高考数学二轮复习考点解析：圆锥曲线考点透析

高考资源网（www.ks5u.com），您身边的高考专家 高考数学二轮复习考点解析 圆锥曲线考点透析 【考点聚焦】 考点1：圆锥曲线的定义与 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程的求法； 考点2：离心率与准线方程； 【考点小测】 1．（天津卷）如果双曲线的两个焦点分别为 、 ，一条渐近线方程为 ，那么它的两条准线间的距离是（ ） A． 　　 B． 　　　　　 C． 　　 D． 解析：如果双曲线的两个焦点分别为 、 ，一条渐近线方程为 ，∴ ，解得 ，所以它的两条准线间的距离是 ，选C. 2．（福建卷）已知双曲线 (a>0,b<0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞) 解析：双曲线 的右焦点为F，若过点F且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ，∴ ≥ ，离心率e2= ，∴ e≥2，选C 3．（广东卷）已知双曲线 ，则双曲线右支上的点 到右焦点的距离与点 到右准线的距离之比等于 A. B. C. 2 D. 4 解析：依题意可知 ， ，故选C. 4．（辽宁卷）曲线 与曲线 的 (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 【解析】由 知该方程 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示焦点在x轴上的椭圆，由 知该方程表示焦点在y轴上的双曲线，故只能选择答案A。 【点评】本题考查了椭圆和双曲线方程及各参数的几何意义，同时着重考查了审题能力即参数范围对该题的影响。 5．（全国卷I）双曲线 的虚轴长是实轴长的2倍，则 A． B． C． D． 解：双曲线 的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m<0，且双曲线方程为 ，∴ m= ，选A. 6．（全国II）已知△ABC的顶点B、C在椭圆EQ \f(x\S(2),3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是 （A）2EQ \r(,3) （B）6 （C）4EQ \r(,3) （D）12 解析(数形结合)由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得 的周长为4a= ,所以选C 7．（山东卷）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 ，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 (A) (B) (C) (D) 解：不妨设椭圆方程为 （a(b(0），则有 ，据此求出e＝ ，选B 8．（四川卷）已知两定点 ，如果动点 满足 ，则点 的轨迹所包围的图形的面积等于 （A） （B） （C） （D） 解：两定点 ，如果动点 满足 ，设P点的坐标为(x，y)， 则 ，即 ，所以点 的轨迹所包围的图形的面积等于4π，选B. 9．（四川卷）直线 与抛物线 交于 两点，过 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 ，则梯形 的面积为 （A）48 （B）56 （C）64 （D）72 解析：直线 与抛物线 交于 两点，过 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 ，联立方程组得 ，消元得 ，解得 ，和 ，∴ |AP|=10，|BQ|=2，|PQ|=8，梯形 的面积为48，选A. 10．(上海卷)若曲线 ＝| |＋1与直线 ＝ ＋ 没有公共点， 则 、 分别应满足的条件是 ． 解：作出函数 的图象， 如右图所示： 所以， ； 【典型考例】 【问题1】求圆锥曲线的标准方程、离心率、准线方程等 例1．设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，　一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为 －4，求此椭圆方程、离心率、准线方程及准线间的距离. 解：设椭圆的方程为 或 ，则 ，解之得： ，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为 或 ，离心率 ；准线方程 ，两准线的距离为16. 例2．（北京卷）椭圆 的两个焦点F1、F2，点P在椭圆C上，且P F1⊥F1F2,,| P F1|= ,,| P F2|= .（I）求椭圆C的方程；（II）若直线L过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线L的方程。 解法一：(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以 ，a=3. 在Rt△PF1F2中， 故椭圆的半焦距c= , 从而b2=a2－c2=4, 所以椭圆C的方程为 ＝1. (Ⅱ)设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）. 由圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0. 因为A，B关于点M对称. 所以 解得 ， 所以直线l的方程为 即8x-9y+25=0. (经检验，符合题意) 解法二：(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）. 设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1 x2且 ① ② 由①－②得 ③ 因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2, 代入③得 ＝ ，即直线l的斜率为 ， 所以直线l的方程为y－1＝ （x+2），即8x－9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.) 【问题2】圆锥曲线的定义的问题 例3．（四川卷）如图，把椭圆 的长轴 分成 等份，过每个分点作 轴的垂线交椭圆的上半部分于 七个点， 是椭圆的一个焦点，则 ; 例4．