èÆk) · · · · · · uia.china@gmail.com· · · · · · 1
¥�2010ê©
To my parents
1 O:
(1) limx→0
∫ sin2 x
0 ln(1+t)dt√
1+x4−1 ; (2)
∫∫
|x|+|y|≤1 |xy|dxdy.
). (1)
lim
x→0
∫ sin2 x
0
ln(1 + t)dt√
1 + x4 − 1 = limx→0
∫ sin2 x
0
ln(1 + t)dt
x4
(√
1 + x4 + 1
)
= 2 lim
x→0
ln(1 + sin2 x) · 2 sinx cosx
4x3
= lim
x→0
ln
(
1 + sin2 x
)
sin2 x
·
(
sinx
x
)3
cosx
= 1;
(2) ∫∫
|x|+|y|≤1
|xy|dxdy = 4
∫∫
x+y≤1; x,y≥0
xydxdy
= 4
∫ 1
0
xdx
∫ 1−x
0
ydy
= 4
∫ 1
0
x
(1− x)2
2
dx
= 2
∫ 1
0
x(1− x)2dx
=
1
6
.
2 (1) -
f(x) =
{
x2 sin 1
x
, x 6= 0;
0, x = 0.
¦f ′(0),¿y²f ′(x)3x = 0?ØëY.
èÆk) · · · · · · uia.china@gmail.com· · · · · · 2
(2) eλ =
n∑
k=1
1
k
,y² eλ > n+ 1.
y². (1)
f ′(0) = lim
x→0
f(x)− f(0)
x
= lim
x→0
x sin
1
x
= 0.
��x 6= 0,
f ′(x) = 2x sin
1
x
− cos 1
x
,
xn =
1
2npi
→ 0, f ′(xn) = −19 0, � n→∞.
dd,f ′(x)3x = 0?ØëY.
(2) ^êÆ8B{.w,�,e1 = 2.7 · · · > 1 + 1. yb�i = nØ�ª
¤á,K�i = n+ 1,
e
∑n+1
k=1
1
k = e
∑n
k=1
1
k e
1
n+1
= (n+ 1)e
1
n+1
> (n+ 1)
[(
1 +
1
n+ 1
)n+1] 1n+1
= n+ 2.
5P. • �Ú´Ï(
1 +
1
n
)n
= 1 ·
(
1 +
1
n
)n
<
(
1 + n+1
n
· n
n+ 1
)n+1
=
(
1 +
1
n+ 1
)n+1
↗ e.
èÆk) · · · · · · uia.china@gmail.com· · · · · · 3
• 1(2)¯,yXe:
∀ k, ∃ ξk ∈ (k, k + 1), s.t. ln(k + 1)− ln k = 1
ξk
<
1
k
,
¦Úk
ln(n+ 1) <
n∑
k=1
1
k
,
=eλ > n+ 1.
3 ef(x)3[0, 1]þëY,3(0, 1)þ�g,¿
f(0) = f
(
1
4
)
= 0, ±9
∫ 1
1
4
f(y)dy =
3
4
f(1).
y²,3ξ ∈ (0, 1),¦�f ′′(ξ) = 0.
y². P
F (x) =
∫ x
1
4
[f(y)− f(1)] dy, x ∈
[
1
4
, 1
]
.
KdK¿,
F
(
1
4
)
= 0 = F (1).
dLagrange¥½n,
∃ η ∈
(
1
4
, 1
)
, s.t. f(η) = 0.
fknØÓ":.|^ügRolle½n,k
∃ ξ ∈ (0, 1), s.t. f ′′(ξ) = 0.
4 ¦?ê
∞∑
n=1
n
(n+ 1)!
�Ú.
èÆk) · · · · · · uia.china@gmail.com· · · · · · 4
). �
f(x) =
∞∑
n=1
nxn−1
(n+ 1)!
,
ÙýéÂñu[−R,R],é∀ R ∈ (0,∞).
¤¦f(1).
�
f(x) =
∞∑
n=1
nxn−1
(n+ 1)!
=
[ ∞∑
n=1
xn
(n+ 1)!
]′
=
[
1
x
∞∑
n=1
xn+1
(n+ 1)!
]′
=
[
ex − 1− x
x
]′
=
(x− 1)ex + 1
x2
,
�
¤¦ = f(1) = 1.
5P. ,yXe:
∞∑
n=1
n
(n+ 1)!
=
∞∑
n=1
(n+ 1)− 1
(n+ 1)!
=
∞∑
n=1
1
n!
−
∞∑
n=1
1
(n+ 1)!
= 1.
5 y²:
2n
3
√
n <
n∑
k=1
√
k <
(
2n
3
+
1
2
)√
n.
