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传染病模型(微分方程)

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传染病模型(微分方程)微分方程建模(传染病模型)的求解。 1、模型1:SI模型。 假设: (1) 时刻人群分为易感者(占总人数比例的 )和已感染者(占总人数比例的 ) (2)每个病人每天有效接触的平均人数是常数 , 称为日接触率,当健康者与病人接触时,健康者受感染成为病人。 分析:根据假设,每个患者每天可以使 个健康者变为病人,因为病人数为 ,所以每天共有 个健康者变为病人。即: ,且 ,设初始时刻病人比例为 ,则: ,用MATLAB解此微分方程: >> syms a b >> f=dsolve('Dy=a*y*(1...

传染病模型(微分方程)
微分方程建模(传染病模型)的求解。 1、模型1:SI模型。 假设: (1) 时刻人群分为易感者(占总人数比例的 )和已感染者(占总人数比例的 ) (2)每个病人每天有效接触的平均人数是常数 , 称为日接触率,当健康者与病人接触时,健康者受感染成为病人。 分析:根据假设,每个患者每天可以使 个健康者变为病人,因为病人数为 ,所以每天共有 个健康者变为病人。即: ,且 ,设初始时刻病人比例为 ,则: ,用MATLAB解此微分方程: >> syms a b >> f=dsolve('Dy=a*y*(1-y)','y(0)=b','t') f = 1/(1-exp(-a*t)*(-1+b)/b) % 当 时,分别在坐标系 中作出 的图像,坐标系 中作出 的图像, >> a=0.1; >> b=0.09; >> h=dsolve('Dy=a*y*(1-y)','y(0)=b','t') h = 1/(1-exp(-a*t)*(-1+b)/b) >> f=subs(h) f = 1/(1+91/9*exp(-1/10*t)) 的图像 >> ezplot(f,[0,60]) >> grid on >> figure (2) >> fplot('0.1*y*(1-y)',[0,1]) >> grid on 的图像 模型分析:(1)当 时, 达到最大值,则此时病人增速最快。 (2)当 时, ,即所有的人被传染,全部变为病人,这显然是不符合实际的,其原因是没有考虑到病人可以治愈,人群中的健康者只能变为病人,而病人不会变为健康者。 2、模型2:SIS模型。 假设: (1) 时刻人群分为易感者(占总人数比例的 )和已感染者(占总人数比例的 ) (2)每个病人每天有效接触的平均人数是常数 , 称为日接触率,当健康者与病人接触时,健康者受感染成为病人。 (3)病人每天被治愈的占病人总数的比例为 ,称为日治愈率,显然 为这种传染病的平均传染期。则 。则建立微分方程模型为: 用MATLAB解此微分方程: >> h2=dsolve('Dy=a*y*(1-y)-c*y','y(0)=b','t') h2 = (a-c)/(a-exp(-(a-c)*t)*(-a+c+b*a)/b/(a-c)*a+exp(-(a-c)*t)*(-a+c+b*a)/b/(a-c)*c) >> pretty(h2) / exp(-(a - c) t) (-a + c + b a) a (a - c)/|a - -------------------------------- \ b (a - c) exp(-(a - c) t) (-a + c + b a) c\ + --------------------------------| b (a - c) / 化简: EMBED Equation.DSMT4 即: 。 当(1) 时, ; (2) 时, >> clear >> h2=dsolve('Dy=a*y*(1-y)-a*y','y(0)=b','t') h2 = 1/(a*t+1/b) 即: 。 定义 :一个传染期内每个病人有效接触的平均人数。 则: ,用MATLAB作图像: 令 , , ( ) >> clear >> a=0.01;b=0.7;c=0.05; >> h2=dsolve('Dy=a*y*(1-y)-c*y','y(0)=b','t'); >> h22=subs(h2) h22 = -1/25/(1/100-47/700*exp(1/25*t)) >> ezplot(h22,[0,120]) >> grid on 的图像 令 , , EMBED Equation.DSMT4 分别作图( ) >> a=0.3;b=0.7;c=0.15; >> h2=dsolve('Dy=a*y*(1-y)-c*y','y(0)=b','t'); >> h23=subs(h2) h23 = 3/20/(3/10-3/35*exp(-3/20*t)) >> subplot(2,1,1) >> ezplot(h23,[0,25]) >> grid on >> b=0.3; >> h24=subs(h2); >> subplot(2,1,2) >> ezplot(h24,[0,25]) grid on 的图像(上面 ,下面 ) 模型分析:(1) 时,病人比例越来越少,最终趋于零,这是因为传染期内经有效接触从而使健康者变为病人数不超过原来病人数的缘故。 (2) 时,病人比例 增减性是由 来决定,其极限值 随着 的增加而增加。 3、模型3:SIR模型。 假设:(1)人群分为健康者,其比例 、病人 、病愈免疫的移出者 。 (2)病人的日接触率为 ,日治愈率为 ,传染期接触数为 。 则 , 对于病愈者而言, , 设初始时刻的健康者和病人的比例为 和 ,则建立微分方程模型为: 由于此微分方程组的解析解无法求出,则转为相平面 上讨论解的性质。 