自然辩证法研究
, ,
置换群概念的历史演变
一
‘
邓 明 立
群的概念是所有数学概念中最深刻 、 最有影响的概念之一 。 它有三 个来源 代数方程论
的 、 数论的和几何学的 , 其中置换群是产生和形成抽象群的最主要的来源 , 它起源于代数
方程论酌研究 。 本文主要围绕置换 、 置换群观念形成的过程 , 通过 几位关键历史人物的工作
评述 , 探讨早期置换群概念的演变过程 。
置换概念的提出
置换的概念首先是拉格朗 日 , 一 及旺德蒙德 一
, 了 , 独 自于 年左右引进的 。
在代数方程论方面 , 拉格朗日 的工作具有历史性贡献 。 他的 “关于方程的代数解法的思
考 ,, 亡
·
己 , 一 一文 , 是
一切关于群论的著作的先导 ” 。 〔 〕 该文 由四部分组成 不含引言部分 。 他考察 了
三次 、 四饮方程的一种普遍性解法 , 即把方程化为低一次的方程 称辅助方程或预解式 以
求解 。 三次万程有一个二次辅助力程 , 其解为三次方程根的函数 , 在根的置换下只有两个值 ,
四次方程的辅助方程的解在根的置换下只有三个不同值 , 因而辅助方程为三次方程 。 这种方
法 同先前的方法没有多大 区别 , 关键在于拉格 朗 日 首先研究了辅助方程根的不 同形式 , 发现
方程诸根之 的某种排列置换关系是 “ 整个问题的精髓 ” 。 他试图将这种方法推广到高次方
程的情形 。 但对于五次方程 , 其辅助方程的次数升至六次 , 因而他预见 到也许五次 以上的一
般方程投有根式解 但未能给 出证明 。
拉格朗 日以置换为基础 , 证明了辅助方程的解是原方程根的有理 预解 函数 , 辅助方
程的玖数与该有理函数 在原方程根的所有可能的置换下 所取值的数 目相同 。 〔 〕 ” 具
体地讲 , 如果 、 、 ⋯ 。 是辅助 方程 的一个解 , 它是原方程 个根的有理函数 , , 在
几个根的 , 个置换下 , 刚好取 个值 、 、 ⋯坛 。 那么 , 拉格朗日辅助方程可形如
二 一 、 , 且
即辅助方程的次数是 。
, 本文是在作者硕士
论文
政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载
的基础上改写而成的 , 在写作过程中 , 曾得到导师杜石然研究员 、 王 国 政 教
授 、 胡作玄研究员的悉心指导 , 在此谨致最诚攀的谢意 。
置换群概念的历史演变 一
拉格 朗日关 于 个变量的有理函数所取值的数 目的讨论 , 这是置换理论研究的开端 。他的
一些想法 已蕴含着置换群观念 , 而且使有理函数值不变的置换构成子群 , 子群的阶是原置换
群舀〕因子 。 这就是所谓的拉格朗日定理 。
在其工作中 , 拉格朗日 总是讲 “置换 ” 沁 , 并未考虑置换的运 算 及 置
换本身的作用 , 更未考虑置换系统的封闭性 。 因为置换 自身的性质不是他研究的主题 , 而是
从不同领域借来的一种工具 。 尽管如此 , 我们认为 , 拉格朗 日的工作使人们实现了从方程根
的计算到研究方程诸根之间的排列置换关系这种代数思维方式的转变 , 使 原来进展缓慢的代
数方程论的研究有 了新突破 , 预示着置换理论的发展 。 这是代数方程可解性理论 研 究 的 里
程碑 。
置换理论及置换群观念的发展
在拉格朗曰工作的影响
一
’, 高斯 , 解决了一类特殊的代数
方程的可解性问题 鲁菲尼 , 首先证明了高于四次的一般方程不
能用根式法求解 。 这两位数学家的研究方法及其成果相互补充 , 对于伽罗瓦理论的创立至关
重要 。
鲁菲尼是 于 年首次证 明高于四次的一般方程的不可解性的 , 但其 “ 证明 ” 并不完善 ,
