概率论1_copy

null概率论与数理统计 **概率论与数理统计 第一章 概率论的基本概念*关键词： 样本空间 随机事件 频率和概率 条件概率 事件的独立性第一章 概率论的基本概念§1 随机试验*§1 随机试验 确定性现象：结果确定 不确定性现象：结果不确定 ——确定——不确定——不确定自然界与社会生活中的两类现象例： 向上抛出的物体会掉落到地上 明天天气状况 买了彩票会中奖概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律*概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律 对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有以下特性： 可以在相同条件下重复进行 事先知道可能出现的结果 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生 例： 抛一枚硬币，观察试验结果； 对某路公交车某停靠站登记下车人数； 对某批电子产品测试其输入电压； 对听课人数进行一次登记；§2 样本空间·随机事件*§2 样本空间·随机事件(一)样本空间 定义：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的 样本空 间，记为S={e}， 称S中的元素e为样本点，一个元素的单点集称为基本事件．S={0,1,2,…}；S={正面，反面}；S={(x,y)|T0≤y≤x≤T1}；S={ x|a≤x≤b } 　记录一城市一日中发生交通事故次数 例： 　一枚硬币抛一次 　记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y 　记录一批产品的寿命xnull*(二) 随机事件 一般我们称S的子集A为E的随机事件A，当且仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。 S={0,1,2,…}；例：观察89路公交车浙大站候车人数，如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生， 故又称S为必然事件。 为方便起见，记Φ为不可能事件， Φ不包含 任何样本点。 null*例： 记A={明天天晴}，B={明天无雨} 记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车} 一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面} (三) 事件的关系及运算 事件的关系（包含、相等） null* 事件的运算当AB= Φ时，称事件A与B不相容的。 null* “和”、“交”关系式例：设A={ 甲来听课 }，B={ 乙来听课 } ，则：{甲、乙至少有一人来}{甲、乙都来}{甲、乙都不来}{甲、乙至少有一人不来}§3 频率与概率*§3 频率与概率(一)频率 定义：记 其中 —A发生的次数(频数)；n—总试验次 数。称 为A在这n次试验中发生的频率。某人一共听了16次“概率统计”课，其中有12次迟到，记 A={听课迟到}，则 # 频率 反映了事件A发生的频繁程度。例： 中国国家足球队，“冲击亚洲”共进行了n次，其中成功了一次，则在这n次试验中“冲击亚洲”这事件发生的频率为 null表 1 例：抛硬币出现的正面的频率null* ** 频率的性质： 且 随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p． null* (二) 概率 定义1： 的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p 定义2：将概率视为测度，且满足： 称P(A)为事件A的概率。null*性质：null*null*§4 等可能概型（古典概型）*§4 等可能概型（古典概型）定义：若试验E满足： S中样本点有限(有限性) 出现每一样本点的概率相等(等可能性) 称这种试验为等可能概型(或古典概型)。null*例1：一袋中有8个球，其中3个为红球，5个为黄球，设摸到每一球的可能性相等，从袋中不放回摸两球， 记A={恰是一红一黄}，求P(A)． 解：例2：有N件产品，其中D件是次品，从中不放 回的取n件， 记Ak＝{恰有k件次品}，求P(Ak)． 解：null*例3：将n个不同的球，投入N个不同的盒中(n≤N)，设每一球 落入各盒的概率相同，且各盒可放的球数不限， 记A＝{ 恰有n个盒子各有一球 }，求P(A)． 解： 即当n＝2时，共有N2个样本点；一般地，n个球放入N个盒子中，总样本点数为Nn，使A发生的样本点数 可解析为一个64人的班上，至少有两人在同一天过生日的概率为99.7%．若取n＝64，N＝365,null*例4: (抽签问题)一袋中有a个红球，b个白球，记a＋b＝n． 设每次摸到各球的概率相等，每次从袋中摸一球， 不放回地摸n次。 