第一章_张量初步及应力、应变基本方程

null岩土塑性力学岩土塑性力学参考文献： 龚晓南：土塑性力学 徐秉业：塑性理论引论 陆明万等：弹性理论基础 孙炳楠等：工程弹塑性力学 郑颖人等：岩土塑性力学原理教师：徐平 下载：ftp://202.197.185.21:2007 TEL:13733189057第一章 张量初步及应力、应变基本方程第一章 张量初步及应力、应变基本方程1.1 张量初步 1.2 一点的应力状态 1.3 最大(最小)剪应力 1.4 应力张量的分解 1.5 八面体应力、等效应力 1.6 应力圆和洛德(Lode)参数 1.7 应力空间 1.8 应力路径 1.9 应变张量的分解 1.10 应变空间与应变π平面 1.11 各种剪切应变间的关系 1.12 应力和应变的基本方程1.1 张量初步1.1 张量初步 力学中常用的量可以分成几类：只有大小没有方向性的物理量称为标量，通常用一个字母来表示，例如温度T、密度ρ、时间t等。既有大小又有方向的物理量称为矢量，常用黑体字母(或字母上加一箭头)来表示，例如矢径r( )和力F( )等。具有多重方向性的的更为复杂的物理量称为张量，常用黑体字母或字母下加一横表示，例如一点的应力状态可以用应力张量σ( )表示，它具有二重方向性，是二阶张量，而标量和矢量分别为零阶和一阶张量。 矢量可以在参考直角坐标系下分解，以位移矢量u为例，它可以表示成位移分量ux、 uy 、 uz与基矢ex、 ey 、 ez的乘积之和的形式： 矢量可以在参考直角坐标系下分解，以位移矢量u为例，它可以表示成位移分量ux、 uy 、 uz与基矢ex、 ey 、 ez的乘积之和的形式： (1-1)x1=xuu2(uy)u3(uz)u1(ux)e2( j )e1( i )e3( k )x2=yx3=zo图1.1 位移矢量的分解指标：对于一组性质相同的n个量可以用相同的名字加不同的指标来表示，例如位移u的分量可用ui(i=1,2,3)表示，这里的i就是指标。今后约定，如果不标明取值范围，则拉丁字母i，j，k，···均表示三维指标，取值1，2，3，例如，采用ui可以表示u1、 u2和 u3三个数值，这种名字加指标的记法称为指标符号。指标：对于一组性质相同的n个量可以用相同的名字加不同的指标来表示，例如位移u的分量可用ui(i=1,2,3)表示，这里的i就是指标。今后约定，如果不标明取值范围，则拉丁字母i，j，k，···均表示三维指标，取值1，2，3，例如，采用ui可以表示u1、 u2和 u3三个数值，这种名字加指标的记法称为指标符号。指标符号的正确用法：(1) 三维空间中任意点的三个直角坐标通常记为x，y和z。指标符号可缩写成xi ，其中x1= x， x2= y， x3= z。 引入爱因斯坦求和约定： 如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和，该重复指标称为哑指标，或简称哑标。 用哑标代替求和符号∑，则位移矢量u和点积a·b可表示成：u=uiei，a·b=aibi。显然，aibi =biai，即矢量点积的顺序可以交换：a·b= b·a；由于哑标仅表示遍历求和，因此可以成对地任意换标，例如a·b=aibi=ajbj=akbk。 引入爱因斯坦求和约定： 如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和，该重复指标称为哑指标，或简称哑标。 用哑标代替求和符号∑，则位移矢量u和点积a·b可表示成：u=uiei，a·b=aibi。显然，aibi =biai，即矢量点积的顺序可以交换：a·b= b·a；由于哑标仅表示遍历求和，因此可以成对地任意换标，例如a·b=aibi=ajbj=akbk。