因为他在证 明中用到了一个关健性 命题未加证明 , 后称阿贝尔定
‘
理 “ 如果一个方程能用开
根解出来 , 那 么根的 表达式优能写成这样的一种形式 , 其 中的根式是 已 知的根和单位根的有
理系数的有理函数 。 ” 〔。 现在看来 , 鲁菲尼的 “ 证明妙 缺乏域的概念 , 不懂域的概
念 , 就不可能在由已 知方程的系数所确定的基础域及域的扩张下进行研究工作 。
鲁菲尼的工作回答了长期以来人们对于高于四次的一般代数方程可解性的疑惑 。 在其工
作中 , 置换理论不再只是起计算方法的作用 , 而是可解性的一种结构部分 。 他对置换 自身的
性质进行了广泛研究 。
首先 , 他利用置换的分类处理 了五次 、 六次方程的可解性问题 , 证明了对于一般的五次
方程都不存在拉格朗日辅助方程 能满足一个低于五次的方程 , 同时还证 明了不存在含有 个
文字的有理函数式 , 使得它在 。 个元素的所有 可能的置换下只取 个或吐个值 。 即 曰
由此证 明了高于四次的一般代数方程没有根式解 。
其次 , 他不仅象拉格朗 曰那样研究了使根的有理函数不变的置换 而且研究 了这种置换
的全体反其性质 。 他称这样一组置换为 ‘
·
置换集 ” 。 。 〔不 关于这一
概念 , 后来柯西 , , 、 称为 “ 共扼置换系 ” 伽罗瓦 ,
。
一 称为置换 “ 群 ,,
。
鲁菲尼虽然没有给出 “群 ” 的概念 , 但一直用到群的封闭性这个事实 , 即两个置换的合
成仍为一个置换 。 他把置换集分为单置换集及复置换集 。 前者是 由一个置换所生成 , 即现在
的循环群 。 后者又分为三类
第一类是非传递置换群 ,
第二类是传递的非本原置换群 ,
第三类是传 递的本原置换群 。
自然辩证法研究 第 卷 第 期
对于 个文字的置换群 , 如果其中任一对 , , 都有置换使得 映到 , 那么该置换群就
是传递群多 否则为非传递的 。 如果一个传递置换群中有一个 个文字的非平凡子集 , 它在置
换群的每个置换下 的象 , 或是 本身或是与 不交的集合 , 那么就称该置换群为非本原群 否
则为本原的 。 〔 〕 曰 其实 , 这种只用置换而不用 “ 群结构 ” 来描述的分类法 , 使用 起来
很不方便 。
鲁菲 尼还引进 了置换群阶数的概念 。他称使方程 个根的已知函数不变的置换数 为 “ 等
值阶数 ” , 并引用拉格 朗 日 的结果 , 一群的子群的阶一定整除该群的阶 。
总之 , 我 们认为 , 鲁菲尼的工作不仅与证明高于四次的一般方程的不可解性有关 , 而且
与置换群论 的起源有关 。
置换理论 的独立发展
拉格朗曰 、 鲁菲尼等开创了置换理论研究的趋向 , 这种趋向逻辑上的继续和发展 , 若干
年后再度重视 。 首 当推 出著名的数学家柯西 , 他 对传统的置换理论很感兴趣 。 柯西在置换群
论历史的奠基时期起着中心作用 。 虽然鲁菲尼的一些工作抢在柯西工作之前 , 但柯西 的活动
才真 正使置换理论成为一 门独立的研究领域 。
他在这一领域里的活动 , 大致分为两个时期 。
首先始 于 年 , 他发表了两篇关于置换理论的论文 。 证明了拉格朗日定理 , 归 纳概括
了鲁菲尼的结果 , 即 个变量的非对称函数取不 同值的数 目不小于整除 的最大素数 , 除非
它是 。 这仍然是 以前工作的继续 。
第二个创造时期始于 年 , 即伽罗瓦的遗稿发表 前两 、 三年 。柯西发表了二 、
三十篇论文 , 为置换群奠定了理论基础 。 他明确地区分开排列 个字母的某种顺序 以 及
置换或代换 , 它们是两个
