非线性二元机翼气动弹性近似解析研

非线性二元机翼气动弹性近似解析研 万方数据　 竺！塑 童兰童竺：兰兰竺三至竺竺兰兰塑竺兰竺竺丝竺量 ！！！： 弹性轴 ＦＩｇ １ Ｔｗｏ・ｄｉｍｅｎｔＩ。ｎａｌａｉｄｏｉｌＩｎ。ｄｃＩ 采用如下形式的非定常气动力‘”１： Ｇ（ｒ）＝”（ｒ一∞”＋ａ７）＋２《ａ（ｏ）＋＾７（ｏ）＋ （丢～）ｎ，（０，ｋ，＋ ２也虬刊［ａ‰）ｗ∽＋（号一ｎ）ａ％）］由ＪＯ Ｌ 、口 ， Ｊ 。∽一”（丢＋ｎ）∽）“（０）＋ （丢一ｎ）ｎ，（０，ｋ，＋ ”（号＋ｎ）』：≠（ｒ—ａ）［ｎ７（一）＋Ａ”（一）＋ （号一ｎ）ａ％，］曲＋ 号ａ（ｒ—ｍ”）一（丢一ｎ）詈“７一蠢， 迟滞非线性二元机翼的无量纲运动方程可以 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 为嗍 ｍｏｒ＋ｍｌ口，’＋辨２Ａ＋＋ｍ３９４＋ｍ４＾十 ｍ５ａ＋ｍ６ｚｌ＋ｍ７￡２＋ｍ８９３＋ ｍ。鼠＋巩最Ｎ－（＾７）＋ （炭）‘尬㈨一ｏ （１） ‰ｒ＋ｎ１，＋珊Ａ’＋ｍ口’＋ｎｔＡ＋ 砘口＋ｎ６２１＋ｎ７＝２＋”ｇ翱＋ 郴ｔ＋安Ｍ（ａ’）＋ （击）２Ｍｃａ，一。 式中：无量纲位移＾＝＾／６；无量纲时间ｒ—Ｕ朋’ 无量纲来流速度Ｕ。＝ｕ／（‰）；‰为俯仰方向非 耦合自然频率；ｍ，，ｍ（ｆ—ｏ，ｌ，…，９）分别为系统参数的函数。详细推导过程可参阅文献［９］。２谐波平衡法 多项式迟滞非线性广义“力一位移”曲线如图２ 万　 方数据图２迟带非残性 Ｆ嘻２Ｈｙ５ｔｅｒｅｓｉｓⅡｏｎｌｉｎｅａｎ竹 所示，对于沉浮方向为线性刚度，俯仰方向含有迟 滞非线性的二元机翼…，Ｍ＾（＾）一Ａ，Ｍ（口７）一 Ａａ“，＾ｔ（ａ）一Ｂ矿。假设系统响应以一次谐波为主，则可表示为‘２３ 黑冀三＝扎。。训｝㈣ Ａ（ｒ）＝＾１ｓｉｎ（∞ｆ）＋＾２ｃｏｓ（∞ｒ）Ｊ 将式（２）代人方程组式（１），分别提取ｓｉｎ（。ｒ）项和ｃｏｓ（ｕｆ）项的系数，可以得到关于ｎｏ，＾。，如以及ｍ的代数方程组： ｄｌ锄＋ｎ＾１＋＾＾２—０（３） ｄ２口ｏ＋如＾ｌ＋，ｚ＾２＝０ （４） ｄ３幽＋旬＾１＋，３＾２＋手‰＆：一ｏ （５） 矾ｄ。＋ｅｔ＾ｌ＋，．也＋普月１。Ａｎ３Ⅲ３一ｏ（６） 式中：ｄ。，ｅ。，，ｌ（滓１，２，３，４）分别为系统参数和振 动频率“的函数，具体为 凼＝一ｍｌ埘２＋ｍ５＋ｍ６ａ￡１＋ｍ７如ｆ２］ 也一”ａ。一”ｅ““一”７“屯 ｌ（７） 以一一ｎ１∥＋ｎ５＋ｎ６ｆ１￡１＋晰白￡２ ｄ。