(2) 矢量a和b的分量可分别记为ai 和bi ，它们的点积为： (1-2)(3) 对于各向同性的均质弹性体，物理方程可描述为：(3) 对于各向同性的均质弹性体，物理方程可描述为：采用张量，则物理方程可表示： (1-3) i和j为自由指标，表示轮流取该指标范围内的任何值，关系式将始终成立，式中σij和εij分别表示9个应力和应变分量：采用张量，则物理方程可表示： (1-3) i和j为自由指标，表示轮流取该指标范围内的任何值，关系式将始终成立，式中σij和εij分别表示9个应力和应变分量：k为哑标，δij为Kronecher符号：δij =1(i=j)， δij =0(i≠j)，根据场论，δij可以表示两个基矢的点积：δij =ei· ej注意： aibj 表示9个数，而 aibi则只是一个数。null自由指标和哑标举例：null 的应用与计算示例如下： (1) (2) (3) (4) (5) (6)(4) 指标符号同样适用于微分关系。例如，三维空间中线元长ds和其分量dxi之间的关系：(ds)2= (dx1)2+(dx2)2+(dx3)2可以写成： (ds)2= dxidxi。再如多变量函数f(x1,x2,x3)的全微分可写成 。(4) 指标符号同样适用于微分关系。例如，三维空间中线元长ds和其分量dxi之间的关系：(ds)2= (dx1)2+(dx2)2+(dx3)2可以写成： (ds)2= dxidxi。再如多变量函数f(x1,x2,x3)的全微分可写成 。对于不计体力的平衡微分方程，则可表示成： (1-4) 更进一步可表示为： ，这里下标“ , j ”表示对xj求偏导。则几何方程可表示成：则几何方程可表示成：更进一步得可表示成：在几何方程中，为了表示方便，在这里及以后的讨论中，统统采用ux、uy和uz来分别表示u、v和w。对于体积应变e：则可表示成： (1-6)(1-5)(5) 哑标只能成对地出现，若要对在同项内出现两次以上的指标遍历求和，必须：(5) 哑标只能成对地出现，若要对在同项内出现两次以上的指标遍历求和，必须： 综上所述，能过哑标可把许多项缩成一项，通过自由指标又可把许多方程缩成一个方程。一般来讲，在一个用指标符号写出的方程中，若有k个自由指标，它们的取值范围都是1~n，则更有nk个分量方程；在方程的某项中若现时出现m对取范围为1~n的哑指标，则此项表示了互相叠加的nm项。(6) 一般来讲，由aibi = aici 并不能推导得出bi = ci 。1.2 一点的应力状态1.2 一点的应力状态图1.2 一点的应力状态null图1.3 倾斜面上的应力xyzNτzyτzxσzσxτxzτxyσyτyxτyzonull应力张量：或： 如果作用在这个倾斜面上只有正应力，而没有倾斜面上沿x方向的力为yxznτzxσxτyxpxγβα同理，可以得到张量方程： 如果作用在这个倾斜面上只有正应力，而没有(1-8)(1-7)剪应力，则倾斜面上的总应力就是主应力，倾斜面的方向就是主应力方向，用σ表示，它在各坐标轴上的投影为：式(1-9)有零解的条件是： (1-10)式(1-9)有零解的条件是： (1-10) 将 代入 ，可得：(1-9)(1-11)null(1-12) 方程 称为应力状态的特征方程，它有三个实根，并规定 ，当坐标方向改变时，应力分量将改变，但主应力的数值不变，故I1、I2和I3又称为应力张量不变量， I1、I2和I3通常又分别叫做应力张量第一不变量、第二不变量和第三不变量，另外还可以证明三个主应力方向是相互垂直的。根据方程 ， I1、I2和I3又可以写成： 方程 称为应力状态的特征方程，它有三个实根，并规定 ，当坐标方向改变时，应力分量将改变，但主应力的数值不变，故I1、I2和I3又称为应力张量不变量， I1、I2和I3通常又分别叫做应力张量第一不变量、第二不变量和第三不变量，另外还可以证明三个主应力方向是相互垂直的。