·
排列的变换 。 他引进置换的乘积及其方幂的概念 。 特别他引进单位
置换及可逆置换的观念 , 这样置换群的基本要素基本齐备 。 柯西的研究使置换独立于方程的
研究成为独立的分支 并证 明一些基本的定理 如素数 整除有限置换群 的阶 , 则它含有 阶
子群 。 当 时 , 个变量的一切置换构成的群 。 的子群 在 二 中的指数或者是 , 或者至少
是 。
柯西把循环置换作为对置换理论研究 的一种工具 , 建立 了 比较复杂的概念系统 。 不仅定
义了传递 、 非传递 、 本原与非本原置换 , 还定义了相似置换的概念 与 相似当且仅 当 存
在置换 满足 一 ’ 。 特别是他采用了一个与置换群等价的概念 —
“ 共扼置换系 ” ,
即 由一个或多个已知置换所生成的置换的集 合。 这种思想是后来抽象群概念研究的起点 。
柯西的工作同拉格朗 日 、 鲁菲尼等的工作相 比 , 柯西不仅认清了前人研究置换理论的重
要性 , 而且特别强调置换本身及其相互作用的研究 , 引入置换 的一些基本概念和运算 , 创立
所谓 的 “ 共扼置换系 ” 。 这对于置换理论的独立发展 以及置换群论的创立 , 产生 了重大影响 。
伽罗瓦理论的创立
阿贝尔关于可解性理论的工作
置换群概念的历史演变 。一
阿贝尔 于 一 年严格证明了一般的五次或五次 以
上的代数方程不可能有根式解 。 他的论文首次发表在克雷尔 , 一
杂志 第一卷 , 上 , 题 目为 “ 高于四次的一般方程的代数解法不可能性的证明 ” 一
亡 亡 己 己 ‘ 一
。 。 。 。 该文 讨论并修正了鲁菲尼 “ 证明 ” 中的缺陷 , 证
明了所谓的阿贝尔定理 见本文第二部分 。 阿贝尔就用这个定理证明高于四次的一般方程
不能有根式解的 。
关 于高次方程不能总是代数可解的结论 , 促使他进一步思考哪些方程才可用根式解的问
题 。 阿贝尔在深入研究 高斯 的《算术探究 》第七部分关于分圆方程
一
可解性理论的基础上 , 取
得了独创性的进步 。 他于 招年完成 了题为 “ 关于一类特殊的代数 可 解 方 程 ”
二 。 。 。 ’ 。 。 。 。 。 ‘。 二 的文章 , 解决了
任意次的一类特殊方程的可解性问题 , 分 圆方程 “ 一 一 。就属 于这一类 。 在这篇论文中 , 阿
贝尔证 明了下 述定理 对于一个任意次的方程 , 如果方程所有的根都 可用其中的一个根有理
地表出 我们用 表示 , 并且任意两个根 与 这里 、 均为有理函数 , 满
足关系 , 那么所考虑的方程总是代数可解的 。 〔 〕
用 现代术语叙述 假定方程甲 一 具有 个根 、 、 ⋯、 。 , 它们均 可表成其中一
个根 如 的有理函数 , 即 , , , ⋯ , 。 。 工 , 这里 是恒
等映射 。 阿贝尔证 明了在有理函数 ‘ 一 , , ⋯ , 中 , 如果用另一个 根 ,
代替 , , 那 么 、 二 , , ⋯ , 是 以不 同顺序排列的原万程 的根 。 或者说 , 根
, , , ⋯ , 二
是根 , , , ⋯ , 。 的一个置换 。 方程根进行这样置换的个数是 。 阿贝尔考虑并证明了这
些置换的性质 , 如果方程根的置换群是可交换群 , 则方程甲 一 的解法可简化为低次的 辅
助方程的解法 , 这些辅助方程 可依次用根式求解 。 在分圆方程的情形 , 方程的置换群是循环
群 。 阿贝尔在文章中并没有 明确构造这种置换群 , 仅仪采用 了有理函数所假定的可交换性
。 现在把具有这种性质的方程称为阿贝尔方程 , 具有 可交换性的群叫做阿
贝尔群 。 〔 〕
·