èÆk) · · · · · · uia.china@gmail.com· · · · · · 5
y². • 2n
3
√
n <
n∑
k=1
√
k.
dLagrange¥½n,∀ k ∈ N, ∃ ξk ∈ (k − 1, k), s.t.
k
3
2 − (k − 1) 32 = 3
2
ξ
1
2
k <
3
2
k
1
2 ,
¦Ú
k
n
3
2 <
3
2
n∑
k=1
k
1
2 .
•
n∑
k=1
√
k <
(
2n
3
+
1
2
)√
n.
·^êÆ8B{y².
F d1 < 2
3
+
1
2
l = 1¤á;
F b��i = n¤á,wi = n+ 1�/,d
n+1∑
k=1
k
1
2 =
n∑
k=1
k
1
2 + (n+ 1)
1
2 <
(
2n
3
+
1
2
)
n
1
2 + (n+ 1)
1
2 ,
L(
2n
3
+
1
2
)
n
1
2 + (n+ 1)
1
2 <
(
2(n+ 1)
3
+
1
2
)
(n+ 1)
1
2
⇐
(
2n
3
+
1
2
)
n
1
2 <
(
2n
3
+
1
6
)
(n+ 1)
1
2
⇐ (4n+ 3)2n < (4n+ 1)2(n+ 1)
⇐ 16n3 + 24n2 + 9n < 16n3 + 24n2 + 9n+ 1
⇐ 0 < 1,
ù´é�.
6 O ∫∫∫
V
(x3 + y3 + z3)dxdydz,
Ù¥VL«¡x2 + y2 + z2 − 2a(x + y + z) + 2a2 = 0(a > 0) ¤¤
�«.
èÆk) · · · · · · uia.china@gmail.com· · · · · · 6
). • d
∂V =
{
(x, y, z) ∈ R3; x2 + y2 + z2 − 2a(x+ y + z) + 2a2 = 0}
=
{
(x, y, z) ∈ R3; (x− a)2 + (y − a)2 + (z − a)2 = a2} ,
V´±(a, a, a)%,a»�¥.
•
�ª = 3
∫∫∫
V
x3dxdydz
= 3
∫ 2a
0
x3dx
∫∫
(y−a)2+(z−a)2≤a2−(x−a)2
dydz
= 3
∫ 2a
0
x3pi
[
a2 − (x− a)2] dx
= 3pi
∫ 2a
0
x3(2ax− x2)dx
= 3pi
(
2a
5
x5 − 1
6
x6
)∣∣∣∣2a
0
= 3pi
(
2a
5
· 32a5 − 64
6
a6
)
=
32
5
pia6.
7 A^GreenúªOÈ©
I =
∮
L
ex(x sin y − y cos y)dx+ ex(x cos y + y sin y)dy
x2 + y2
,
Ù¥L´�:�{ü1w4,_�.
). �ε¿©�,¦�Bε(0)¹uLS§
dGreenúª9
∂x
[
ex(x cos y + y sin y)
x2 + y2
]
− ∂y
[
ex(x sin y + y sin y)
x2 + y2
]
= 0,∀ x, y 6= 0,
k
�ª =
∮
Bε(0)
ex(x sin y − y cos y)dx+ ex(x cos y + y sin y)dy
x2 + y2
èÆk) · · · · · · uia.china@gmail.com· · · · · · 7
=
1
ε2
∫ 2pi
0
{
ex
[
(x sin y − y cos y)(−y)
+(x cos y + y sin y)x
]}∣∣∣∣∣
x=ε cos θ
y=ε sin θ
dθ
=
1
ε2
∫ 2pi
0
eε cos θε2 cos(ε sin θ)dθ
=
∫ 2pi
0
eε cos θ cos(ε sin θ)dθ,
�ª = lim
ε→0+
∫ 2pi
0
eε cos θ cos(ε sin θ)dθ
= 2pi.
8 �f(x)½Â3(−∞,∞)þ,
3x = 0ëY,¿
é¤kx, y ∈ (−∞,∞),k
f(x+ y) = f(x) + f(y).
y²,f(x)3(−∞,∞)þëY,
f(x) = f(1)x.
y². • f(x)3(−∞,∞)þëY.
lim
y→x
f(y) = lim
y→x
[f(x) + f(y − x)] = f(x)+ lim
|y−x|→0
f(y−x) = f(x).
• f(x) = f(1)x.
F ∀ n ∈ N, f(n) = f(n− 1) + f(1) = · · · = nf(1);
F ∀ n ∈ N, f(−n) = f(0)− f(n) = −n;
F ∀ m,n ∈ N,
f
( n
m
)
=
1
m
f
( n
m
·m
)
=
1
m
f(n) =
n
m
f(1);
F ∀ x ∈ R,
f(x) = lim
rn→x
rn∈Q
f(rn) = limrn→x
rn∈Q
[rnf(1)] = f(1)x.
