高等数学测试题及解答下部分7-12章

《高等数学》单元测试及详细解答 第七单元 空间解析几何与向量代数 一、填空题 1、已知 与 垂直，且 ，则 _________, _________。 2、一向量与 轴和 轴成等角，而与 轴组成的角是它们的两倍，那么这个向量的方向角为___________。 3、 。 4、若两平面 与 EMBED Equation.3 互相垂直，则 。 5、通过两点(1,1,1)和(2,2,2)且与平面 垂直的平面方程是​​​____________。 6、已知从原点到某平面所作的垂线的垂足为点( )，则该平面方程为_________。 7、设平面 ，若 过点 ，则 又若 与平面 成 角，则 。 8、一平面过点( ),它在 轴上的截距为 ，在 轴上的截距为 ，则该平面的方程是___________。 9、若直线 与 垂直，则 。 10、设 则 。 11、过点 且与直线 垂直的平面方程是___________。 12、已知两条直线的方程是 则过 且平行于 的平面方程是______________。 二、选择题 1、下列命题，正确的是（　　　） (A) 是单位向量； (B) 非单位向量； (C) ； (D) 。 2、若直线 和直线 相交，则 （　　　） (A)1； (B) ； (C) ； (D) 。 3、母线平行于轴且通过曲线 的柱面方程是（　　　　） (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 4、旋转曲面 的旋转轴是（　　　　） (A) 轴； (B) 轴； (C) 轴； (D)直线 。 5、两平面 与 重合的充分必要件是（　　　）。 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 6、设 （其中均为非零向量），则 （　　　） (A) 0 ； (B)非零常数； (C) ； (D) 。 7、设有直线 则 与 的夹角为（　　　） (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 8、设有直线 及平面 则直线 （　　　） (A)平行于 ； (B)在 上； (C)垂直于 ； (D)与 斜交。 9、设一平面经过原点及 ，且与平面 垂直，则此平面方程为（　） （Ａ） ；　　　　　（Ｂ） ；　　　 （Ｃ） ；　　　　　（Ｄ） 。 10、已知向量 的模分别为 且 ，则 （ ） （A） ； （B） ； （C） ； （D） 。 11、设有非零向量 ，若 ，则必有（ ） （Ａ） ；　　　　　（Ｂ） ； （Ｃ） ；　　　　　　（Ｄ） 。 1２、设 满足 ，则 （　　　） （A）0 ； （B） ； （C） ； （D） 。 三、计算解答 1、设单位向量 、 、 满足 试证： 2、试求点 的关于 (1)平面 的对称点； (2)关于直线 的对称点。 3、求半径为3，且与平面 相切点 的球面方程。 4、求过点 并与下面两直线 和 都垂直的直线方程。 5、求过点 ，平行于平面 ，且与直线 相交的直线方程。 6、求过直线 且垂直于平面 的平面方程。 7、求平行于平面 ，而与三坐标面所构成的四面体体积为一个单位的平面。 8、求通过两平面 和 的交线，且与平面 垂直的平面方程。 9、判断下列两直线 和 是否在同一平面内，若是，则求两直线的交点；若不是，试求它们的最短距离。 第七单元 空间解析几何与向量代数测试题详细解答 一、填空题 1、 , 由向量加法的平行四边形法则及勾股定理易知 2、 或 由已知 而 或 或 或 3、 原式= 4、 。 5、 设所求方程为 ，则 6、 到原点的向经为 ，取 则所求平面方程为 既 7、 将 代入平面方程 ， 得 解得 取 则 两边平方解得 或 (舍去)。 8、 设所求平面截距式方程为 将 代入 得 解得 所以所求平面为 ， 即 。 9、 取 则由 得 10、 这是向量运算问题，先用叉乘对加法的分配律得 原式= ， 其中 。再用点乘对加法的分配律得 原式= 。 由于 只要其中有两个向量相同，又 中相邻两向量互换则变号，于是原式= 。 11、 所求平面的法向量 平行于所给直线的方向向量 ，取 ，则所求平面方程为 ，即 12、 所求平面 过直线 因而过 上的点 过 平行于 于是 平行于不共线的向量 （分别是直线与的方向向量）。于是平面 的方程 ，即 为所求。 