阿贝尔遗作中有一篇值得深入研究的未完成的手稿 , 即 “ 关 于函数的代数解 法 ”
。 。 。 、 。 。 。 。 。 。 、 。 , 。 文中叙 违了方 程 仑的发展状况 , 重 新
讨论了待殊 方程可解性 间题 , 并暗示 出一种重要的思维方法 , 即解方程之 前 , 应先证 明其解
的存在性 , 这样 叮使整个过程避免 “ 计算的复杂性 ” 。 〔,
·
此外 , 他还提 出了一个 研
究纲 领 , 即在他的工作中需要解决两类 问题 一是构造任意次数的代数可解方程 二是判定
已知方程是 古可用根式求解 。 〔 〕 一 阿贝尔试图全部刻画可用根式求解的方程的特
性 。 但 因早逝而没能完成这项工作 , 他只解决了第一类 问题 。 儿年后 , 伽罗瓦接过他的工作 ,
用群的方法 彻底解决了代数方程的可解性理论问题 , 创立 了听谓的伽罗瓦理论 。
伽罗瓦理论的产生
伽岁瓦理论就是用群论的方法 研究代数方程根式解的理论 。 它已成为近世代数学的最有
生命力的一种理论 。
伽罗瓦是通过改进拉格朗曰的思想来研究可用根式求解的代数方程的特性的 。 因为对于
自然辩证法研究 第 卷 第 期
一般方程来说 , 拉格朗日辅助方程的构造并不存在明确的方法 , 而对于较特殊的方程要构造
辅助方程也需要一定的技巧 。 伽罗瓦的思想是设法绕开拉格 朗日辅助方程 , 他把代数方程可
解性理论问题转化为与方程相关的置换群及其子群结构的
分析
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问题 , 根据置换群的结构确定
方程根的结构 , 这是伽罗瓦工作的重大发现 。
伽罗瓦系统研究了方程根的排列置换性质 , 首次定义 了置换群的概念 , 他认为了解置换
群是解决方程论问题的夫键 。 在 年的论文中 , 伽罗瓦首次提出 “群 ” 这一名称 , 他把具
有封闭性的置换的集合称为 “群 ” 。 实际上 , 这只是抽象群的一 条重要性质而 已 。
伽罗 瓦工作中引进了三个具有决定意义的概念 伽岁 瓦群 、 正规子群 、 可解群 。 利用它
们三者之间的内在关系系统解决 了代数方程可解性问题 。
首先 , 伽罗瓦注意到每个方程都 可以与一个置换群联系起来 , 即与它的根之间的某些置
换组成的群联系 , 现在称之为伽罗瓦群 。 对于任一 个取有理数值的关于根的多项式函数 , 伽
岁 瓦群 中的每个置换都使这函数的值不变 。 反过来 , 如果伽罗瓦群中的每个置换都使一个根
的多项式函数的值 下变 , 则这多项式函数的值是有理的 。 因此一个方程的伽罗瓦群完全体现
了它的根 整体 的对称性 。 伽岁 瓦为了刻划可用根式求解的代数方程的特性 , 他将每个方
程对应一个域 , 即含有方程全部根的域 现在称之为方程 的伽罗瓦域 , 这个域又对应一个
群 , 即这个方程的伽罗瓦群 。 这个力私足 否可用根式求解的关键是 这 个方程的系数域是否
可 以经过有 限次添加根式而扩张为根域 。 伽罗瓦经过认真研究 , 引入了域上的自同构群的概
念 , 使域 与群发生 了联系 , 即建立 了伽罗瓦域的子域与伽罗瓦群的子群之间的一一对应关系 ,
伽罗瓦基本定理就描述了这种一一对应关系 。 可见 , 伽罗瓦的理论是群和域这两种代数结构
综 合的结果 。 〔 〕
·
伽罗瓦的第二个重要概念是正规子群 。 它是伽罗瓦将二项方程作为辅助方程进行研究时
引入的 。 正规子群概念的引入及其性质 、 作用的研究 , 这是伽罗 瓦工作的又一重大突破 。 利
用 它可 以区分合成群 与单群的概念 , 利用它的性质还可 以判别 已知方程能否转化为低次方程