＝ｎ３∞一‰埘￡１一ｎ７鲫ｆ２ Ｊ Ｐｌ一一ｍｏ叫２＋优Ｉ＋研ｌｏ＋坍８ｆ１“＋ｍ９ｃ２ｆ２］如＝坍ｚ倒一ｍａ甜ｒ－一ｍ。甜ｚ。ｌ 自＝一”ｏ∥＋”４＋ｎ８“￡１＋ｎ９ ｃ２ｆ２ “一月２∞一ｎＢ叫ｆ１一ｎ。∞ｔ。 Ｊ （８） ，１＝一ｅ。，＾一Ｐ， Ｉ （９） ｆ３一一ｅ、。 ，ｔ＝一乱１ 式中：￡１；（砖＋∞２）～；ｆ２＝（ｆ；＋叫２）一。 由式（３）和式（４）得： ＾ｔ一口ｏＨ－， 圯。ｍＨ。 （１０） 航空学报 第２８卷 式中： 竺三｛竺二麓Ｚ２麓㈡Ⅲ， Ｈｚ＝（比ｄ１一Ｆｚ也）／（＾旬一，ｌ屯）Ｊ 将式（１０）和式（１１）代人式（５）和式（６），消去‰并整理后可以得到 Ａ“ｚ。叫３（巩＋如Ｈｌ＋，ｌＨ２）一（１２） 岛１１ｌ（出＋幽ＨＩ＋，４Ｈ２）＝Ｏ 式中：ｄ，，岛，＾（ｆ一１，３，４）分别为埘的函数。因此式（１２）是只含有未知数“的代数方程。系统发生颤振时，求解该方程可以得到。的两个正实根。将式（１０）和式（１１）代入式（５）和式（６）分别求出口ｏ， 勘一／型立掣乓曼旦芝勘一√——面瓦丁～ （１３）¨＂ 幽一＾／——１丽■～孟一√塑≮譬型Ⅲ， ｕ＂ 经检验，ｍ的正实根最多只有１个满足ｎ０一五，即所求的颤振频率。。值确定以后，可由式（１３）或 式（１４）计算出俯仰振幅，沉浮振幅由式（１０）可以求得 ‰一山￣／Ｈｊ＋Ｈ： （１５） ３算例分析 非线性模型参数Ａ和Ｂ分别为ｏ．０１和３，机翼参数为‘”：Ⅱ一一ｏ．５，ｒ＝ｏ．５，ｄ＝ｏ．２５，且一 １００，∞一Ｏ．２。速度较小时，式（１２）不存在正实根；随着来流速度的不断增大，当有正实根存在时表明系统已经发生颤振。Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ数值积分方法所用到的初始条件为ａ（Ｏ）一Ｏ．０ｌ和ａ７（０）＝ ＾（Ｏ）一Ａ７（Ｏ）一０。 （１）颤振频率与振幅 在Ｕ０∈［Ｏ．８，２．５］的范围内分别用谐波平衡法和数值方法进行求解，颤振频率和振幅随来流速度变化如图３和图４。随着来流速度的增大，系统最先发生颤振时的速度即为临界颇振速度。可以发现，两种方法所确定的临界颤振速度并不完全一致，当无量纲来流速度达到Ｏ．９左右时式（１２）就已经存在正实数根，说明系统已经发生颤振，而数值结果则显示来流速度继续增大到１．１以后才出现极限环振荡。这主要是因为数值方法求解时不仅和来流速度有关，还与所用的初始条件有关，而谐波平衡法不能考虑初始条件的影响。 