2006高等学校全国统一数学文试
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
(江西卷)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合P={x|x(x-1)≥0},Q={x|EQ \f(1,x-1)>0},则P∩Q等于( )
A.( B.{x|x≥1} C.{x|x>1} D.{x|x≥1或x<0}
2.函数y=4sin(2x+EQ \f(π,3))+1的最小正周期为( )
A.EQ \f(π,2) B.π C.2π D.4π
3.在各项均不为零的等差数列{an}中,若an+1-an2+an-1=0(n≥2),则S2n-1-4n=( )
A.-2 B.0 C.1 D.2
4.下列四个条件中,p是q的必要不充分条件的是( )
A.p:a>b,q:a2>b2 B.p:a>b,q:2a>2b
C.p:ax2+by2=c为双曲线,q:ab<0 D.p:ax2+bx+c>0,q:EQ \f(c,x\S(2))+EQ \f(b,x)+a>0
5.对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f ′(x)≥0,则必有( )
A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1)
C.f(0)+f(2)≥2f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1)
6.若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0,EQ \f(1,2)]成立,则a的最小值为( )
A.0 B.-2 C.-EQ \f(5,2) D.-3
7.在EQ \b\bc\((\r(,x)+\f(2,x))\S\up10(n)的二项展开式中,若常数项为60,则n等于( )
A.3 B.6 C.9 D.12
8.袋中有40个小球,其中红色球16个、蓝色球12个,白色球8个,黄色球4个,从中随机抽取10个球作成一个样本,则这个样本恰好是按分层抽样
方法
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得到的概率为( )
A.EQ \f(C\S(1,4)C\S(2,8)C\S(3,12)C\S(4,16),C\S(10,40)) B.EQ \f(C\S(2,4)C\S(1,8)C\S(3,12)C\S(4,16),C\S(10,40)) C.EQ \f(C\S(2,4)C\S(3,8)C\S(1,12)C\S(4,16),C\S(10,40)) D.EQ \f(C\S(1,4)C\S(3,8)C\S(4,12)C\S(2,16),C\S(10,40))
9.如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥”,四条侧棱称为它的腰,以下4个命题中,假命题是( )
A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若EQ \O(OB,\S\UP8(→))=a1EQ \O(OA,\S\UP8(→))+a200EQ \O(OC,\S\UP8(→)),且A、B、C三点共线(该直线不过点O),则S200等于( )
A.100 B.101 C.200 D.201
11.P为双曲线EQ \f(x\S(2),9)-EQ \f(y\S(2),16)=1的右支上一点,M、N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
12.某地一天内的气温Q(t)(单位:℃)与时刻t(单位:时)之间的关系如图(1)所示,令C(t)
表
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示时间段[0,t]内的温差(即时间段[0,t]内最高温度与最低温度的差).C(t)与t之间的函数关系用下列图象表示,则正确的图象大致O是
第II卷
二、填空题:本大题4小题,每小题4分,共16分.请把答案填在答题卡上.
13.已知向量a=(1,sinθ),b=(1,cosθ),则|a-b|的最大值为 .
14.设f(x)=log3(x+6)的反函数为EQ f\S(-1)(x),若[EQ f\S(-1)(m)+6][EQ f\S(-1)(n)+6]=27,则f(m+n)= .
15.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1,高为8,一质点自A点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为 .
16.已知F1、F2为双曲线EQ \f(x\S(2),a\S(2))-\f(y\S(2),b\S(2))=1(a>0,b>0且a≠b)的两个焦点,P为双曲线右支上异于顶点的任意一点,O为坐标原点.下面四个命题( )
(A)△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=a上;
(B)△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=b上;
(C)△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上;
(D)△PF1F2的内切圆必通过点(a,0).
其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号).
三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-EQ \f(2,3)与x=1时都取得极值.
(1)求a.b的值及函数f(x)的单调区间;
(2)若对x∈[-1,2],不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.
18.(本小题满分12分)
某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球,记下颜色后放回,摸出一个红球获得二得奖;摸出两个红球获得一等奖.现有甲、乙两位顾客,
规定
关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定
:甲摸一次,乙摸两次.求
(1)甲、乙两人都没有中奖的概率;
(2)甲、两人中至少有一人获二等奖的概率.