的可解性问题 。 他的思 想方法大致是这样的 首先定义正规子群的概念 , 即群 的子群 叫做
的正规子群 , 是指对于每个 任 , 一 ’ ‘ , 其次是寻找极大正规子群列 , 确定极大 正
规子群列的一系列 合成因子 。 如果一个群所生成的全部合成因子都是素数 , 就得到了伽罗瓦
的第三个重要概念 “ 可解群 ” 。
伽罗瓦所用的 “ 可解群 ” 术语非常恰当 。 他利用这一概念刻划了用根式解方程的特性 ,
给出了一个方程可用根式解的判别准则 一个方程可用根式解的充要条件是这个方程的伽罗
瓦群是可解群 。 虽然这一准则不能使一个确定方程的精确求解更为简单 , 但它确实提供了一
些方法 可 以用来得出低于五次的一般方程 , 以及二项方程和某些特殊类型方程的可解性的
有关结果 , 还可以直接推论出高于四次的一般方程的不可解性 。
伽罗瓦的这种思 想方法与众不 同 , 他没有象他的前辈那样直接进行计算 , 而是提出群的
概念 , 研究群的结构 。 从观念上突破 了传统的思维方式 , 使人们从偏重 “ 计算 ” 研究的方式
转变为用 “群结构 ” 观念思维的方式 , 并用这种观念构造新的证明 。 〔 〕 我们认 为 ,
伽罗瓦是头一位在数学中明确重视 “ 群结构 ” 观念的研究 , 并有意识地 “ 以结构的研究代替
计算 ” 的人 。 〕
·‘
, 换群概念的历史演变 。一 “
结束语
通过对早期置换群概念历史演变的研究 , 笔者认为有两个问题值得
总结
初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf
和澄清
置换 群论起源 于代数方程论的研究 , 代数思维方式的转变是其产生与发展的重
要原因 。
第一 , 拉格 朗 日的工作以置换为研究 “ 工具 ” , 以解代数方程为 “ 目的 ” , 使人们的代
数思维方式发生 了转变 , 把以方程根的计算为主的研究转到方程根的置换性质的研究 。 群论
产生 的初期主要受拉格朗 曰思想方法的影响 。鲁菲尼证明了高于四次的一般方程的不可解性 ,
并且强调置换本身的研究 。 沿着这种趋向 , 柯西 以置换理论为研究 “ 目的 ” , 使其成为一 门
独立的研究领域 , 并实现了向置换群论的转变 。
第二 , 伽罗瓦的思想方法在群论产生 与发展过程 中起着最重要的作用 。 他使人们从偏重
“ 计算 ” 研究的思维方式转变为用 “ 结构 ” 观念研究的思维方式 。 然而 , 这种新的思维方式
当时并未引起人们足够的重视 。 直到 年刘维尔 二 , 。 出版 伽
罗瓦的手稿 , 他的这种思想方法才逐渐被接受 , 并产生 了重要的影响 。 关于伽罗瓦理论的传
播史 , 另文论述 。
数学史界的两个 “误会 妙 。
许多数学史家认为伽罗瓦之前的代数学是方程论 , 而其后代数学突然变成群论 , 甚至抽
象代数学 , 实现了所谓的 “ 伽罗瓦革命 ” , 这完全是 误会 。 〔 〕
·
实际上伽罗瓦 只
是引进 了一种与代数方程 沦紧密相关的具体的群一置换群
。 由具体群向抽象群的过渡 , 大
约经历 了半个世纪的时间 。 因为当时数学家们并不想脱离开具体的变换对象太远 , 所以一般
的抽象群观念并没人重视 , 直到 世纪末 , 抽象群论才成为数学家研究的对象 。 至于抽象代
数学则是 年以后的事了。
许多数学史家还认为伽罗瓦证明一般五次方程没有根式解之后 , 解代数方程 的间题由此
僵旗息鼓 , 这也是 个误会 。 实际上 , 一般五次方程没有根式解并不等于它没有解 , 只是解不
能表为根式及简单的代数运算 。 世纪 年代 , 埃尔米特 , , , 克
