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高中数学竞赛专题讲座之七:排列、组合、二项式定理和概率.doc

高中数学竞赛专题讲座之七:排列、组合、二项式定理和概率.doc

上传者: dzxmldwj 2010-08-29 评分 5 0 170 23 772 暂无简介 简介 举报

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PAGE高考资源网提供高考试题、高考模拟题发布高考信息题本站投稿专用信箱:ksucom来信请注明投稿一经采纳待遇从优高中数学竞赛专题讲座之七排列组合二项式定理和概率一、排列组合二项式定理.(年浙江)设求的值为()A.B.C.D.【解】令得()令得()令得()()+()得故再由()得。选【C】.(全国)设三位数若以abc为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形则这样的三位数n有()A.个B.个C.个D.个解:abc要能构成三角形的边长显然均不为。即()若构成等边三角形设这样的三位数的个数为由于三位数中三个数码都相同所以()若构成等腰(非等边)三角形设这样的三位数的个数为由于三位数中只有个不同数码设为a、b注意到三角形腰与底可以置换所以可取的数码组(ab)共有。但当大数为底时设a>b必须满足。此时不能构成三角形的数码是ab共种情况。同时每个数码组(ab)中的二个数码填上三个数位有种情况。故。综上。.(四川)设若“方程满足且方程至少有一根”就称该方程为“漂亮方程”。则“漂亮方程”的个数为A.    B.    C.    D.解:由题可知方程的两根均为整数且两根一正一负当有一根为时有个满足题意的“漂亮方程”当一根为时有 个满足题意的“漂亮方程”。共有个故选C。.(四川)设是的任一排列是到的映射且满足记数表。若数表的对应位置上至少有一个不同就说是两张不同的数表。则满足条件的不同的数表的张数为()A.   B.    C.    D.解:对于的一个排列可以个映射满足而共有个排列所以满足条件的数表共有张故选C。.(江西)连结正五边形的对角线交另一个正五边形两次连结正五边形的对角线又交出一个正五边形(如图)以图中线段为边的三角形中共有等腰三角形的个数为()A.B.C.D.解:对于其中任一点P以P为“顶”(两腰的公共点)的等腰三角形的个数记为P则EMBEDEquationDSMT,由于图中没有等边三角形则每个等腰三角形恰有一个“顶”。据对称性可知因此等腰三角形共有个.(全国)将关于的多项式表为关于的多项式EMBEDEquation其中则解:由题设知和式中的各项构成首项为公比为的等比数列由等比数列的求和公式得:令得取有.如果自然数的各位数字之和等于那么称为“吉祥数”将所有“吉祥数”从小到大排成一列若则解:方程的非负整数解的个数为而使的整数解个数为现取可知位“吉祥数”的个数为是形如的数中最小的一个“吉祥数”且对于四位“吉祥数”其个数为满足的非负整数解个数即个是第=个“吉祥数”即从而又而从大到小最后六个五位“吉祥数”依次是:,,,,第个“吉祥数”是即.(四川)某城市的机动车牌照是从“”到“”连续编号则在这个牌照中数字至少出现一个并且各数字之和是的倍数的车牌照共有个二、概率部分.(吉林预赛)在个产品中有个正品个次品现每次取出个作检查(检查完后不再放回)直到两个次品都找到为止则经过次检查恰好将个次品全部都找到的概率是(D)A.B.C.D..(年南昌市)甲、乙两人进行乒乓球单打决赛,采用五局三胜制(即先胜三局者获冠军),对于每局比赛,甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,则爆出冷门(乙获冠军)的概率为.(年浙江省预赛)在中随机选取三个数能构成递增等差数列的概率是解:三个数成递增等差数列设为按题意必须满足。对于给定的da可以取……d。故三数成递增等差数列的个数为三数成递增等差数列的概率为.(吉林预赛)骰子是一个质量均匀的正方体个面上分别刻有、、、、、点。现在桌面上有只骰子分别为木制、骨制、塑料制的。重复下面操作直到桌子上没有骰子:将桌上的骰子全部掷出然后去掉那些奇数点的骰子。求完成以上操作的次数多于三次的概率。().(湖南)如果一元二次方程中a、b分别是投掷骰子所得的数字则该二次方程有两个正根的概率P=()A.B.C.D..(江西)从名男生和n名女生中任选人参加比赛已知人中至少有名女生的概率为则n=.(江西)有名乒乓球选手进行单循环赛比赛结果显示没有和局且任意人中既有人胜其余人又有人负其余人则恰好胜了两场的人数为个.将编号为,…的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上每个等分点上各有一个小球设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S求使S达到最小值的放法的概率(注:如果某种放法经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合则认为是相同的放法)解:九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上每点放一个相当于九个不同元素在圆周上的一个圆形排列故共有!种放法考虑到翻转因素则本质不同的放法有种分下求使S达到最小值的放法数:在圆周上从到有优弧与劣弧两条路径对其中任一条路径设是依次排列于这段弧上的小球号码则上式取等号当且仅当即每一弧段上的小球编号都是由到递增排列因此…………………………………………………………………分由上知当每个弧段上的球号确定之后达到最小值的排序方案便唯一确定在,…中除与外剩下个球号,…将它们分为两个子集元素较少的一个子集共有种情况每种情况对应着圆周上使S值达到最小的唯一排法即有利事件总数是种故所求概率………分.(全国)一项“过关游戏”规则规定:在第n关要抛掷一颗骰子n次如果这n次抛掷所出现的点数之和大于则算过关。问:(Ⅰ)某人在这项游戏中最多能过几关?(Ⅱ)他连过前三关的概率是多少?(注:骰子是一个在各面上分别有点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后向上一面的点数为出现点数。)解:由于骰子是均匀的正方体所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。(Ⅰ)因骰子出现的点数最大为而因此当时n次出现的点数之和大于已不可能。即这是一个不可能事件过关的概率为。所以最多只能连过关分(Ⅱ)设事件为“第n关过关失败”则对立事件为“第n关过关成功”第n关游戏中基本事件总数为个第关:事件所含基本事件数为(即出现点数为和这两种情况)过此关的概率为:第关:事件所含基本事件数为方程当a分别取时的正整数解组数之和即有(个)过此关的概率为:分第关:事件所含基本事件为方程当a分别取时的正整数解组数之和。即有(个)过此关的概率为:分故连过前三关的概率为:分(说明:第关的基本事件数也可以列举出来).(年浙江省预赛)六个面分别写上的正方体叫做骰子。问)共有多少种不同的骰子)骰子相邻两个面上数字之差的绝对值叫做这两个面之间的变差变差的总和叫做全变差V。在所有的骰子中求V的最大值和最小值。解:)设台子上有一个与骰子的侧面全等的正方形。我们把一个骰子放到该正方形上的放法共种。所以不同的骰子共有种……(分))由-的六个数字所能产生的变差共有个其总和为+(+)+(++)+(+++)+(++)=(分)与之相比每个骰子的全变差中所缺的是三个相对面上数字之间的变差记其总和为v则vmax=()-()=vmin==…………………(分)因此Vmax=-vmin=Vmin=-vmax=……(分),,,,PAGE共页 第页unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown

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