19.(本小题满分12分)
在锐角△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知sinA=EQ \f(2\r(,2),3),
(1)求tan2EQ \f(B+C,2)+sin2EQ \f(A,2)的值;
(2)若a=2,S△ABC=EQ \r(,2),求b的值.
20.(本小题满分12分)
如图,已知三棱锥O-ABC的侧棱OA、OB、OC两两垂直,且OA=1,OB=OC=2,E是OC的中点.
(1)求O点到面ABC的距离;
(2)求异面直线BE与AC所成的角;
(3)求二面角E-AB-C的大小.
21.(本小题满分12分)
如图,椭圆Q:EQ \f(x\S(2),a\S(2))+\f(y\S(2),b\S(2))=1(a>b>0)的右焦点为F(c,0),过点F的一动直线m绕点F转动,并且交椭圆于A、B两点,P为线段AB的中点.
(1)求点P的轨迹H的方程;
(2)若在Q的方程中,令a2=1+cosθ+sinθ,b2=sinθ(0<θ≤EQ \f(π,2)).
设轨迹H的最高点和最低点分别为M和N.当θ为何值时,△MNF为一个正三角形?
22.(本小题满分14分)
已知各项均为正数的数列{an},满足:a1=3,且EQ \f(2a\S\do(n+1)-a\S\do(n),2a\S\do(n)-a\S\do(n+1))=anan+1,n∈N*.
(1)求数列{an}的通项
公式
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;
(2)设Sn=EQ a\S(2,1)+EQ a\S(2,2)+…+EQ a\S(2,n),Tn=EQ \f(1,a\S(2,1))+EQ \f(1,a\S(2,2))+…+EQ \f(1,a\S(2,n)),求Sn+Tn,并确定最小正整数n,使Sn+Tn为整数.
文科数学试题参考答案
一、选择题:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
D
C
C
B
A
B
A
D
D
1.已知集合P={x|x(x-1)≥0}=
,Q={x |EQ \f(1,x-1)>0}=
,则P∩Q等于{x|x>1},选C.
2.函数y=4sin(2x+EQ \f(π,3))+1的最小正周期为
选B.
3.在各项均不为零的等差数列{an}中,若an+1-an2+an-1=0(n≥2),
,∵
≠0,∴
=2,则S2n-1-4n=
,选A.
4.下列四个条件中,p是q的必要不充分条件的是D,即若p:ax2+bx+c>0成立,推不出q:EQ \f(c,x\S(2))+EQ \f(b,x)+a>0(例如x=0);若q:EQ \f(c,x\S(2))+EQ \f(b,x)+a>0成立,则x≠0,所以p:ax2+bx+c>0成立,选D.
5.对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)
(0,则当x≥1时,
,当x<1时,
,如f(x)=
,
,∴ (x-1)
≥0,此时f(0)=f(2)=1,f(1)=0,
∴ f(0)+f(2)>2f(1),若f(x)=1,则
, 也满足(x-1)
(0,此时f(0)+f(2)=2f(1),综上所述有f(0)+f(2)≥2f(1),选C.
6.不等式x2+ax+1(0对于一切x((0,
]成立,则
,当x((0,
]时,
的最大值是-
,所以a≥-
,选C.
7.在EQ \b\bc\((\r(,x)+\f(2,x))\S\up10(n)的二项展开式中,若n=6,则其常数项为
=60,所以取n=6,选B.
8.袋中有40个小球,其中红色球16个、蓝色球12个,白色球8个,黄色球4个,从中随机抽取10个球作成一个样本,若这个样本恰好是按分层抽样方法得到的,即红色球取4个、蓝色球取3个,白色球取2个,黄色球取1个,概率为EQ \f(C\S(1,4)C\S(2,8)C\S(3,12)C\S(4,16),C\S(10,40)),选A.
9.如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥”,四条侧棱称为它的腰,以下4个命题中,假命题是等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补,选B
10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若
EMBED Equation.DSMT4 ,且A、B、C三点共线(该直线不过原点O),∴
,
=100,选A.
11.P是双曲线
的右支上一点,F1(-5,0)、F2(5,0)是两个焦点,则
=6,又M、N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点,
,
,
∴ |PM|-|PN|≥
=9,选D.