根据方程 ， I1、I2和I3又可以写成： (1-13) 1.4 主应力分布图例题：已知已知一点的应力状态为以下一组应力分量所确定：σx =3，σy =0，σz=0，τxy=1，τyz=2，τzx=1，应力单位为MPa。试求该点的主应力值。 例题：已知已知一点的应力状态为以下一组应力分量所确定：σx =3，σy =0，σz=0，τxy=1，τyz=2，τzx=1，应力单位为MPa。试求该点的主应力值。 1.3 最大(最小)剪应力1.3 最大(最小)剪应力根据 ，以及关系式 可得倾斜面上的剪切应力：要使 取得极值，则须： 和(1-14) 于是有：于是有：同理：(1-14a) (1-14b) nulln1n2n3±1000000±1±1000000(1-14) 表1.1 最大(最小)剪应力及方向null主剪应力图1.5 主剪应力的方向最大和最小的剪应力，在数值上等于最大主应力与最小主应力之差的一半，作用在通过中间主应力并且“平分最大主应力与最小主应力夹角”的平面上。(1-15) null1.4 应力张量的分解图1.6 应力张量的分解(1-16) null◆ 岩土材料在球应力张量作用下，一般也会出 现塑性体变，从而出现奇异屈服面。这里， ，我们定义 为球应力张量，又称球形 应力张量，简称为球张量，球形应力张量表示各向均匀受 力状态，有时也称静水压力状态， 又常写作 。而 则称为偏斜应力张量，简称为应力偏量。将原应力状态减 去静水压力即可得到应力偏量状态。球张量引起物体的体 积改变，而应力偏量则引起物体的形状改变。null1.4.1 主偏应力(1-17) null1.4.2 应力偏量不变量(1-18) (1-13) nullnull1.5 八面体应力、等效应力等斜面正八面体图1.7 应力张量的分解null1.5.1 八面体应力(1-19a) (1-19b) (1-19c) (1-19d) null1.5.2 八面体剪应力的方位角1 八面体剪应力的方位可以通过它的方位 来确定。设应力主轴1、2、3在正八面体上的投影O'A、 O'B、 O'C，则 便是八面体剪应力与O'C的反方向O'D之间的夹角。2 3 O A B CO' D 图1.8 八面体剪应力方位角 O 3 CO' γ 同理： ；null由于(1-20)O'，故于是，由式(1-20)可得：即：(1-21) 一点的应力状态可以用主应力 来表示，也可以用另外三个量来表示，即八面体正应力 ，八面体剪应力 以及八面体剪应力的方位角 。null（1-22）1.5.3 应力强度(1)应力强度又称等效应力或广义剪应力，用 表示。 材料处于单向拉伸应力状态时， ， ；常规三轴试验， ， ；纯剪作用时，(2)纯剪应力又称剪应力强度，用 表示。（1-23）纯剪时：null 1.5.4 应力的求解null1.6 应力圆和洛德(Lode)参数 通过某点各个微分面上的法向应力 和剪应力 都可以由应力摩尔圆相应点的坐标来表示。设该点坐标轴方向与主应力方向一致，微分面法线方向余弦为 ，于是有：1.6.1 应力圆null（1-24）于是有：null 因为 ，而且这些等式的左边部分皆为正，所以应该有：（1-25）经过化简后得：（1-26）null图1.9 应力摩尔圆 null1.6.2 应力椭球图1.10 应力椭球 取坐标轴方向与主应力方向一致，微分面法线方向余弦为 ，于是 ,进一步有：（1-27）null1.6.3 Lode (罗德)系数和Lode角o A o1o2o3C B（1-28）图1.11 应力摩尔圆 如果一点的主应力之间的比值有了改变，则应力摩尔圆的三个直径之间的比例也随之改变。这种情况相当于应力偏张量的形式有了改变。为了描述应力偏张量的形式，可以应用Lode(1925)提出的系数，通常称为Lode参数。 即图中的 O2C与O2B之比。