二、选择题 1、选（C） 因 所以A错； 所B错； 所以选C； 方向与 相同, 方向与 相同所以D错。 2选（D）令 则 代入 得 解得 。 3、选（B）由母线平行于 轴， 消去 得 4、选（A）由旋转曲面的定义可知， 是由 或 绩 轴旋转而得。 5、选（C）． 6、选（A）由向量加法的三角形法则知 ，故 。 7、选（C）这实质是求两个向量的夹角问题。 与 的方向向量分别为 与 EMBED Equation.3 与 的夹角 的余弦位 8、选（C）这是讨论直线 的方向向量与平面 的法向量的相互关系问题。直线 的方向向量 平面 的法向量 。 ９、选（Ａ）既求过原点，与两个不同的向量（一个是从原点到点 的向量 ，另一是平面 的法向量 平行的平面，即 ，既 为所求。 10、选（C） ，所以 ，所以 ，则 。 11、选（B）由向量加法的平行四边形法则及两向量垂直及矩形的对角线相等得， 。 12、选（C） 两边同时叉乘向量 得 ，解得 ，所以 。 三、计算解答 1、证明：等式 两边分别点乘 得 解得 。等式两边分别叉乘 得 解得 将已上结果代入 并简化得左边 右边。 2、解：（1）过点 且垂直于平面 的直线方程为 其参数方程为 代入平面方程得交点坐标为 设A关于 的对称点为 B 则 即对称点坐标为 （2）解：过点A 旦垂直与直线 的平面方程为 即 将直线的参数方程 代入平面方程 ， 解得 直线与平面交点坐标为 对称坐标为 。 3、解：设球心坐标为 ，则 垂直平面 （1） 又 在球面上， （2） 联合（1）（2）解得 或 。 所以球面方程为 或 。 4、解：设所求直线方程为 直线 与 的方向矢量分别为 由题意有 ， 故 令 ， 则所求直线为 5、解：设所求直线方程为 平面的矢量 ，由直线与平面平行，所以 （*） 因为两直线相交，故有 （**） 解方程（*），（**）得 令 ，得 故所求直线为 6、解： 直线的方向矢量 ，已知平面的法矢量为 ，设所求平面的法矢量 ，由题意 且 ，故可令 于是所求平面方程为 即 。 7、解： 设所求平面为 由题设有 由方程（**） 代入（*），得 8、解： 设所求平面为 即 由于该平面 平面 ，所以它们的法矢量一定互相垂直，于是 取 代入（*）既得所求平面为 。 9、解 直线 与 的方向矢量分别为 并且它们分别过点 直线 与 共面 矢量 共面，即混合积 ，因为 ，故直线 与 共面。 下面求直线 与 的交点，为此令 （*） 既 代入 中，得 代回（*），可得 故 为直线 与 的交点。 第八单元 多元函数微分法及其应用 一、填空题 1、二元函数 的定义域是____________________. 2、二元函数 的定义域是____________________. 3、二元函数的极限 =____________________. 4、二元函数的极限 =____________________. 5、已知 ，则 =___________________。 6、已知 ，则 =___________________。 7、已知 ，则 ___________________ 8、已知 ，则 ___________________ 9、已知 ，则 = ___________________ 10、已知 ，则 = ___________________ 11、已知 ，则 在 处当 时， = ___________________ 12、设 ，则 =___________________ 13、设 ，则 =___________________ 14、设 ，而 ， 。则 =___________________ ， =___________________ 15、设 ，而 ， 。则 =___________________ ， =___________________ 16、设 ，则 =___________________ 17、设 ，则 =___________________ 18、设 ，则 =_________________ 19、设曲线 ，曲线在 处的切线为______________________________________，曲线在 处的法平面为______________________________________。