èÆk) · · · · · · uia.china@gmail.com· · · · · · 8
9 y² ∫ 1
0
dx
xx
=
∞∑
n=1
1
nn
y². d
x−x = e−x lnx =
∞∑
n=0
(−x lnx)n
n!
,
∫ 1
0
x−xdx =
∞∑
n=0
∫ 1
0
(−x lnx)n
n!
dx =
∞∑
n=0
(−1)n ∫ 1
0
xn lnn xdx
n!
,
Ù¥1�ª´Ï|x lnx| ≤ e−1, ∀ x ∈ [0, 1],
∞∑
n=0
(−x lnx)n
n!
(
≤
∞∑
n=0
e−n
n!
)
3[0, 1]þÂñ. q∫ 1
0
xn lnn xdx = − n
n+ 1
∫ 1
0
xn lnn−1 xdx
= · · ·
= (−1)n n!
(n+ 1)n
∫ 1
0
xndx
= (−1)n n!
(n+ 1)n+1
,
∫ 1
0
dx
xx
=
∞∑
n=1
1
nn
.
10 �¼êf(x)3[0, 1]þëY
f(x) > 0, ?ؼê
g(y) =
∫ 1
0
yf(x)
x2 + y2
dx
3(−∞,∞)þ�ëY5.
èÆk) · · · · · · uia.china@gmail.com· · · · · · 9
). P
M = sup
x∈R
f(x) <∞,
• �y 6= 0,
|g(y)| ≤ |y|
∫ 1
0
f(x)
x2 + y2
dx < |y| 1|y|2
∫ 1
0
f(x)dx ≤ M|y| <∞,
�g(y)3(−∞, 0) ∪ (0,∞) þëY(Ïg(y)�).
• �y = 0,g(y) = 0.�g3y = 0?a�mä. ¯¢þ,é?¿�½
�ε > 0,
F df3x = 0?ëY,i.e.
∃ 1 > η > 0, s.t. |x| < η ⇒ |f(x)− f(0)| < 2ε
3pi
,
∣∣∣∣∫ η
0
yf(x)
x2 + y2
− yf(0)
x2 + y2
dx
∣∣∣∣ ≤ max0≤x≤η |f(x)− f(0)| ·
∫ η
0
d x|y|
1 +
(
x
|y|
)2
= max
0≤x≤η
|f(x)− f(0)| · arctan η|y|
≤ ε
3
.
F éþãη > 0,∣∣∣∣∫ 1
η
yf(x)
x2 + y2
dx
∣∣∣∣ ≤ |y| ·M · 1− η|η|2
≤ ε
3
, � |y| < δ1 ≡ ε |η|
2
3M(1− η2) .
F d ∫ η
0
yf(0)
x2 + y2
dx = f(0) · sgn(y) · arctan η|y| ,
èÆk) · · · · · · uia.china@gmail.com· · · · · · 10
∃ δ2 = δ2(η, ε) = δ2(ε), s.t.
0 > y > −δ2 ⇒
∣∣∣∣∫ η
0
yf(0)
x2 + y2
dx+
pi
2
f(0)
∣∣∣∣ < ε3 ,
0 < y < δ2 ⇒
∣∣∣∣∫ η
0
yf(0)
x2 + y2
dx− pi
2
f(0)
∣∣∣∣ < ε3 .
o(
k�
0 > y > −min {δ1, δ2}
, ∣∣∣∣∫ 1
0
yf(x)
x2 + y2
dx+
pi
2
f(0)
∣∣∣∣
≤
∣∣∣∣∫ 1
η
yf(x)
x2 + y2
dx
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∫ η
0
yf(x)
x2 + y2
− yf(0)
x2 + y2
dx
∣∣∣∣
+
∣∣∣∣∫ η
0
yf(0)
x2 + y2
dx+
pi
2
f(0)
∣∣∣∣
≤ ε;
�
0 < y < min {δ1, δ2}
, ∣∣∣∣∫ 1
0
yf(x)
x2 + y2
dx− pi
2
f(0)
∣∣∣∣ < ε.
u´
g(0− 0) = −pi
2
f(0), g(0 + 0) =
pi
2
f(0).
本文档为【中国科学院2010年数学分析参考解答】,请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑,
图片更改请在作品中右键图片并更换,文字修改请直接点击文字进行修改,也可以新增和删除文档中的内容。
该文档来自用户分享,如有侵权行为请发邮件ishare@vip.sina.com联系网站客服,我们会及时删除。
[版权声明] 本站所有资料为用户分享产生,若发现您的权利被侵害,请联系客服邮件isharekefu@iask.cn,我们尽快处理。
本作品所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用。
网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽..)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。