万　 方数据蚪鞋妊 囤３频率随建度变化 Ｆｌ｝３ ＦｕｎｄａｍｅｎｔａＩｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｖｅｒ９ｕｓ ｖｅＩｏｃｉｔｙ 言｛謦蛙晕车 罂 避髓蛙 圈４振幅随建度变化 Ｆｉ目４ Ａｍｐｌｉｔｕｄｅ ｖｅｒｓｕ㈣ｌｏｃ Ｌｔｙ 由图３和图４可见，在１．１～２．０的速度范围在２个典型区间选取速度点１．８和２．２，对２内，ＨＢ结果与数值结果是比较吻合的。但随着速度的不断增加，两种结果之间的偏差有增大的趋势。数值结果显示，当来流速度达到２．Ｏ时，振动频率和振幅同时出现跳跃现象，而ＨＢ结果并不能预测这一现象。 个方向的响应历程分别进行频谱分析。由图５可见，沉浮运动只有一阶谐波，而俯仰运动在跳跃现象之前的二阶振动分量就已经比较明显。这也是图４中二次分叉以前俯仰振幅偏差明显大于沉浮振幅的原因。由图６发现，系统发生二次分叉后沉浮响应中依然没有高阶分量产生。这也说明俯 笨５期李道春等：非线性二元帆翼气动弹性近似解析研究 １０Ｓ３ 仰方向的非线性因素并不能导致沉浮方向的高阶振动分量。而二次分叉后俯仰方向的运动形式更加复杂，已经出现了５阶分量。由于本文所使用的谐波平衡法仅含有一阶分量，因此所得出的近似解析结果只能在系统发生颤振至二次分叉之间的范围内才能使用。 （２）弹性轴位置对颤振的影响 根据式（１２）～式（１５），可以比较直接地研究二元机翼系统参数对颤振特性的影响。本文主要研究了弹性轴到翼弦中点的距离对颤振频率和振幅的影响．其他参数也可做类似研究。 罂鞲赃 ｊｓ 坚鞲晕车 图５频谱分析 ＦＩｇ ５ Ｐｏｗｅｒ ｓｐｅｃｔｒａｌｄｅｎ３ｉ仃 万　 方数据粤璀蹬 蛙 罩 ｂ 图６二次分里后的响应历程与频谱分析 Ｆ，ｇ６ ＴｉｍｅｈｊｓｔｏｒｉｅｓａⅡｄｐｏｗｅｒ ８ｐｅｃｔ憎ｌｄｅｎ８ｉｔｉｅｓａｈｅｒｔｈｅ ￥ｅｃｏｎｄｂｉｆｕｆ曲ｔｉｏｎ 固定来流速度为１．２，令４在［一ｏ．５，一ｏ．１］的范围内取值，求解式（１２）发现颤振频率几乎没２至０。２０１９这一很小的范围内轻微波动。颤振振幅的变化如图７所示，随 堇罂骣晕擎 有变化，只是在Ｏ。２００着弹性轴不断靠近翼弦中点．俯仰振幅逐渐增大，而沉浮振幅则在口＝一Ｏ．３左右存在一个极小值点，数值方法也给出了相同的结果。 航空学报第２８卷 坚鞲亡ｆ 蛙 图７弹性轴位置对振幅的影响 Ｈｏ ７ ＡｍＪ妣ｕｄ㈣ｕｓ ｔｈｅ ｄｌｓｆ趼钟ｆ册ｅｈｓ血ａｘｉｓ埽ｔｈｅ ａｌｒｆ。ｄ删ｄｐｏｉｎｔ ４结论 利用谐波平衡法研究了迟滞非线性二元机翼的颤振特性。