null（1-29）Lode参数界于-1和1 之间，即纯拉时， 纯剪时， 纯压时，O'（1-30）null图1.12注意， 均为负值，常规三轴压缩试验时， 常规三轴伸长(拉伸)试验时，null在岩土塑性理论中，常以 或( )来表示应力状态。 常规三轴压缩( ) 常规三轴拉伸( )在岩土相关的课程中，往往以压为正。 (1-32)(1-31)null主应力空间与平面等顷线平面应力点等倾线：在主应力空间，通过原点与三条坐标轴成相同夹角的直线，又称主对角线。1.7 应力空间π平面：与等倾线垂直的平面，其方程为(1-33)子午面：在主应力空间，包括等倾线的平面。一个应力状态可以用应力空间中的一个点表示，或用该点与坐标原点形成的矢量来表示，该点叫应力点，该矢量叫应力矢量。图1.13 应力空间 nullOP在应力空间等倾线上的投影为OQ，则 平面上剪应力：(1-34) 平面上主应力：(1-35)由于平面上只有 ，而且 本身只与应力偏量有关，因此平面又叫作偏量平面。null图1.15主应力在平面上的投影图1.14 的模与方位角(Lode角)如图1.15所示，将应力 向 平面作投影，相应地得到 ，在平面内取坐标系oxy，其中y轴方向与 在平面上的投影一致，如图1.14所示。O'P'与x轴的夹角就是Lode角。null(1-36a)(1-36b)(1-36c)(1-36d)(1-36e)由于 ，所以， ，即 null 前面已经提到，物体中一点的应力状态可以用应力空间中的一点(应力点)来表示，一点应力状态的变化可以用应力点在应力空间的运动轨迹来描述，应力点的运动轨迹称为应力路径。在有效主应力空间中，可得到有效应力路径，简称ESP (Effective Stress Path)，在主应力空间可得到总应力路径，简称TSP (Total Stress Path) 。1.8 应力路径图1.16 有效应力路径null各正应力与I1平均应力八面体正应力π平面上的正应力分量应力张量第 一不变量表1.2 各正应力与应力张量第一不变量I1之间的关系null各剪应力与J2广义剪应力八面体剪应力π平面上的剪应力分量应力偏量第 二不变量表1.3 各剪应力与应力偏量第二不变量J2之间的关系纯剪应力null 不同加荷方式的应力路径等压固结K0固结三轴压缩剪切三轴伸长剪切图1.17三轴仪上的应力条件null图1.18 各向等压力固结排水三轴试验在p-q平面上的应力路径po拉伸压缩压缩破坏线拉伸破坏线各向等压力固结轴向压缩A径向压缩轴向拉伸各向等压力固结： 。(1)轴向压缩试验中，径向应力保持不变，轴向应力增加；(2)轴向拉伸试验中，径向应力保持不变，轴向应力减小；(3)径向压缩试验中，轴向应力保持不变，径向应力增加。null总应力路径有效应力路径破坏时孔压图1.19 不排水条件三轴压缩试验的总应力路径和有效应力路径null图1.20 变形分解1.9 应变张量的分解(1-37a)null(1-37b) 是三个主应变， 为应变张量的三个不变量。(1-37c) 为应变偏量的三个不变量。null应变空间：三个主应变构成的三维空间应变平面的方程：平面上法向应变： 平面上剪应变：1.10 应变空间与应变平面图1.21应变空间与应变平面(1-38a)(1-38b)(1-38c)null 八面体上正应变： 八面体上剪应变： 广义剪应变（又称应变强度）： 纯剪应变（剪应力强度）：1.11 各种剪应变(1-39a)(1-39b)(1-39c)(1-39d)null各剪应变与J'2广义剪应变八面体剪应变π平面上的剪应变分量偏应变张量第二不变量表1.4 各剪应变与应变偏量第二不变量J'2之间的关系纯剪应变null体力和面力Fi，Ti位移ui应力ij应变ij平衡相容性 （几何）本构关系固体力学问题解法中各种变量的相互关系1.12 应力和应变的基本方程