关于矩阵秩的证明-----09数应鄢丽萍中文摘要在高等代数中,矩阵的秩是一个重要的概念。它是矩阵的一个数量特征，而且在初等变换下保持不变。关于矩阵秩的问题,通常转化为矩阵是否可逆,线性方程组的解的情况等来解决。所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩，由于矩阵的行秩与列秩相等，故统称为矩阵的秩。向量组的秩就是向量组中极大线性无关组所含向量的个数。关键词：初等变换向量组的秩极大线性无关组约定用E
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示单位向量，A表示矩阵A的转置，r(A)表示矩阵A的秩。在涉及矩阵的秩时，以下几个简单的性质：（1）r(A)=r(A);（2）r(kA)=（3）设A,B分别为n×m与m×s矩阵，则r(AB)≤min{r(A),r(B),n,m,s}(4)r(A)=n,当且仅当≠0(5)r=r(A)+r(B)≤r(6)r(A-B)≤r(A)+r(B)矩阵可以进行加法，数乘，乘法等运算，运算后的新矩阵的秩与原矩阵的秩有一定关系。定理1：设A,B为n×n阶矩阵，则r(A+B)≤r(A)+r(B)证:由初等变换可得→→即=由性质5可得r=r则有r(A)+r(B)≥r(A+B)定理2（sylverster公式）设A为s×n阶矩阵，B为n×m阶矩阵，则有r(A)+r(B)-n≤r(AB)证：由初等变换可得→→即＝ 则r=r即r(A)+r(B)-n≤r(AB)推论(Frobenius公式)设A为m×n阶矩阵，B为n×s阶矩阵，C为s×t阶矩阵，则r(AB)+r(BC)-r(B)≤r(ABC)证：设r(B)=r,存在n阶可逆矩阵P，s阶可逆矩阵Q，使B=PQ=PQ令M=P，N=Q则有B=MN根据定理2r(AMNC)≥r(AM)+r(NC)-r(MN)≥r(AMN)+r(MNC)-r(MN)即r(AB)+r(BC)-r(B)≤r(ABC)定理3设A为n×n矩阵，若A=E，那么有r(A+E)+r(A-E)=n证：根据题意有（A+E）（A-E）=O令A+E=A，A-E=A，有AA=O由定理2可知r(A)+r(A)≤n即r(A+E)+r(A-E)≤n又根据性质6有r(A+E)+r(A-E)≥r[(A+E)-(A-E)]=r(2E)=n故r(A+E)+r(A-E)=n推论设A为n×n矩阵且A=A，那么有r(A)+r(A-E)=n证：事实上，有→→→→=则有r=r故有r(A)+r(A-E)=r(E)=n定理4设A是s×n实矩阵，有r(E-AA)-r(E-AA)=n-s证:要证r(E-AA)-r(E-AA)=n-s即只要证r(E-AA)+s=r(E-AA)+n由初等变换有→→即=故有r=r=n+r(E-AA)同理可证r=s+r(E-AA)综上有n+r(E-AA)=s+r(E-AA)定理5设A,C均为m×n矩阵，B,D均为n×s矩阵，则有r(AB-CD)≤r(A-C)+r(B-D)证：由分块矩阵的乘法得=故r=r故r(A-C)+r(B-D)≥r(AB-CD)参考文献【1】刘红星.高等代数选讲【M】.北京：机械工业出版社，2009.【2】钱吉林.高等代数题解精粹【M】.北京：中央民族大学出版社，2005.【3】徐忡，等.高等代数考研
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【M】.陕西;西北工业大学出版社，2009.（4）（5）（6）（7）（8）（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）（9）【1】【2】
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