首先推导出以颤振频率为未知数的高次代数方程，由此方程解出颤振频率后，即可求出２个自由度的颤振振幅。虽然由于气动弹性系统的复杂性，未能以显式的形式给出颤振频率，但仍可以避免数值积分过程中的积累误差。 本文所用到的谐波平衡法虽然只含有一次谐波，但仍能够在气动弹性系统发生高次分叉之前比较准确地预测颤振频率和振幅。为了研究非线性气动弹性系统响应中的高次分叉，可以增加谐波平衡法中的高阶谐波分量。与数值积分方法相比，谐波平衡法不仅推导过程复杂，而且不能考察初始条件对颤振特性的影响。 参考文献 ［１］ＬｅｅＢＨ Ｋ．Ｐｒｉｃｅ ｓ ａｅｒｏｅｌａｓｔＩｃ 扑ａｌｙｓｉｓｏｆａｉｒｆｏｍ ｂｉｆｕｒ口ｔｉｏ…ｄＪ，ｗｏｎｇＹ＆№ｎ【【雎ａｒ ｃｈａ０９［Ｊ］．Ｐｒｏｇ嗍ｉｎ Ａｅｆｏ”ａｃｅｓｃｉｅｎｃｅ・１９９９・３５（３）｛２０５—３３４． ［２］ Ｌｅｅ ＢＨＫ，Ｌ沁Ｌ，ｃｈｕｎｇＫｗ．ＡＬｒｆ。ｉｌｍｏｔｌ∽ｍｕｂｓｏｎ— ｉｃ｛Ｉｏｗｗｉｔｈ ｓｔｒｏｎｇ ｃｕｂ㈣ｎ【ＬｎｅａｒｒｅＢｔｏｒ Ｌｎｇ ｆａ删［Ｊ］． ＪｏｕｍａｌｏｆＳｏｕｎｄａｎｄ Ｖｉｂｒａｎ口ｎ，２００５，２８１：６９９—７１７． ［３］ＬｉｕＬ，Ｄｏｗｅ¨ＥＨ．Ｔｈｅ鞋ｃｏｎｄａｒｙｂｉｆ㈣ｔｂｎ。ｆ ａｎａｅｒｏ— ｃＩａ蚍ｉｃ ａｌｒｆｏｉｌ肿ｔｉｏｎ；ｅ“ｅｃｔｏｆｈｌｇｈｈａｒｆ【ｌｏｎｉｃＢ［Ｊ］，Ｎｏｎｌｌｎ－ ｅａｒ Ｄｎｍｊｅｓ，２００４，３７：３１—４９． 万　 方数据［４］赵永辉，胡毒岩．具有操纵间隙非线性二维翼巨的气动弹 性丹析［Ｊ］．航空学报，２００３，２４ｆ６）：５２】一５２５． ＺｂａｏＹｏｎｇｈｕＩ，ＨｕＨａＩｙａ也ＡｅｒｏｅｌａＢⅡｃ丑ｎａｌｙＢｈｏｆ ａ ｔｗｏ 击ｎｌｅｎｓ㈣１ａｉｒｆｏ“ｗｉｔｈｃｏｎｔｒｏ【３ｕｒｆａｃｅｆｒｅｅｐｌａｙｎｏｎｌｉｌ＂ａｄ一 ‘ｙ［Ｊ］．Ａｃｔａ Ａｅｒｏｎａｕｔｊｃａ ｅｔ ＡｓｔｒｏｎａｕｔｔｃａＳｉｎｉｃａ，２００３，２４ （６）：５２ｌ一５２５．（ｍ Ｃｈｉ㈣） ［５］ Ｙａｎｇ ｚｃ，ｚｈａｏＬｃＡｎａＩｙｓｌｓｏｆ】ｌｍｌｔｃｙｃｌｅ儿ｕｔｔｅｒＤｆ ａｎ ⅢｆｏｉＩ ｉｎ ｉｎｃｏｍｐｒｅｓｓＩｂ【ｅｎｏｗ［Ｊ］．ＪｏｕｆｎⅡＩ。ｆｓｏｕｎｄａｎｄｖｉ— ｂｒａｔｉｏｎ，１９８８，１２３：ｌ一１３． ［６］ ｚｈａｏ Ｙ Ｈ，Ｈｕ Ｈ Ｙ．ＡｅｒｏｅｌａｓｔｌｃａｎａＩｙｓｉｓｏｆ ａ ｎｏｎ＿ｌｉｎ阻ｒ ａｉｒｆｏｉｌｂａ５ｅｄ ｏｎ ｕｎｓｔｅａｄｙ ｖｏｒｔｅｘ １ａ恤ｃｅｍｏｄｅ【［Ｊ］．