（江西卷）P是双曲线 的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ） A. 6 B.7 C.8 D.9 解：设双曲线的两个焦点分别是F1（－5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9故选B 【问题3】直线与圆锥曲线位置关系问题 利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明. 例5．P104例3 例6．（浙江卷），椭圆 ＝1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e= .(Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)设F 、F 分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF 的中点，求证：∠ATM=∠AF T. 本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。 解：（I）过点 、 的直线方程为 因为由题意得 有惟一解， 即 有惟一解， 所以 （ ）， 故 又因为 即 所以 从而得 故所求的椭圆方程为 （II）由（I）得 故 从而 由 解得 所以 因为 又 EMBED Equation.DSMT4 得 EMBED Equation.DSMT4 因此 例7．（福建卷）已知椭圆 的左焦点为F，O为坐标原点。 （Ⅰ）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程； （Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点，线段 AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围. 本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。 解：（I） 圆过点O、F， 圆心M在直线 上。 设 则圆半径 由 得 解得 所求圆的方程为 （II）设直线AB的方程为 代入 整理得 直线AB过椭圆的左焦点F， 方程有两个不等实根。 记 中点 则 的垂直平分线NG的方程为 令 得 点G横坐标的取值范围为 例8．（湖北卷）设 分别为椭圆 的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且 为它的右准线。（Ⅰ）、求椭圆的方程；（Ⅱ）、设 为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线 分别与椭圆相交于异于 的点 ，证明点 在以 为直径的圆内。 点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。 解：（Ⅰ）依题意得 a＝2c， ＝4，解得a＝2，c＝1，从而b＝ . 故椭圆的方程为 . （Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x0，y0）. ∵M点在椭圆上，∴y0＝ （4－x02）. eq \o\ac(○,1) 又点M异于顶点A、B，∴－20，∴ · >0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角， 故点B在以MN为直径的圆内。 解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则－2b>0),其半焦距c=6 ∴ ,b2=a2-c2=9. 所以所求椭圆的标准方程为 （2）点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线y=x的对称点分别为点P，(2，5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6). 设所求双曲线的标准方程为 由题意知，半焦距c1=6 ,b12=c12-a12=36-20=16. 所以所求双曲线的标准方程为 7．（全国卷I）在平面直角坐标系 中，有一个以 和 为焦点、离心率为 的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与 轴的交点分别为A、B，且向量 。求： （Ⅰ）点M的轨迹方程； （Ⅱ） 的最小值。 .解: 椭圆方程可写为: eq \f(y2,a2) + eq \f(x2,b2) =1 式中a>b>0 , 且 EQ \b\lc\{(\a\al(a2－b2 =3,\f(\r(3),a) =\f(\r(3),2))) 得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为: x2+ eq \f(y2,4) =1 (x>0,y>0). y=2 eq \r(1－x2) (01,y>2) (Ⅱ)| 2= x2+y2, y2= eq \f(4,1－\f(1,x2)) =4+ eq \f(4,x2－1) , ∴ 2= x2－1+ eq \f(4,x2－1)+5≥4+5=9.且当x2－1= eq \f(4,x2－1) ,即x= eq \r(3)>1时,上式取等号. 故 的最小值为3. 8．(上海卷)在平面直角坐标系 O 中，直线 与抛物线 ＝2 相交于A、B两点． （1）求证：“如果直线 过点T（3，0），那么 EMBED Equation.3 ＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．（15班） [解]（1）设过点T(3,0)的直线 交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2). 当直线 的钭率不存在时,直线 的方程为x=3,此时,直线 与抛物线相交于点A(3, )、B(3,－ ). ∴ =3； 当直线 的钭率存在时,设直线 的方程为 ，其中 ， 由 得 又 ∵ ， ∴ ， 综上所述，命题“如果直线 过点T(3,0)，那么 =3”是真命题； (2)逆命题是：设直线 交抛物线y2=2x于A、B两点,如果 =3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题. 例如：取抛物线上的点A(2,2)，B( ,1)，此时 =3,直线AB的方程为： ，而T(3,0)不在直线AB上； 说明：由抛物线y2=2x上的点A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足 =3，可得y1y2=－6， 或y1y2=2，如果y1y2=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2，可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0). 