第13章 三角形中的边角关系、命题与证明13.2 命题与证明第4课时三角形的外角
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1 三角形外角的概念1.如图,下列关于外角的说法正确的是(D)A.∠HBA是△ABC的外角B.∠HBG是△ABC的外角C.∠DCE是△ABC的外角D.∠GBA是△ABC的外角知识点2 三角形外角的性质2.如图,∠A=30°,∠B=45°,∠C=40°,则∠DFE=(C)A.75° B.100°C.115° D.120°3.如图所示,已知AB∥CD,则(A)A.∠1=∠2+∠3 B.∠1>∠2+∠3C.∠2=∠1+∠3 D.∠1<∠2+∠34.如图所示,则∠A,∠DOE与∠BDC之间的关系是(B)A.∠A>∠DOE>∠BDCB.∠DOE>∠BDC>∠AC.∠DOE>∠A>∠BDCD.无法确定5.如图,D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD,∠ADC=80°,∠BAC=70°.求:(1)∠B的度数;(2)∠C的度数.解:(1)∵∠ADC=∠B+∠BAD=80°,∠B=∠BAD,∴∠B=40°.(2)∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∠BAC=70°,∠B=40°,∴∠C=70°.6.如图所示,∠ACD是△ABC的一个外角,CE平分∠ACD,F为CA延长线上的一点,FG∥CE,交AB于点G,下列说法正确的是(C)A.∠2+∠3>∠1 B.∠2+∠3<∠1C.∠2+∠3=∠1 D.无法判断7.△ABC的三条外角平分线相交成一个△A'B'C',则△A'B'C'(C)A.一定是钝角三角形 B.一定是直角三角形C.一定是锐角三角形 D.一定不是锐角三角形8.有一块试验地形状为等边三角形(设其为△ABC),为了了解情况,管理员甲从顶点A出发,沿AB→BC→CA的方向走了一圈回到顶点A处.管理员乙从BC边上的一点D出发,沿DC→CA→AB→BD的方向走了一圈回到出发点D处.则甲、乙两位管理员从出发到回到原处的途中身体(D)A.甲、乙都转过180°B.甲、乙都转过360°C.甲转过120°,乙转过180°D.甲转过240°,乙转过360°11.如图,已知在△ABC中,∠1=∠2.(1)请你添加一个与直线AC有关的条件,由此可得出BE是△ABC的外角平分线.(2)请你添加一个与∠1有关的条件,由此可得出BE是△ABC的外角平分线.(3)如果“已知在△ABC中,∠1=∠2不变”,请你把(1)中添加的条件与所得结论互换,所得的命题是否是真命题,理由是什么?解:(1)AC∥BE.(2)∠1=∠ABE或∠1=∠DBE.(3)是真命题,理由如下:因为BE是△ABC的外角平分线,所以∠ABE=∠DBE,又∵∠ABD是三角形ABC的外角,所以∠ABD=∠1+∠2,即∠ABE+∠DBE=∠1+∠2,又∵∠ABE=∠DBE,∠1=∠2,所以∠ABE=∠1,所以AC∥BE. 12.星期天,小明见爸爸愁眉苦脸在看一张图纸,他便悄悄地来到爸爸身边,想看爸爸为什么犯愁.爸爸见到他,高兴地对他说:“来帮我一个忙,你看这是一个四边形零件的平面图,它要求∠BDC等于140°才算合格,小明通过测量得∠A=90°,∠B=19°,∠C=40°后就下结论说此零件不合格,于是爸爸让小明解释这是为什么,小明很轻松地说出了原因,并用如下的三种方法解出此题.请你分别说出不合格的理由.(1)如图1,连接AD并延长.(2)如图2,延长CD交AB于点E.(3)如图3,连接BC.解:(1)∠BDC=∠1+∠2=∠BAC+∠B+∠C=90°+19°+40°=149°≠140°,故不合格.(2)∠BDC=∠1+∠B=∠A+∠C+∠B=149°≠140°,故不合格.(3)∵∠1+∠2=180°-(90°+19°+40°),∴∠BDC=180°-(∠1+∠2)=149°≠140°,故不合格.13.如图,在△ABC中,点E在AC上,∠AEB=∠ABC.(1)图1中,作∠BAC的平分线AD,分别交CB,BE于D,F两点,求证:∠EFD=∠ADC.(2)图2中,作△ABC的外角∠BAG的平分线AD,分别交CB,BE的延长线于D,F两点,试探究(1)中结论是否仍成立?为什么?解:(1)∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC,∵∠EFD=∠DAC+∠AEB,∠ADC=∠ABC+∠BAD,又∵∠AEB=∠ABC,∴∠EFD=∠ADC.(2)(1)中结论仍成立.理由:∵AD平分∠BAG,∴∠BAD=∠GAD,∵∠FAE=∠GAD,∴∠FAE=∠BAD,∵∠EFD=∠AEB-∠FAE,∠ADC=∠ABC-∠BAD,又∵∠AEB=∠ABC,∴∠EFD=∠ADC. 14.已知△ABC.(1)如图1,若D点是△ABC内任意一点,求证:∠D=∠A+∠ABD+∠ACD.(2)若D点是△ABC外一点,位置如图2所示.猜想∠D,∠A,∠ABD,∠ACD有怎样的关系?请直接写出所满足的
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达式.(不需要证明)(3)若D点是△ABC外一点,位置如图3所示,猜想∠D,∠A,∠ABD,∠ACD之间有怎样的关系?并证明你的结论.解:(1)延长BD交AC于点E.∵∠BDC是△CDE的外角,∴∠BDC=∠ACD+∠CED,∵∠CED是△ABE的外角,∴∠CED=∠A+∠ABD.∴∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD.(2)∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=360°.(3)令BD,AC交于点E,∵∠AED是△ABE的外角,∴∠AED=∠A+∠ABD,∵∠AED是△CDE的外角,∴∠AED=∠D+∠ACD,∴∠D+∠ACD=∠A+∠ABD.
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