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2004年上海市高中数学竞赛考前模拟测试卷（三）
解析几何（三）
姓名__________准考证号__________学校__________得分__________
满分120分，填空题每题（10分），解答题每题（20分）。时间90分钟。
1、 填空题：
1．设O为抛物线的顶点，F为焦点，且PQ为过F的弦．已知|OF|＝a，|PQ|＝b．则△OPQ的面积是____________。
2．与抛物线y＝x2相切的抛物线y＝－x2＋bx＋c的顶点的轨迹是____________________。
3．在坐标平面上，设方程y2＝x3＋2691x－8019所确定的曲线为E，连接该曲线上的两点（3，9）和（4，53）的直线交曲线E于另一点，求该点的横坐标____________。
4．设P（x，y）为|5x＋y|＋|5x－y|＝20上一点．求x2－xy＋y2之最大、最小值是____________________。
5．已知实数a满足：有且仅有一个正方形，其四个顶点均在曲线y＝x3＋ax上，该正方形的边长为_________________。
6．使方程组
2、 解答题：
7．在平面上有5个点，其中任意3点不共线．将5点中的每两点连接起来，共得10条线段，已知其中9条线段长的平方是有理数，求证：余下的1条线段长的平方也是有理数．
8．在圆C∶（x－1）2＋y2＝2上有两个动点A和B，且满足条件∠AOB＝90°（O为坐标原点），求以OA、OB为邻边的矩形OAPB的顶点P的轨迹方程．
9．已知圆的方程为x2＋y2＝4，试在坐标平面上求两点A（s，t）、B（m，n），使下列两条件满足：
（1）圆上任一点到A点的距离与到B点的距离之比为定值k；
（2）s＞m，t＞n，且m、n均为正整数．
2004年上海市高中数学竞赛考前模拟测试卷（三）
解析几何（三）参考
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
1．
2．y＝x2/2
3．1929
4．Q最大＝124，Q最小＝3
5．
6．72
7．见答案详解（在下面）
8．（x－1）2＋y2＝3
9．见答案详解（在下面）
2004年上海市高中数学竞赛考前模拟测试卷（三）
解析几何（三）答案详解
1．如图，以F为极点建立极坐标系，抛物线的方程为
设点P的极角为θ（θ∈（0，π）），则点Q的极角为π＋θ，
b＝|PQ|＝2a/（1－cosθ）＋2a/[1－cos（π＋θ）]＝4a/sin2θ
2．抛物线y＝x2与y＝－x2＋bx＋c相切的充要条件是2x2－bx－c＝0
有唯一解，即△＝b2＋8c＝0所以c＝－b2/8．抛物线y＝－x2＋bx－b2/8
的顶点为x＝－b/－2＝b/2，y＝b2/8．消去b得所求的轨迹：y＝x2/2
仍是一条抛物线．
3．容易求得所给直线的方程为y＝44x－123，将它代入曲线方程并整理得
由方程根与系数的关系可知，所求的横坐标为1936－（3＋4）＝1929．
4．方程图像，即x＝2，x＝－2，y＝10，y＝－10四直线围成的矩形，其顶点为A（2，－10），B（2，10），C（－2，10），D（－2，－10）．由对称性仅需在AB、BC边考虑．在AB上，Q＝x2－xy＋y2＝4－2y＋y2＝3＋（1－y）2
所以3≤Q≤124（＝3＋（1＋10）2）同理，在BC上，84≤Q≤124．所以Q最大＝124，Q最小＝3
5．设正方形的四个顶点为 A、B、C、D，那么ABCD的中心为原点O．否则，由于y＝x3＋ax为奇函数，因此A、B、C、D关于O点的对称点A′、B′、C′、D′也在曲线上，且A′B′C′D′也是正方形，与题设矛盾．
设四点为A（x0，y0），B（－y0，x0），C（－x0，－y0），D（y0，－x0），其中x0＞0，y0＞0，则
（1）×x0＋（2）×y0，得
（1）×y0－（2）×x0，得
由（3）、（4）得a＝－r2（1－2sin2θcos2θ）
消去r2，得关于sin2θ的方程（1＋a2）（sin22θ）2－（4＋a2）sin22θ＋4＝0
因sin22θ在（0，1）内只有一个根，所以△＝（a2＋4）2－16（1＋a2）＝a4－8a2＝0
6．在圆x2＋y2＝50上有12个整点：（1，7），（1，－7），（－1，7），（－1，－7），（5，5），（5，－5），（－5，
12个点中的每一个点都可以作一条切线，所以共有66＋12＝78条直线与圆仅相交于整点．这样的直线可以写成ax＋by＝1的形式，当且仅当直线不过原点．这78条直线中有6条通过原点（相应坐标互为相反数的两点决定的直线）．这就是说有78－6＝72个有序实数对（a，b），使得给定的方程组有解且只有整数解．
7．设五个点为O、A、B、C、D，除CD外，其余9条线段长的平方均为有理数．
以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设备点坐标为O（0，0），A（x2，0），B（x3，y3），C（x4，y4），D（x5，y5），其x2≠0，y3y4y5≠0，则
BC2＝（x4－x3）2＋（y4－y3）2
BD2＝（x5－x3）2＋（y5－y3)2
均为有理数．
由AB2－OA2－OB2＝－2x2x3知x2x3是有理数．同理可知x2x4，
有理数．
又由BC2－OB2－OC2＝－2（x3x4＋y3y4）及BD2－OB2－OD2＝－2（x3x5＋y3y5）是有理数知y3y4、y3y5是有理数．
＋（y5－y4）2＝OC2＋OD2－2（x4x5＋y4y5）是有理数·
8．设各点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）．依题意，
由（1）＋（2）得
因为OAPB是矩形，有
x1＋x2＝x （5）
将（4）和（5）代入（3）得
[别解] 设圆心为D，矩形OAPB的中心为Q，则由平行四边形性质
2（DP2＋DO2）＝OP2＋4DQ2＝AB2＋4DQ2＝2（DA2＋DB2）
从而DP2＝2DA2－DO2＝2×2－12＝3
（x－1）2＋y2＝3
9．设圆上任意一点为P（x，y）则
取P1（2，0），P2（－2，0），得
从而 s＝k2m
再取P3（0，2），P4（0，－2）又得t＝k2n
（3）
化简为 k2（m2＋n2）－4＝0
所以 m＝n＝1，k2＝2，所求点为（2，2），（1，1）．
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