、 20、设曲面 ，则曲线在 处的切平面______________________________________,曲线在 处的法线______________________________________ 21、函数 在点 处有极__________值 22、函数 在点 处有极__________值 23、 在点 可微分是 在该点连续的_________________条件, 在点 连续是 在该点可微分的_________________条件。（充分、必要、充要） 24、 在点 的偏导数 及 存在是 在该点可微分的_________________条件。 在点 可微分是函数在该点的偏导数 及 存在的_________________条件。（充分、必要、充要） 25、 的偏导数 及 在点 存在且连续是 在该点可微分的_________________条件。（充分、必要、充要） 26、函数 的两个二阶混合偏导数 及 在区域 内连续是这两个二阶混合偏导数在区域 内相等的_________________条件。（充分、必要、充要） 二、选择题 1、有且仅有一个间断点的函数（ ） （A） ； （B） ； （C） ； （D） . 2、下列极限存在的是（ ） （A） ；（B） ；（C） ；（D） . 3、函数 在点 处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ ） （A）必要而非充分条件；（B）充分而非必要条件； （C）充分必要条件 ； （D）既非充分又非必要条件. 4、设 ，则 =（ ） （A）2；（B） ；（C）0 ；（D）1. 5、已知 ，则（ ） （A） 关于 为单调递增；（B） ； （C） ；（D） . 6、在点 处，函数 可微的充分条件是（ ） （A） 的全部二阶偏导数均连续；（B） 连续； （C） 的全部一阶偏导数均连续； （D） 连续且一阶偏导数均存在. 7、肯定不能成为某二元函数 全微分的是（ ） （A） ；（B） ；（C） ；（D） . 8、使得 的函数 是（ ） （A） ；（B） ；（C） ；（D） . 9、设函数 ，写法错误的是（ ） （A） ；（B） ；（C） ；（D） . 10、设函数 ，则 为（ ） （A） ；（B） ；（C） ；（D） . 11、曲面 的一个法向量为（ ） （A） ；（B） ；（C） ；（D） . 12、设函数 ，则错误的命题是（ ） （A） 是驻点；（B） 是极值点；（C） 是最小值点；（D） 是极小值点. 13、设函数 在 的某个邻域内有定义，且 ， ,则有（ ） （A） ； （B）曲面 在点 的一个法向量为 ； （C）曲线 在点 的一个切向量为 ； （D）曲线 在点 的一个切向量为 . 三、计算解答 1、求极限 . 2、求极限 . 3、求一阶偏导 . 4、求一阶偏导 . 5、求全部二阶偏导 . 6、 ，求 . 7、计算全微分 . 8、计算函数 在点 处的微分 . 9、求函数 当 时， . 10、 ，而 ， ，求 . 11、 ，求 . 12、 ，在 处的 . 13、求由方程组确定的隐函数的偏导 ，求 . 14、求曲线 在点 处的切线和法平面. 15、求曲线 上的点，使该点的切线平行于平面： . 第八单元 多元函数微分法及其应用测试题详细解答 一、填空题 1、二元函数 的定义域是 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：要使这个二元函数有意义，只需 。 2、二元函数 的定义域是 分析：要使这个二元函数有意义，只需 ，所以 。 3、二元函数的极限 =___2__ 分析： 4、二元函数的极限 = 1 分析： EMBED Equation.3 5、已知 ，则 = 分析： EMBED Equation.3 6、已知 ，则 = 7、已知 ，则 = 分析：对 求导，把 看成常数。 8、已知 ，则 分析：把x看成常数 9、已知 ，则 = 分析： 10、已知 ，则 = 分析： 11、已知 ，则 在 处当 时， =0.6 分析： 12、设 ，则 = 分析： 13、设 ，则 = 分析： 14、设 ，而 ， 。则 = ， = 分析： 15、设 ，而 ， 。则 = ， = 分析： 16、设 ，则 = 分析：两边对 求导得： 整理得： 17、设 ，则 = 分析：两边对 求导得： 整理得： 18、设 ，则 = 分析：两边对 求导得： 19、设曲线 ，曲线在 处的切线为 ，曲线在 处的法平面为 。 