洛内克 , 及布廖斯奇 , 连一 利用椭圆
模函数分别得 出一般五次方程 的解析解 。 克莱因 , 。 一 和高尔丹 。
, 还讨论过更高次方程的解 。 〔的 卜 世纪利用数值方法求代
数方程的近似解问题也有很大发展 。
参 考 文 献
〔 〕 克莱因 《 古今数学思想 》 第三册 , 上海科学技术出版社 ,
〔 〕 《 几 五 妞 》, ,
〔 〕 , “ 甲 口 ” ,
了 ‘ 一 ‘
〔一〕 。 《 了 ‘ 》 , 一 ‘ 。
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目然辩证法研究 第 卷 第 期
矿产科学开发和综合利用 , 力求采用新技术使采矿活动和矿产利用不造成环境破坏 , 对矿产
利用中可能造成 的环境污染采取污染控制 的措施 , 实行合理利用矿产 , 爱惜和节约资源
的原则 , 对矿 山建设中造成的生物栖息地破坏 , 在采矿之后进行补偿 , 如矿 山复垦和重
建结构合理的生态系统 , 等 。
总之 , 矿产价值的科学
评价
LEC评价法下载LEC评价法下载评价量规免费下载学院评价表文档下载学院评价表文档下载
, 是从它的真理性评价到它的价值评价 , 在价值评价中既包
括它的经济评价 , 又包括非经济评价 , 是多价值评价 以及矿产的经济可用性评价和地质可
用性评价 , 是这些不 同方面的价值评价的统一 。 而且 , 坚持矿产价值评价的两种尺度 , 承认
矿产资源 的外在价值和内在价也 正确处理这两种价值的关系 。 这样 , 我们对矿产价值的评
价又从科学评价过渡到它的道德评价 。 矿产价值评价是它的真理性评价 、 价值评价和实践评
价的统一 。 实践评价是在真理性评价和价值性评价基础上 , 有关人类实践 对矿产 的行为
的合理性和正义性评价 。 这些对于我们决定正确的找矿方向 , 制定正确的决策和
计划
项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载
, 以及
采取科学开发和综合利用 的措施 , 也就是说 , 对 于我们认识和利用矿产资源 的整个过程 , 在
理论和实践上既是必要的又是有用的 。 我们在这个研究领域的投入肯定是能得到报偿的。
主要参考文献
中科院自然史所《 中国古代地理学史 》, 科学出版社 年版 , 第 一 页 。
王子贤 、 王恒礼《 简明地质学史 》河南科学技术出版社 年 , 第 一 页 。
朱训《 找矿哲学概论 》地质出版社 年 , 第 页 。
《 马克思恩格斯全集 》第 卷第 页 。
余谋昌《生态伦理学与地质管理 》, 《 地学与社会 》地震出版社 年 。
, , ,
﹃沪,︸、︺、、
,几勺‘。曰性‘‘﹄广‘‘
〔 〕 ,
。
〔 〕 布鲁伯斯特《 资源可用性分析 》《 生态经济通讯 》第 期 , 年 月 日。
【作者简介 】余谋 昌 , 年生 , 中国科会
科学院哲学研 究所研 究 员。
本文责任编辑 丘 亮辉
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〔 〕 。 , 》 , ,
〔 〕邓明立 , “伽罗瓦 ” , 见吴文俊主编 , 《世界著名科学家传记 》, 数学家 , 。
〔了〕邓明立 , “试论伽罗瓦的群结构思想 ” , 自然辨证法研究 , ,
〔幻 胡作玄 , “ 数学研究对象的演化 ” , 自然辩证法研究 , , 一
〔 〕胡作玄 《 数学与社会 》, 湖南教育出版社 ,
【作 者简介 】邓 明 立 年生 , 科学史硕 士 ,
河北 师 院数 学所讲 师 。
本文责任编辑 马惠娣