9．（全国II）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且EQ \O(AF,\S\UP8(→))＝λEQ \O(FB,\S\UP8(→))（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ． （Ⅰ）证明EQ \O(FM,\S\UP8(→))·EQ \O(AB,\S\UP8(→))为定值； （Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．（15班） 解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由EQ \O(AF,\S\UP8(→))＝λEQ \O(FB,\S\UP8(→))， 即得　　(－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)， EQ \b\lc\{(\a\al(－x\S\do(1)＝λx\S\do(2) ①,1－y\S\do(1)＝λ(y\S\do(2)－1) ②)) 将①式两边平方并把y1＝EQ \f(1,4)x12，y2＝EQ \f(1,4)x22代入得　　y1＝λ2y2 ③ 解②、③式得y1＝λ，y2＝EQ \f(1,λ)，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4， 抛物线方程为y＝EQ \f(1,4)x2，求导得y′＝EQ \f(1,2)x． 所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是 y＝EQ \f(1,2)x1(x－x1)＋y1，y＝EQ \f(1,2)x2(x－x2)＋y2，即y＝EQ \f(1,2)x1x－EQ \f(1,4)x12，y＝EQ \f(1,2)x2x－EQ \f(1,4)x22． 解出两条切线的交点M的坐标为(EQ \f(x\S\do(1)＋x\S\do(2),2)，EQ \f(x\S\do(1)x\S\do(2),4))＝(EQ \f(x\S\do(1)＋x\S\do(2),2)，－1)． ……4分 所以EQ \O(FM,\S\UP8(→))·EQ \O(AB,\S\UP8(→))＝(EQ \f(x\S\do(1)＋x\S\do(2),2)，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝EQ \f(1,2)(x22－x12)－2(EQ \f(1,4)x22－EQ \f(1,4)x12)＝0 所以EQ \O(FM,\S\UP8(→))·EQ \O(AB,\S\UP8(→))为定值，其值为0．　　　……7分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝EQ \f(1,2)|AB||FM|． |FM|＝EQ \r(,(\f(x\S\do(1)＋x\S\do(2),2))\S(2)＋(－2)\S(2))＝EQ \r(,\f(1,4)x\S\do(1)\S(2)＋\f(1,4)x\S\do(2)\S(2)＋\f(1,2)x\S\do(1)x\S\do(2)＋4)＝EQ \r(,y\S\do(1)＋y\S\do(2)＋\f(1,2)×(－4)＋4) ＝EQ \r(,λ＋\f(1,λ)＋2)＝EQ \r(,λ)＋EQ \f(1,\r(,λ))． 因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以 |AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋EQ \f(1,λ)＋2＝(EQ \r(,λ)＋EQ \f(1,\r(,λ)))2． 于是　　S＝EQ \f(1,2)|AB||FM|＝(EQ \r(,λ)＋EQ \f(1,\r(,λ)))3， 由EQ \r(,λ)＋EQ \f(1,\r(,λ))≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4． 10．（山东卷）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4.。(Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)直线 过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线l的方程.（15班） 解：设椭圆方程为 （Ⅰ）由已知得 EMBED Equation.DSMT4 ∴所求椭圆方程为 . （Ⅱ）解法一：由题意知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 由 ，消去y得关于x的方程： 由直线 与椭圆相交于A、B两点， 解得 又由韦达定理得 EMBED Equation.DSMT4 原点 到直线 的距离 . 解法1：对 两边平方整理得： （*） ∵ ， 整理得： 又 ， 从而 的最大值为 ， 此时代入方程（*）得 EMBED Equation.DSMT4 所以，所求直线方程为： . 解法2：令 ， 则 EMBED Equation.DSMT4 当且仅当 即 时， 此时 . 所以，所求直线方程为 解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零.设直线l的方程为 ，则直线l与x轴的交点 ， 由解法一知 且 ， 解法1： = EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . 下同解法一. 解法2： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 = 下同解法一. � EMBED PBrush ��� 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.com _1214049405.unknown _1214052211.unknown _1214053403.unknown _1214053982.unknown _1214242370.unknown _1214243682.unknown _1214243782.unknown 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