12.某地一天内的气温Q(t)(单位:℃)与时刻t(单位:时)之间的关系如图(1)所示,令C(t)表示时间段[0,t]内的温差(即时间段[0,t]内最高温度与最低温度的差).C(t)与t之间的函数关系用下列图象表示,则正确的图象大致O是D.
二、填空题:
13.EQ \r(,2) 14.2 15.10 16.(A)(D)
13.已知向量a=(1,sinθ),b=(1,cosθ),则|a-b|=
,它的的最大值为
.
14.f(x)=log3(x+6)的反函数为f-1(x),∴
,[f-1(m)+6][f-1(n)+6]=27,
∴
,∴ m+n=3,f(m+n)=
.
15.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1,高为8,一质点自A点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点,则将三棱柱的侧面展开两次,成为一个高为8,底边长为6的长方形,该长方形的对角线的长
是最短路线的长.
16.已知F1、F2为双曲线EQ \f(x\S(2),a\S(2))-\f(y\S(2),b\S(2))=1(a>0,b>0且a≠b)的两个焦点,P为双曲线右支上异于顶点的任意一点,O为坐标原点.则下面四个命题中正确命题是(A)△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=a上;和(D)△PF1F2的内切圆必通过点(a,0).
三解答题:
17.解:⑴f(x)=x3+ax2+bx+c,f ′(x)=3x2+2ax+b,
由f ′(-EQ \f(2,3))=EQ \f(12,9)-EQ \f(4,3)a+b=0,f ′(1)=3+2a+b=0,得a=-EQ \f(1,2),b=-2.
f ′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函数f(x)的单调区间如下表:
x
(-∞,-EQ \f(2,3))
-EQ \f(2,3)
(-EQ \f(2,3),1)
1
(1,+∞)
f ′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以函数f(x)的递增区间为(-∞,-EQ \f(2,3))与(1,+∞);递减区间为(-EQ \f(2,3),1).
⑵f(x)=x3-EQ \f(1,2)x2-2x+c
x∈[-1,2],当x=-EQ \f(2,3)时,f(x)=EQ \f(22,27)+co为极大值,
而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值.
要使f(x)<c2(x∈[-1,2])恒成立,只须c2>f(2)=2+c,
解得c<-1或c>2.
18.解:⑴P1=EQ \f(9,10)×(EQ \f(9,10))2=(EQ \f(9,10))3;
⑵方法一:P2=EQ \f(1,10)×(EQ \f(9,10))2+EQ \f(1,10)×(EQ \f(1,10))2+EQ \f(9,10)×EQ \f(18,10\S(2))+EQ \f(1,10)×EQ \f(18,10\S(2))=EQ \f(262,1000)
方法二:P2=EQ \f(1,10)+2×EQ \f(1,10)×EQ \f(9,10)-EQ \f(1,10)×2×EQ \f(1,10)×EQ \f(9,10)=EQ \f(262,1000)
方法三:P2=1-EQ \f(9,10)×(EQ \f(1,10)×EQ \f(1,10)+EQ \f(9,10)×EQ \f(9,10))=EQ \f(262,1000).
19.解:⑴因为锐角△ABC中,A+B+C=π,sinA=EQ \f(2\r(,2),3),∴cosA=EQ \f(1,3),
则tan2EQ \f(B+C,2)+sin2EQ \f(A,2)=EQ \f(sin\S(2)(\f(B+C,2)),cos\S(2)(\f(B+C,2)))+sin2EQ \f(A,2)=EQ \f(1-cos(B+C),1+cos(B+C))+EQ \f(1,2)(1-cosA)=EQ \f(1+cosA,1-cosA)+EQ \f(1,3)=EQ \f(7,3).
⑵∵S△ABC=EQ \r(,2),又S△ABC=EQ \f(1,2)bcsinA=EQ \f(1,2)bc·EQ \f(2\r(,2),3)=EQ \r(,2),∴bc=3,
将a=2,cosA=EQ \f(1,3),c=EQ \f(3,b)代入余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,得
b4-6b2+9=0,解得b=EQ \r(,3).