分析：当 时， 而 所以当 时， 切线方程为 法平面方程为： 20、设曲面 ，则曲线在 处的切平面 ,曲线在 处的法线 分析：设 ，则曲面任意一点的法向量为 所以 。 切平面为 法线为： 21、函数 在点 处有极__小____值 分析：因为： ，而在（0，0）点， 。 22、函数 在点 处有极___大____值 分析：因为： ，而在（0，0）点， 。 23、 在点 可微分是 在该点连续的___充分____条件, 在点 连续是 在该点可微分的____必要____条件。 24、 在点 的偏导数 及 存在是 在该点可微分的_必要条件。 在点 可微分是函数在该点的偏导数 及 存在的__充分__条件。 25、 的偏导数 及 在点 存在且连续是 在该点可微分的___充分____条件。 26、函数 的两个二阶混合偏导数 及 在区域 内连续是这两个二阶混合偏导数在区域 内相等的____充分___条件。 二、选择题 1、 选（B） 解答：A、 ，当 ， 为任意值时都为间断点。B、只有 时为间断点。 C、 为间断点。D、有无穷多个间断点。 2、选（D） 解答：有界函数与无穷小的乘积为无穷小。 3、选（A） 解答：偏导数连续则存在全微分，所以偏导数只是全微分的必要条件。 4、选（A） 解答： 5、选（A） 解答： ，把 看成是 的函数，所以 关于 为增函数。 6、选（A） 7、选（B） 解答： ； ； . 8、选（A） 解答： 9、选（A） 解答： 是关于 这个整体的一元函数，不可用偏导。 10、选（C） 解答：两边对 偏导， 11、选（A） 解答：设 ，分别对 求导，得： 12、选（A） 解答： 是极值点，是最小值点，是极小值点。但 无意义，所以不是驻点。 13、选（C） 解答： 不一定可微。法向量为 。 三、计算解答 1、求极限 解： 2、求极限 解：原题= 3、求一阶偏导 解： 4、求一阶偏导 解： 5、求全部二阶偏导 解： 6、 ，求 解： 7、计算全微分 . 解： 8、计算函数 在点 处的微分 解： 9、求函数 当 时， 解： 10、 ，而 ， ，求 解： 11、 ，求 解： 12、 ，在 处的 。 解：两边对 求导： ，整理得： 两边对 求导： ，整理得： 13、求由方程组确定的隐函数的偏导 ，求 解：分别对 求导 则 分别对 求导 则 14、求曲线 在点 处的切线和法平面。 解：分别对 求导 切线方程： 法平面方程： 15、求曲线 上的点，使该点的切线平行于平面： 解：设在 点处切线平行于平面，则曲线在该点的切向量为： 平面 的法向量为 ，则两向量的数量积应为0。 即： ， . 解得： 则该点为： 第十一单元 无穷级数 一、填空题 1、级数 的前三项是 。 2、级数 的一般项是 。 3、已知级数 收敛，则 。 4、级数 是 的（填收敛或发散）。 5、若级数 的部分和数列 ，则 。 6、级数 收敛是级数 收敛的 条件。 7、若级数 绝对收敛，则级数 必定 ；若级数 条件收敛，则级数 必定 。 8、幂级数 的收敛域是 。 9、若 ， ，则 = 。 10、级数 当 时收敛。 11、 的麦克劳林级数是 。 12、周期为 的周期函数 在 上的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式为 ， 的傅立叶级数的和函数是 ，则 ； ； 。 二、选择题 1、等比级数 收敛的条件是（ ） (A) ；(B) ；(C) ；(D) 。 2、 是级数 发散的（ ） (A)必要条件；(B)充分条件；(C)充要条件；(D)既非充分又非必要。 3、当级数 收敛时，级数 与 （ ） (A)必同时收敛；(B)必同时发散；(C)可能不同时收敛；(D)不可能同时收敛。 4、若级数 收敛，则 的取值范围是（ ） (A) ；(B) ；(C) ；(D) 。 5、如果级数 收敛，则下列级数中收敛的是（ ） (A) ；(B) ；(C) ；(D) 。 6、下列级数发散的是（ ） (A) ；(B) ；(C) ；(D) 。 7、 是正项级数，下列命题错误的是（ ） (A)如果 ，则 收敛； (B) 如果 ，则 发散； (C) 如果 ，则 收敛； (D) 如果 ，则 发散。 8、在 的泰勒级数中， 项的系数是（ ） (A) ；(B) ；(C) ；(D) 。 9、幂级数 的收敛半径为（ ） (A) ；(B) ；(C) ；(D) 。 10、已知 ， ，则 （ ） (A) ；(B) ；(C) ；(D) 。 