解:设P(x,y)Q(x,y)因为右准线方程为x=所以H点的坐标为(,y)。又HQ=λPH所以所以由定比分点公式可得:代入椭圆方程得Q点轨迹为所以离心率e=故选C.(年南昌市)抛物线顶点在原点,对称轴为x轴,焦点在直线xy=上,则抛物线方程为(D)A.B.C.D..(年江苏)已知抛物线是坐标原点是焦点是抛物线上的点使得是直角三角形则这样的点共有(B)A.个B.个C.个D.个.(天津)已知一条直线与双曲线()的两支分别相交于、两点为原点当时双曲线的中心到直线的距离等于(A)A. B. C.  D..(全国)方程表示的曲线是( )A.焦点在轴上的椭圆     B.焦点在轴上的双曲线C.焦点在轴上的椭圆      D.焦点在轴上的双曲线解:即又方程表示的曲线是椭圆EMBEDEquation即曲线表示焦点在轴上的椭圆选C。.(年浙江省预赛)已知两点A(,),B(,)到直线L的距离分别是则满足条件的直线L共有条(C)A.B.C.D.解:由分别以AB为圆心为半径作两个圆则两圆外切有三条共切线。正确答案为C。.(年浙江省预赛)设在平面上所围成图形的面积为则集合EMBEDEquation的交集所表示的图形面积为(B)A.B.C.D.解:在xOy平面上的图形关于x轴与y轴均对称由此的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以即得。为此只要考虑在第一象限的面积就可以了。由题意可得的图形在第一象限的面积为A=因此的图形面积为所以选(B)。二、填空题部分.(天津)已知椭圆()长轴的两个端点为、若椭圆上存在点使则该椭圆的离心率的取值范围是..(年江苏)已知则的最大值是..(吉林预赛)椭圆xayb=(a>b>)的右顶点为A上顶点为B左焦点为F若ABF是直角则这个椭圆的离心率为。.(陕西赛区预赛)若abc成等差数列则直线axbyc=被椭圆截得线段的中点的轨迹方程为.(年浙江)根据指令机器人在平面上能完成下列动作:先从原点O沿正东偏北()方向行走一段时间后再向正北方向行走一段时间但何时改变方向不定假定机器人行走速度为米分钟则机器人行走分钟时的可能落点区域的面积是【解】:如图设机器人行走分钟时的位置为P设机器人改变方向的点为A。则由已知条件有以及所以有即所求平面图形为弓形其面积为平方米.(年浙江省预赛)已知,。若为单元素集则解由为单元素集即直线与相切则.(全国)若正方形ABCD的一条边在直线上另外两个顶点在抛物线上则该正方形面积的最小值为    解:设正方形的边AB在直线上而位于抛物线上的两个顶点坐标为、则CD所在直线的方程将直线的方程与抛物线方程联立得令正方形边长为则在上任取一点(,)它到直线的距离为、联立解得或.(全国)在平面直角坐标系XOY中给定两点M(-)和N()点P在X轴上移动当取最大值时点P的横坐标为解:经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=-x上设圆心为S(a-a)则圆S的方程为:对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大所以当取最大值时经过MNP三点的圆S必与X轴相切于点P即圆S的方程中的a值必须满足解得a=或a=-。即对应的切点分别为而过点MN的圆的半径大于过点MNP的圆的半径所以故点P()为所求所以点P的横坐标为。三、解答题部分.(集训试题)已知半径为的定圆P的圆心P到定直线的距离为Q是上一动点Q与P相外切Q交于M、N两点对于任意直径MN平面上恒有一定点A使得MAN为定值。求MAN的度数。解:以为x轴点P到的垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系设Q的坐标为(x,)点A(k,λ)Q的半径为r则:M(xr,),N(xr,),P(,),PQ==r。所以x=,tanMAN=令m=hktanMAN=所以mrk=nhrm(nh)r=两边平方得:mm(nh)r(nh)r=krkrk因为对于任意实数r上式恒成立所以由()()式得m=,k=由()式得n=由m=hk得h=所以tanMAN==h=。所以MAN=或(舍)(当Q(,),r=时MAN=)故MAN=.(吉林预赛)已知抛物线C:x=py(p>)O是坐标原点M(b)(b>)为y轴上一动点过M作直线交C于A、B两点设SABC=mtanAOB求m的最小值。(-p).(年南昌市)(高二)给定圆P:及抛物线S:,过圆心作直线,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为,如果线段的长按此顺序构成一个等差数列,求直线l的方程解:圆的方程为,则其直径长,圆心为,设l的方程为,即,代入抛物线方程得:,设有,则故,因此据等差,,所以即,,则l方程为或.(年上海)已知抛物线其焦点为F一条过焦点F倾斜角为EMBEDEquationDSMT的直线交抛物线于AB两点连接AO(O为坐标原点)交准线于点连接BO交准线于点求四边形的面积.解:当时.…………………(分)当时令.设则由消去x得所以.又直线AO的方程为:即为所以AO与准线的交点的坐标为而由知所以B和的纵坐标相等从而轴.同理轴故四边形是直角梯形.………………(分)所以它的面积为EMBEDEquationDSMT.………………(分).(年浙江)(分)设双曲线的左、右焦点分别为若的顶点P在第一象限的双曲线上移动,求的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边上的切点轨迹。【解】如图记双曲线在轴上的两顶点为A(,)B(,)G为的内切圆在边上的切点H为的内切圆在边上的切点K为的内切圆在边上的切点。则有EMBEDEquationEMBEDEquation分由双曲线的定义知G必在双曲线上于是G与A(,)重合是定点。而。根据圆外一点到该圆的两切点的距离相等所以的内切圆在边上的切点的轨迹是以为圆心为半径的圆弧。分因为是在第一象限的曲线上移动当沿双曲线趋于无穷时与轴正向的交角的正切的极限是即。故点H的轨迹方程为(极坐标形式)()分也可以用直角坐标形式。由于G与A(,)重合是定点故该内切圆圆心的轨迹是直线段方程为()。分.(浙江省)在轴同侧的两个圆:动圆和圆外切()且动圆与轴相切求()动圆的圆心轨迹方程L()若直线与曲线L有且仅有一个公共点求之值。解:()由可得由N以及两圆在轴同侧可知动圆圆心在轴上方设动圆圆心坐标为,则有整理得到动圆圆心轨迹方程……(分)另解由已知可得动圆圆心的轨迹是以为焦点为准线且顶点在点(不包含该点)的抛物线得轨迹方程即…………………(分)()联立方程组EMBEDEquation消去得由EMBEDEquation整理得从可知。故令代入可得EMBEDEquation再令代入上式得…………………(分)同理可得。可令代入可得对进行配方得对此式进行奇偶分析可知均为偶数所以为的倍数所以EMBEDEquation。令则所以…………………………………(分)仅当时为完全平方数。于是解得EMBEDEquation…………………(分).(全国)设p是给定的奇质数正整数k使得也是一个正整数则k=解:设从而是平方数设为(负值舍去)EMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTOP(x,y)xyAEMBEDEquation,,,,,,,,PAGE共页 第页unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown

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