相轨线的定义域 应为: ,由方程组消去 并将 得: 用matlb求解: >> dsolve('Dy=1/cma/s-1','y(s0)=y0','s') ans = 1/cma*log(s)-s-1/cma*log(s0)+s0+y0 >> pretty(ans) log(s) log(s0) ------ - s - ------- + s0 + y0 cma cma 即 (相轨线) 定义域内, 时, 分别取 , , , 在同一直角坐标系中作出其图像: >> cma=1;y0=0.3;s0=0.65; >> clear >> f=dsolve('Dy=1/cma/s-1','y(s0)=y0','s'); >> cma=1;y0=0.3;s0=0.65; >> f1=subs(f); >> ezplot(f1,[0,1]) >> hold on >> y0=0.4;s0=0.35; >> f2=subs(f); >> ezplot(f2,[0,1]) >> hold on >> y0=0.5;s0=0.45; >> f3=subs(f); >> ezplot(f3,[0,1]) >> hold on SIR模型的相轨线 >> y0=0.7;s0=0.25; >> f4=subs(f); >> ezplot(f4,[0,1]) >> hold on >> ezplot('1-s',[0,1]) >> grid on 模型分析:(1)不论初始条件 , 如何,病人比例越来越少,最终消失。 (2)最终未被感染的健康者的比例是 ,在 中。令 时, 的单根即为 :最终未被感染的健康者的比例。在图像上:相轨线与 轴在 内交点的横坐标。 (3)当 时传染病不会蔓延,(如最左边的曲线,随着 的增加,病人数 在减小)。所以提高医疗卫生水平(使日接触率 减小或者使日治愈率 增大),从而使 变大,也可降低 (设 ,则 ),则 , ,即使免疫者比例增大。这其实是比较困难的。如 , 。 _1338906192.unknown _1338917596.unknown _1338920285.unknown _1338921255.unknown _1338922216.unknown _1338922309.unknown _1338922389.unknown _1338922565.unknown _1338922566.unknown _1338922418.unknown _1338922325.unknown _1338922235.unknown _1338921390.unknown _1338922173.unknown _1338921493.unknown _1338921353.unknown _1338920506.unknown _1338920638.unknown _1338920649.unknown _1338920565.unknown _1338920419.unknown _1338920474.unknown _1338920300.unknown _1338918571.unknown _1338919373.unknown _1338919490.unknown _1338919491.unknown _1338919403.unknown _1338919290.unknown _1338919354.unknown _1338918990.unknown _1338918282.unknown _1338918450.unknown _1338918471.unknown _1338918327.unknown _1338918109.unknown _1338918257.unknown _1338917607.unknown _1338916297.unknown _1338917246.unknown _1338917367.unknown _1338917520.unknown _1338917521.unknown _1338917396.unknown _1338917284.unknown _1338917337.unknown _1338917272.unknown _1338916731.unknown _1338916872.unknown _1338916873.unknown _1338916774.unknown _1338916490.unknown _1338916706.unknown _1338916336.unknown _1338914809.unknown _1338915561.unknown _1338916082.unknown _1338916098.unknown _1338915609.unknown _1338915638.unknown _1338914924.unknown _1338915530.unknown _1338915545.unknown _1338914923.unknown _1338906709.unknown _1338914528.unknown _1338914661.unknown _1338906833.unknown _1338906554.unknown _1338906651.unknown _1338906363.unknown _1338885697.unknown _1338901366.unknown _1338901920.unknown _1338906011.unknown _1338906133.unknown _1338905883.unknown _1338901784.unknown _1338901898.unknown _1338901696.unknown _1338885788.unknown _1338901244.unknown _1338901348.unknown _1338901213.unknown _1338885698.unknown _1338885787.unknown _1338884602.unknown _1338884893.unknown _1338885594.unknown _1338885528.unknown _1338884772.unknown _1338884773.unknown _1338884650.unknown _1338884518.unknown _1338884561.unknown _1338884086.unknown _1338884221.unknown _1338884239.unknown _1338884134.unknown _1338884039.unknown
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