11、设幂级数 在 处收敛，则此级数在 处（ ） (A)条件收敛；(B)绝对收敛；(C)发散；(D) 收敛性不能确定。 12、求 在 上的正弦级数，实际上就是求（ ）中 在 上的傅立叶级数 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 三、计算解答 1、判别下列级数的敛散性： （1） ；（2） ；（3） ；（4） 。 2、判别下列级数的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛： （1） ；（2） 。 3、求下列幂级数的收敛域： （1） ；（2） ；（3） ；（4） 。 4、求下列幂级数的和函数： （1） ；（2） ；（3） 。 5、将下列函数展开成 的幂级数： （1） ；（2） 。 6、将函数 展开成 的幂级数。 7、周期为 的周期函数 ， 展开成傅立叶级数。 第十一单元 无穷级数测试题详细解答 一、填空题 1、前三项即是当 分别取 时对应的项，于是该级数的前三项为： ， ， 。 2、由于该级数的奇数项为正值，偶数项为负值，所以其一般项为： 。 3、由级数收敛的必要条件，知 ，从而 。 4、由于 ，所以该级数是 发散 的。另， 为正项级数，由比较审敛法也可知该级数发散。 5、 。 6、若级数 收敛，由比较审敛法： ，可见级数 收敛；反之，若级数 收敛，则级数 不一定收敛，例如当 时， 收敛，而 发散。所以级数 收敛是级数 收敛的 充分 条件。 7、 收敛 ； 发散 。 8、因为 ，所以收敛半径 ，又当 时，级数 发散，所以级数 的收敛域是 。 9、因为 ，由此可知 = 。 10、因为当 时， ， ，从而 发散； 当 时， ， ，而级数 是公比为 的等比级数，从而 收敛。 11、因为 ，所以 ， 从而 EMBED Equation.3 。 12、因为 在 处连续，由收敛定理知： = ； = ； = 。 二、选择题 1、选(B)，等比级数 的公比为 ，当 时收敛。 2、选(B)，级数 收敛的必要条件是 ，由此可知若 ，则 必发散，但 发散却不一定有 ，例如 发散，而 ，所以 是级数 发散充分条件。 3、选(C)；通过反例进行排除，例如 和 均发散，但 = 收敛，说明（A）错；又由于收敛级数的和与差收敛，可知（B）、（D）错。 4、选(C)，由 级数的敛散性知，当 ，即 时，所给级数收敛。 5、选(B)，由收敛级数去掉有限项后不改变收敛性的性质知（B）中级数 是 去掉前1000项后所得级数，是收敛的，另外，（A）、（C）、（D）中级数的一般项不趋于零，可知这些级数都是发散的。 6、选(D)，由比较审敛法的极限形式易判断（A）、（C）中的级数收敛，（D）中的级数发散，由莱布尼兹审敛法可以判断（B）中的交错级数收敛。 7、选(C)，由比值审敛法知（A）、（B）正确，对于（D），由 ，从而 ，所以 发散，对于（C），例如级数 满足 ，但该级数发散。 8、选(D)，泰勒级数中 项的系数是 。 9、选(A)，因 ，而幂级数 和 的收敛半径都是3，从而幂级数 的收敛半径也是3。 10、选(C)，因为 ，即 （1） 又因为 ，即 （2） 根据收敛级数的性质，将（2）式乘2后减去（1）式，得 。 11、选(B)，因为 在 处收敛，由阿贝尔定理可知， 的收敛半径至少是 ，并当 时， 绝对收敛，现 满足 ，故在 处，级数 绝对收敛。 12、选(A)，因为求 在 上的正弦级数，就是要将 进行奇延拓成为奇函数，而选项中只有（A）是符合 奇延拓后的奇函数。 三、计算解答 1、（1）解：因为 ，所以级数 发散。 （2）解：利用比较审敛法的极限形式， 因 ，而级数 发散，所以级数 发散。 （3）解：利用比值审敛法， 因 ， 所以级数 收敛。 （4）解：利用根值审敛法， 因 ， 当 时，级数 发散； 当 时，级数 收敛； 当 时，级数变为 ，因为 ，所以发散。 2、（1）解：因 ， 所以级数 绝对收敛。 （2）解：因 ， 由比较审敛法知级数 发散， 又因为 ， ， 所以级数 收敛，为条件收敛。 3、（1）解：因为 ，所以收敛半径 ， 当 时，级数变为 ，收敛；当 时，级数变为 ，发散； 所以级数 的收敛域为 。 （2）解：因为 ，所以收敛半径 ，从而级数 的收敛域为 。 （3）解： ， 当 ，即 时，级数 绝对收敛； 当 时，级数 发散； 当 ，即 时，级数变为 ，发散； 所以级数 的收敛域为 。 （4）解： ，所以收敛半径 ， 当 时，级数变为 ，由莱布尼兹审敛法知该级数收敛； 当 时，级数变为 ，由比较审敛法知该级数发散； 所以级数 的收敛域为 。 4、（1）解：由 ，知 的收敛半径为 ，当 时， 发散，所以 的收敛域为 。 令 EMBED Equation.3 ，则 EMBED Equation.3 。 （2）解：由于 ，当 时级数收敛，当 时级数发散，当 时级数发散，所以 的收敛域为 。 令 EMBED Equation.3 ，则 ， EMBED Equation.3 （3）解：由 ，知 的收敛半径为 ，当 时， 均收敛，所以 的收敛域为 。 令 EMBED Equation.3 ，则 ， EMBED Equation.3 ，于是 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ， 故 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ， 从而，当 时， EMBED Equation.3       ， 又因为 在 处收敛，而当 时， ， 所以， EMBED Equation.3 。 5、（1）解：因为 EMBED Equation.3 ， 。 所以， ， 。 （2）解： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ， 。 6、解： ，其中 ， ， 所以， EMBED Equation.3 ， 7、解：由符号函数的定义可知函数 在一个周期 的表达式为 ， 可见， 为偶函数 ，且 在 处间断，在其它地方连续。 因为 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 所以 EMBED Equation.3 ， 且 。 PAGE 第54页 _1223089956.unknown _1223180354.unknown _1223787876.unknown _1223789366.unknown _1224062028.unknown _1224062173.unknown _1224250232.unknown _1224250317.unknown _1224250356.unknown _1224250426.unknown _1224250479.unknown _1224250512.unknown _1224250439.unknown _1224250389.unknown _1224250336.unknown _1224250277.unknown _1224250301.unknown _1224250264.unknown _1224250201.unknown _1224250203.unknown _1224062710.unknown _1224250193.unknown _1224062657.unknown _1224062664.unknown _1224062180.unknown _1224062132.unknown _1224062150.unknown _1224062162.unknown _1224062140.unknown _1224062042.unknown _1224062074.unknown _1224062034.unknown _1223789819.unknown _1224061931.unknown _1224061997.unknown _1224062017.unknown _1224061986.unknown _1224018624.unknown _1224061915.unknown _1224061922.unknown _1224018660.unknown _1224061900.unknown _1224018645.unknown _1223789938.unknown _1224018614.unknown _1223789838.unknown _1223789937.unknown _1223789492.unknown _1223789587.unknown 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