设 { 第k次摸到红球 }，k＝1,2,…,n．求 解1： 号球为红球，将n个人也编号为1,2,…,n．----------与k无关 可设想将n个球进行编号： 其中 视 的任一排列为一个样本点，每点出现的概率 相等。 null*解3： 将第k次摸到的球号作为一样本点：原来这不是等可能概型解2： 视哪几次摸到红球为一样本点解4： 记第k次摸到的球的颜色为一样本点： S＝{红色,白色}， null* 解：假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周 的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来 访者都是在周二、周四的概率为 212/712 =0.000 000 3.例5：某接待站在某一周曾接待12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的? 人们在长期的实践中 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”(称之为实际推断原理)。 现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此有理由怀疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。§5 条件概率*一、条件概率 定义： 由上面讨论知，P(B|A)应具有概率的所有性质。 例如：二、乘法公式 当下面的条件概率都有意义时： §5 条件概率null* 例：某厂生产的产品能直接出厂的概率为70%，余下 的30%的产品要调试后再定，已知调试后有80% 的产品可以出厂，20%的产品要报废。求该厂产 品的报废率。 解：设 A={生产的产品要报废} B={生产的产品要调试} 已知P(B)=0.3，P(A|B)=0.2， null* 例：某行业进行专业劳动技能考核，一个月安排一次，每人 最多参加3次；某人第一次参加能通过的概率为60%；如 果第一次未通过就去参加第二次，这时能通过的概率为 80%；如果第二次再未通过，则去参加第三次，此时能通 过的概率为90%。求这人能通过考核的概率。解： 设 Ai={ 这人第i次通过考核 }，i=1,2,3 A={ 这人通过考核 }，亦可： 三、全概率公式与Bayes公式*三、全概率公式与Bayes公式定义：设S为试验E的样本空间，B1,B2,…,Bn 为E的一组事件。若： 则称B1,B2,…,Bn为S的一个划分,或称为一组完备事件组。即：B1,B2,…,Bn至少有一发生是 必然的，两两同时发生又是不可能的。null* 定理：设试验E的样本空间为S，A为E的事件。B1,B2,…,Bn为S的一个划分，P(Bi)>0，i=1,2,…,n； 则称： 证明： 定理：接上定理条件， 称此式为Bayes公式。null* 例：一单位有甲、乙两人，已知甲近期出差的概率为80%， 若甲出差，则乙出差的概率为20%；若甲不出差， 则乙出差的概率为90%。(1)求近期乙出差的概率； (2)若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。 Bayes公式全概率公式解：设A={甲出差}，B={乙出差}null* 例：根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有5% 的假阳性及5%的假阴性：若设A={试验反应是阳性}， C={被诊断患有癌症} 则有： 已知某一群体 P(C)=0.005，问这种方法能否用于普查？若P(C)较大，不妨设P(C)=0.8 推出P(C|A)=0.987 说明这种试验方法可在医院用解：考察P(C|A)的值 若用于普查，100个阳性病人中被诊断患有癌症的 大约有8.7个，所以不宜用于普查。§6 独立性*§6 独立性 例：有10件产品，其中8件为正品，2件为次品。从中取2 次,每次取1件，设Ai={第i次取到正品}，i=1,2不放回抽样时， 放回抽样时， 即放回抽样时，A1的发生对A2的发生概率不影响 同样，A2的发生对A1的发生概率不影响定义：设A，B为两随机事件， 若P(B|A)=P(B)， 即P(AB)=P(A)P(B) 即P(A|B)=P(A)时，称A，B相互独立。 null* 注意：null* 例：甲、乙两人同时向一目标射击，甲击中 率为0.8，乙击中率为0.7，求目标被 击中的概率。 解： 设 A={甲击中},B={乙击中} C={目标被击中} ∵ 甲、乙同时射击，其结果互不影响， ∴ A，B相互独立null* 例：有4个独立元件构成的系统(如图)，设每个元件 能正常运行的概率为p，求系统正常运行的概率。 