![2004年上海市高中数学竞赛考前模拟测试卷（六）[立体几何（二）]](https://swf.iask.com/HCUCMBB6EM6.svg?ssig=fUVN2TqHfG&Expires=1719182898&KID=sina,ishare&range=0-20823)
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2004年上海市高中数学竞赛考前模拟测试卷（六）
立体几何（二）
姓名__________准考证号__________学校__________得分__________
满分120分，每题（20分）。时间90分钟。
1、 证明题：
1．经过正方体中心的任一截面的面积不小于正方体的一个侧面面积，试证明．
2．设AA′、BB′、CC′是球的不在同一平面的三条弦，它们相交于球内一点P．若过A、B、C、P的球面和过A′、B′、C′、P的球面相切，求证：AA′=BB′=CC′．
3．将图中的正方形沿虚线折成一个正四棱柱面．原对角线AE就成为一条绕在柱面上的折
线ABCDE．试证：这折线相邻线段间的夹角为120°．
4．正方形ABCD中，M为AB上一点，N是BC上一点，且AM=BN．连DM、DN分别交对角线AC于P、Q，剪去△MNB．求证：
（1）以DM、DN为折痕，将DA、DC重合，可以构成一个三棱锥的侧面；
（2）以线段AP、PQ、QC为边，恰可构成有一个内角为60°的三角形．
5．在空间给定若干个点，其中任意四点不共面．给定的点具有以下性质：若有球面过其中任意四点，则所有其余的点均在该球面上或球面内．证明：所有给定的点，均在一个球面上．
6．众所周知，在欧氏几何中，三角形内角和为定值．试证明四面体的二面角的和不是定值．考虑正三棱锥ABCD．设侧面与底面所成二面角为α，侧面间的二面角为β．
2004年上海市高中数学竞赛考前模拟测试卷（六）
立体几何（二）答案详解
1．显然正方体的截面是中心对称凸多边形，并且边数是偶数的，即或是四边形或是六边形．
如果截面是四边形，那末它与正方体某两个相对的侧面不相交，并且截面在这两个侧面上射影是整个侧面，因此截面四边形的面积不小于正方体一个侧面的面积．
如果截面是六边形，那末它与正方体的六个侧面都相交，考察正方体的侧面展开图，可知截面的周长P有不等式．
其中a是正方体的棱长．截平面交正方体内切球的截圆半径为a/2，所以对截面积S，有
这时截面六边形的面积也不小于正方体的一个侧面的面积．
2．过A、A′、B、B′的平面截三个球得三个圆，其中两个圆分别是△ABP及△A′B′P的外接圆，这两个圆相切于P点（如图）．设RQ是它们在P点的公切线．于是，有
∠ABP=∠APQ=∠A′PR=∠A′B′P=∠BAP
所以 AP=BP；同理A′P=B′p；相加得AA′=BB′；同理BB′=CC′；
3．设正方形边长为4a，则折成之正四棱柱面底面边长为a，高为4a．
连AC及AC1，则有
在△ABC中，由余弦定理
所以∠ABC=θ=120°，即折线相邻线段间的夹角为120°．
4．（1）设∠ADP=α，∠CDQ=β，∠PDQ=γ．因为α+γ＞45°＞β，β+γ＞45°＞α，故只须证明 α+β＞γ．设AM =BN =a，CN =b，AB=1．则
因此α+β＞45°，从而α+β＞γ．
（2）在折成的四面体D-A（C）MN中，DA⊥AN，DA⊥AM，故DA⊥底面△AMN，且
△AMN≌△BMN（图1中）故∠MAN=90°．又AQ平分∠DAN，AP平分∠DAM．
过Q作QR∥AN交DA于R；过R作RS∥AM交AP于S．则四面体R-AQS中，RS=RQ=RA，且∠ARQ=∠QRS=∠ARS=90°．
60°．
5．在给定点中取点A、B、C，使其余的点都在平面ABC的同一侧．设D、E是另两个已知点，若E在过A、B、C、D的球面S的内部，则点D在过A、B、C、E的球面的外部，与已知矛盾．因此，点E必在球面S上．同理可证所有其余的点均应在球面S上．
6． 当顶点A趋向于底面中心O时，α→0，β→π，四面体所有的二面角的和趋向于3π．
当顶点A趋向于无穷时，α→π/2，β→π/3，四面体所有二面角的和趋向于3（π/2+π/3）=5π/2．
由此可知，四面体的所有二面角的和不是定值．
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