ＪｏｕｆｎａＩ ｏｆＳ０ｕｎｄａｎｄＶｉｂｒａｔｉｏｎ，２００４。２７６：４９卜５１０． ［７］Ｌ沁Ｌ，ｗｏ“ｇ Ｙｓ．ＬｅｅＢＨＫ ＮｏｎＩｉｎｅａｒａ洲ｌａｓｔｉｃａｎａ卜 ｙ８ｉｓｕ５ｉｎｇｔｈｅｐｏｉｎｔｔｒａｎｓｆｏ皿ａｔｉｏｎｍ烈ｈｏｄ，ｐａｒｔ２：ｈｙ５一 ｔｅｒｅ８ｉｓ肿ｄｅｌ［Ｊ］．ＪｏｕｍａＩ ｏｆＳ０ｕⅡｄａｎｄ ｖＩｂｒａｔＩｏｎ．ｚｏｏｚｔ ２５３：４７１—４８３． ［８］ ＬｅｅＢＨＫｔＴｒｏⅡ凡Ｅｆｆｅｃｔｏｏｆｓｔ九ｌｃＩｕｒａｌｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｉｅ８ ∞“ｕｔｔｅｆｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ５０“ｈｅｃＦ－１８日ｉｒｃＨｆｔ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎ＾Ｉ 。ｆＡｉｒｃｒａｆｔ，１９８９．２６（８）ｌ ７８１—７８６． ［９］李道春，向锦武．迥滞非线性二元机鬟螺振特性分析［Ｊ］． 航空学报，２００７ｔ２８（３）：６００—６０４． Ｌ【Ｄａｏｃｈｕｎ，Ｘｉａ“ｇ ｄｉ删ｉｏ扛ａｌ Ｊｉ删．Ａｅｒｏｅｌａｓｔｉｃａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ａ ｔ哪・ ａｔｒｆ。；１ｗＩ出８ ｂｓｔｅｆｅ《ｓ ｇｔ皿双ｕ珀２啪Ｉｉｎｅａ—ｏｙ ［Ｊ］．ＡｃｔａＡｅｆｏｎａｕｔｊ∞ｅｔＡ５ｔｒｏｎａｕｔｌｃａｓｉｎｌｃａ，２００７，２８ （３）ｔ ６００－６０４， ［１０］ＦｕｎｇＹｃＡｎｉⅡｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｔｏ ｔｈｅｔｈｅｏ吖ｏｆＢｅｒｏｅｌａＢｔｉｃｌ‘ｙ ［Ｍ］ Ｎｅｗ ＹｏｒｋｌＤ。ｖｅｒＰｕｂｌｊｃａｔｉｏｎ１ｎｃ，１９９３． 作者衢赍： 李遒謇｛１９８０一ｌ男，博士研究生。主要研 究方向：非线性气动弹性分析与控制。 ＴｅｌｚｏｌＯ一８２３３８７８６ Ｂ“ｍｉｌ；ｌｉｄｃ＠溉ｂｕａａ．ｅｄｕ．皿 向锦武【１０６４一ｌ男，教授，博士生导师。主要研究方向。飞行嚣总体设计，结构设计、气动弹性与振动控制等。 Ｔｄ：０１０－８２３１７５４３ Ｅ．蛐ｊｌ：ｄａｎ毋ｗＭ＠ｓｉｎａ．咖ｍ （责任编辑：刘振国）