注意：这里系统的概念与电路 中的系统概念不同null* 第二章 随机变量及其分布*第二章 随机变量及其分布 关键词： 随机变量 概率分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量的函数§1 随机变量*§1 随机变量* 常见的两类试验结果：X=f(e)－－为S上的单值函数，X为实数 * 中心问题：将试验结果数量化* 定义：随试验结果而变的量X为随机变量* 常见的两类随机变量§2 离散型随机变量及其分布*§2 离散型随机变量及其分布 定义：取值可数的随机变量为离散量 离散量的概率分布(分布律)# 概率分布null* 例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经 过3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设 各灯为红灯的概率为p，0 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 如下：先作第一次检验， 从中任取10件，经检验无次品接受这批产品，次品数大 于2拒收；否则作第二次检验，从中任取5件，仅当5件 中无次品便接受这批产品，设产品的次品率为p． 求这批产品能被接受的概率． 解： 设X为第一次抽得的次品数，Y为第2次抽得的次品数； 则X～b(10,p)，Y～b(5,p)， 且{X=i}与{Y=j}独立。A={接受该批}。null*例：有10个球，其中8个黑球，2个红球。（1）从中取一球，X表示取到的红球数；（2）不放回从中取3球，Y表示取到的红球数；（3）放回抽样取3球，Z表示取到的红球数；（4）放回抽样，直到取到红球为止，U表示取球次数；（5）放回抽样，直到取到3次红球为止，V表示取球参数。求X,Y,Z,U,V的分布律。解： （1）P(X=0)=4/5, P(X=1)=1/5 ——（0－1）分布null* 泊松分布(Poisson分布) 若随机变量X的概率分布律为 称X服从参数为λ的泊松分布，记例：设某汽车停靠站候车人数 (1)求至少有两人候车的概率； (2)已知至少有两人候车，求恰有两人候车的概率。 解：null*§3 随机变量的分布函数null* 例： 解：§4 连续型随机变量及其概率密度*§4 连续型随机变量及其概率密度定义： 对于随机变量X的分布函数 若存在 非负的函数 使对于任意实数 有： 则称X为连续型随机变量， null* 与物理学中的质量线密度的定义相类似null* 例：设X的概率密度为 (1)求常数c的值； (2) 写出X的概率分布函数； (3) 要使 求k的值。 解：null*几个重要的连续量 均匀分布 定义：X具有概率密度 称X在区间(a,b)上服从均匀分布， 记为X～U(a,b) null*例：在区间(-1,2)上随机取一数X，试写出X的概率 密度。并求 的值； 若在该区间上随机取10个数，求10个数中恰有 两个数大于0的概率。 解：X在区间(-1,2)上均匀分布 设10个数中有Y个数大于0， 则：null*指数分布 定义：设X的概率密度为 其中λ>0为常数，则称X服从参数为λ的指数分布。记为 X具有如下的无记忆性：null* 正态分布* 正态分布定义：设X的概率密度为 其中 为常数，称X服从参数为 的正态分布(Gauss分布)， 记为 可以验证：null*称μ为位置参数(决定对称轴位置) σ为尺度参数(决定曲线分散性)null*X的取值呈中间多，两头少，对称的特性。 当固定μ时，σ越大，曲线的峰越低，落在μ附近的概率越小，取值就越分散， ∴ σ是反映X的取值分散性的一个指标。 在自然现象和社会现象中，大量随机变量服从或近似服从正态分布。null*null* 例：null* 例：一批钢材(线材)长度 (1)若μ=100，σ=2，求这批钢材长度小于97.8cm 的概率；(2)若μ=100，要使这批钢材的长度至少 有90%落在区间(97,103)内，问σ至多取何值？null* 例：设某地区男子身高 (1) 从该地区随机找一男子测身高，求他的身高大于 175cm的概率；(2) 若从中随机找5个男子测身高,问至 少有一人身高大于175cm的概率是多少？恰有一人身 高大于175cm的概率为多少？null*§5 随机变量的函数分布 问题：已知随机变量X的概率分布， 且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。例如，若要测量一个圆的面积，总是测量其半径，半径的 测量值可看作随机变量X，若 则Y服从什么分布？例：已知X具有概率分布 且设Y=X2，求Y的概率分布。 解：Y的所有可能取值为0,1 即找出(Y=0)的等价事件(X=0)； (Y=1)的等价事件(X=1)或(X=-1)null*例：设随机变量X具有概率密度 求Y=X2的概率密度。 Y在区间(0,16)上均匀分布。null*一般，若已知X的概率分布，Y=g(X)，求Y的 概率分布的过程为：关键是找出等价事件。null*例：设 Y=2X,Z=X2,求Y,Z的概率分布。 解：Y的可能取值为-2,0,2 Z的可能取值为0,1 (Y=-2)的等价事件为(X=-1)… (Z=1)的等价事件为(X=1)∪(X=-1) 故得：null*例： null*null*null*例： 解：例： 解：null*