20.⑴取BC的中点D,连AD、OD,
∵OB=OC,则OD⊥BC,AD⊥BC,
∴BC⊥面OAD,过O用OH⊥AD于H,
则OH⊥面ABC,OH的长度就是所要求的距离.
BC=2EQ \r(,2),OD=EQ \r(,OC\S(2)-CD\S(2))=EQ \r(,2).
∵OA⊥OB,OA⊥OC,
∴OA⊥面为BC,则OA⊥OD.
AD=EQ \r(,OA\S(2)+OD\S(2))=EQ \r(,3),在Rt△OAD中,有OH=EQ \f(OA·OD,AD)=EQ \f(\r(,2),\r(,3))=EQ \f(\r(,6),3).
(另解:由V=EQ \f(1,3)S△ABC·OH=EQ \f(1,6)OA·OB·OC=EQ \f(2,3),知OH=EQ \f(\r(,6),3).)
⑵取OA的中点M,连EM,BM,则EM∥AC,∠BEM是异面直线BE与AC所成的角.
求得:EM=EQ \f(1,2)AC=EQ \f(\r(,5),2),BE=EQ \r(,OB\S(2)+OE\S(2))=EQ \r(,5),BM=EQ \r(,OM\S(2)+OB\S(2))=EQ \f(\r(,17),2).
cos∠BEM=EQ \f(BE\S(2)+ME\S(2)-BM\S(2),2BE·ME)=EQ \f(2,5),∴BEM=arccosEQ \f(2,5).
⑶连结CH并延长交AB于F,连接OF、EF.
∵OC⊥面OAB,∴OC⊥AB,又∵OH⊥面ABC,∴CF⊥AB,EF⊥AB,
则∠EFC就是所求二面角的平面角.作EG⊥CF于G,则EG=EQ \f(1,2)OH=EQ \f(\r(,6),6).
在Rt△OAB中,OF=EQ \f(OA·OB,AB)=EQ \f(2,\r(,5)),
在Rt△OEF中,EF=EQ \r(,OE\S(2)+OF\S(2))=EQ \r(,1+\f(4,5))=EQ \f(3,\r(,5)),
sin∠EFG=EQ \f(EG,EF)=EQ \f(\f(\r(,6),6),\f(3,\r(,5)))=EQ \f(\r(,30),18),∠EFG=arcsinEQ \f(\r(,30),18).(或表示为arccosEQ \f(7\r(,6),18))
方法二:⑴以O为原点,OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.
则有A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1,0)
设平面ABC的法向量为n1=(x,y,z),
则由n1⊥EQ \O(AB,\S\UP8(→))知,n1·EQ \O(AB,\S\UP8(→))=2x-z=0;
由n1⊥EQ \O(AC,\S\UP8(→))知,n1·EQ \O(AC,\S\UP8(→))=2y-z=0.取
n1=(1,1,2),则点O到面ABC的距离为
d= \O(OA,\S\UP8(→))EQ \f(|n\S\do(1)·|,|n\S\do(1)|)
=EQ \f(2,\r(,1+1+4))=EQ \f(\r(,6),3).
⑵EQ \O(EB,\S\UP8(→))=(2,0,0)-(0,1,0)=(2,-1,0),
EQ \O(AC,\S\UP8(→))=(0,2,-1).
cos<EQ \O(EB,\S\UP8(→)),EQ \O(AC,\S\UP8(→))>=EQ \f(-2,\r(,5)·\r(,5))=-EQ \f(2,5),所以异面直线BE与AC所成的角为arccosEQ \f(2,5).
⑶设平面EAB的法向量n=(x,y,z),则由n⊥EQ \O(AB,\S\UP8(→))知,n·EQ \O(AB,\S\UP8(→))=2x-z=0;
n⊥EQ \O(EB,\S\UP8(→))知,n·EQ \O(EB,\S\UP8(→))=2x-y=0.取n=(1,2,2).
由⑴知平面ABC的法向量为n1=(1,1,2).
cos<n,n1>=EQ \f(n·n\S\do(1),|n|·|n\S\do(1)|)=EQ \f(1+2+4,\r(,9)·\r(,6))=EQ \f(7,3\r(,6))=EQ \f(7\r(,6),18),
结合图形可知,二面角E-AB-C的大小为arccosEQ \f(7\r(,6),18)
21.解:如图,⑴设椭圆Q:EQ \f(x\S(2),a\S(2))+\f(y\S(2),b\S(2))=1(a>b>0)上的点A(x1,y1)、B(x2,y2),又设P点坐标为P(x,y),
则EQ \b\lc\{(\a\al(b\S(2)x\S(2,1)+a\S(2)y\S(2,1)=a\S(2)b\S(2) ①,b\S(2)x\S(2,2)+a\S(2)y\S(2,2)=a\S(2)b\S(2) ②))
由①-②得
b2(x1-x2)2x+a2(y1-y2)2y=0.
1°当AB不垂直x轴时,由x1≠x2
得到EQ \f(y\S\do(1)-y\S\do(2),x\S\do(1)-x\S\do(2))=-EQ \f(b\S(2)x,a\S(2)y)=EQ \f(y,x-c),化简得:
b2x2+a2y2-b2cx=0 (*)
2°当AB垂直于x轴时,点P即为点F,满足方程(*)
所以点P的轨迹H的方程为b2x2+a2y2-b2cx=0.
⑵因为轨迹H的方程可化为:EQ \f((x-\f(c,2))\S(2),a\S(2))+EQ \f(y\S(2),b\S(2))=(EQ \f(c,2a))2.
∴M(EQ \f(c,2),EQ \f(bc,2a)),N(EQ \f(c,2),-EQ \f(bc,2a)),F(c,0),使△MNF为一个正三角形时,
则tanEQ \f(π,6)=EQ \f(\f(bc,2a),\f(c,2))=EQ \f(b,a),即a2=3b2.由于a2=1+cosθ+sinθ,b2=sinθ(0<θ≤EQ \f(π,2)),
则1+cosθ+sinθ=3sinθ,得θ=2arctanEQ \f(1,2)(或表示为θ=arctanEQ \f(4,3)).
22.解:⑴条件式化为an+1-EQ \f(1,a\S\do(n+1))=2(an-EQ \f(1,a\S\do(n)))
因此{an-EQ \f(1,a\S\do(n))}为一个等比数列,公比为2,首项为a1-EQ \f(1,a\S\do(1))=EQ \f(8,3),
所以an-EQ \f(1,a\S\do(n))=EQ \f(8,3)·2n-1=EQ \f(2\S(n+2),3)(n∈N*) ………①
因an>0,由①解出an=EQ \f(1,3)(2n+2+EQ \r(,2\S(2n+2)+9)) ……②
⑵由①有Sn+Tn=(a1-EQ \f(1,a\S\do(1)))2+(a2-EQ \f(1,a\S\do(2)))2+…+(an-EQ \f(1,a\S\do(n)))2+2n
=EQ (\f(2\S(3),3))\S\up8(2)+EQ (\f(2\S(4),3))\S\up8(2)+EQ (\f(2\S(5),3))\S\up8(2)+…+EQ (\f(2\S(2n+2),3))\S\up8(2)+2n
=EQ \f(64,27)(4n-1)+2n(n∈N*)
为使Sn+Tn=EQ \f(64,27)(4n-1)+2n为整数,当且仅当EQ \f(4\S(n)-1,27)为整数.
当n=1,2时,显然Sn+Tn不为整数,
当n≥3时,∵4n-1=(1+3)n-1=EQ C\S(1,n)·3+EQ C\S(2,n)·32+33(EQ C\S(3,n)+…+3n-3EQ C\S(n,n))
∴只需EQ \f(C\S(1,n)·3+C\S(2,n)·3\S(2),27)=EQ \f(n,9)·EQ \f(3n-1,2)为整数,
∵3n-1与3互质,∴n为9的整数倍.
当n=9时,EQ \f(n,9)·EQ \f(3n-1,2)=13为整数.
故n的最小正整数为9.
C(t)
O
16
t
20
16
A
C(t)
24
12
8
4
4
16
O
C(t)
t
12
24
B
20
16
8
4
4
Q(t)
图(1)
-2
24
20
16
12
8
4
4
16
t
12
24
C
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20
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-4
-12
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C(t)
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-4
-2
Q(t)
图(1)
24
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