数列复习基本知识点及经典结论总结

数列 复习 预应力混凝土预制梁农业生态学考研国际私法笔记专题二标点符号数据的收集与整理 基本 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 及经典结论 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 1、数列的概念：数列是按一定次序排成的一列数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，如果数列 的第n项 与n之间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的通项公式。数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如（1）已知 ，则在数列 的最大项为__（答： ）；（2）数列 的通项为 ，其中 均为正数，则 与 的大小关系为___（答： EMBED Equation.3）； （3）已知数列 中， ，且 是递增数列，求实数 的取值范围（答： ）；（4）一给定函数 的图象在下列图中，并且对任意 ，由关系式 得到的数列 满足 ，则该函数的图象是 （）（答：A） A B C D 递推关系式：已知数列 的第一项（或前几项），且任何一项 与它的前一项 （前n项）间的关系可以用一个式子来表示，则这个式子就叫数列的递推关系式。 数列的分类：①按项数多少，分为有穷数列、无穷数列； ②按项的增减，分为递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。 ③按项有无界限，分为有界数列、无界数列。 数列的前n项和： . 已知 求 的方法（只有一种）：即利用公式 = 注意：一定不要忘记对n取值的讨论！最后，还应检验当n=1的情况是否符合当n 2的关系式，从而决定能否将其合并。 2.等差数列的有关概念： 1、 等差数列的定义：如果数列 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即 .(或 ). （1） 等差数列的判断方法：①定义法： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3为等差数列。 ② 中项法： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3为等差数列。③通项公式法： （a,b为常数） EMBED Equation.3为等差数列。④前n项和公式法： （A,B为常数） EMBED Equation.3为等差数列。 如设 是等差数列，求证：以bn= 为通项公式的数列 为等差数列。 （2）等差数列的通项： 或 。公式变形为: . 其中a=d, b= －d. 如(1)等差数列 中， ， ，则通项 　　　　（答： ）；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答： ） （3）等差数列的前 和： ， 。公式变形为： ，其中A=，B= .注意：已知n,d, ,, 中的三者可以求另两者，即所谓的“知三求二”。 如（1）数列 中， ， ，前n项和 ，则 ＝＿， ＝＿（答： ， ）；（2）已知数列 的前n项和 ，求数列 的前 项和 （答： ）. （4）等差中项：若 成等差数列，则A叫做 与 的等差中项，且 。 提醒：（1）等差数列的通项公式及前 和公式中，涉及到5个元素： 、 、 、 及 ，其中 、 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…， …（公差为 ）；偶数个数成等差，可设为…， ,…（公差为2 ） 3.等差数列的性质： （1）当公差 时，等差数列的通项公式 是关于 的一次函数，且斜率为公差 ；前 和 是关于 的二次函数且常数项为0. （2）若公差 ，则为递增等差数列，若公差 ，则为递减等差数列，若公差 ，则为常数列。 （3）对称性：若 是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当 时,则有 ，特别地，当 时，则有 .如（1）等差数列 中， ，则 ＝____（答：27）；（2）在等差数列 中， ，且 ， 是其前 项和，则A、 都小于0， 都大于0　　B、 都小于0， 都大于0　　C、 都小于0， 都大于0　　D、 都小于0， 都大于0　（答：B） (4) 项数成等差,则相应的项也成等差数列.即 成等差.若 、 是等差数列，则 、 ( 、 是非零常数)、 、 ，…也成等差数列，而 成等比数列；若 是等比数列，且 ，则 是等差数列. 如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。（答：225） （5）在等差数列 中，当项数为偶数 时， ； ； . 项数为奇数 时， ； ； 。 如（1）在等差数列中，S11＝22，则 ＝______（答：2）；（2）项数为奇数的等差数列 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）. （6）单调性：设d为等差数列 的公差，则 d>0 EMBED Equation.3是递增数列；d<0 EMBED Equation.3是递减数列；d=0 EMBED Equation.3是常数数列 (7)若等差数列 、 的前 和分别为 、 ，且 ，则 .如设{ }与{ }是两个等差数列，它们的前 项和分别为 和 ，若 ，那么 ___________（答： ） (8) 8、已知 成等差数列，求 的最值问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ： 1 若 ,d<0且满足 ,则 最大； ②若 ,d>0且满足 ,则 最小. “首正”的递减等差数列中，前 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前 项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组 确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前 项是关于 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性 。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（1）等差数列 中， ， ，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若 是等差数列，首项 EMBED Unknown， ，则使前n项和 成立的最大正整数n是 （答：4006） (9)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究 . 4.等比数列的有关概念：如果数列 从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比。即 （或 （1）等比数列的判断方法：定义法 ，其中 或 。如（1）一个等比数列{ }共有 项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则 为____（答： ）；（2）数列 中， =4 +1 ( )且 =1，若 ，求证：数列｛ ｝是等比数列。 （2）等比数列的通项： 或 。如设等比数列 中， ， ，前 项和 ＝126，求 和公比 . （答： ， 或2） （3）等比数列的前 和：当 时， ；当 时， EMBED Unknown。如（1）等比数列中， ＝2，S99=77，求 （答：44） 特别提醒：等比数列前 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前 项和时，首先要判断公比 是否为1，再由 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比 是否为1时，要对 分 和 两种情形讨论求解。 （4）等比中项：如果a、G、b三个数成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G= .提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个 。如已知两个正数 的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答：A＞B） 提醒：（1）等比数列的通项公式及前 项和公式中，涉及到5个元素： 、 、 、 及 ，其中 、 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…， …（公比为 ）；但偶数个数成等比时，不能设为… ，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为 。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16） 5.等比数列的性质： （1）对称性：若 是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积.即当 时，则有 ，特别地，当 时，则有 .如（1）在等比数列 中， ，公比q是整数，则 =___（答：512）；（2）各项均为正数的等比数列 中，若 ，则 （答：10）。 (2) 若 是等比数列，则 、 、 成等比数列；若 成等比数列，则 、 成等比数列； 若 是等比数列，且公比 ，则数列 ，…也是等比数列。当 ，且 为偶数时，数列 ，…是常数数列0，它不是等比数列. 若 是等比数列，且各项均为正数，则 成等差数列。 如（1）已知 且 ，设数列 满足 EMBED Unknown，且 ，则 　　　　　. （答： ）；（2）在等比数列 中， 为其前n项和，若 ，则 的值为______（答：40） (3) 单调性：若 ，或 则 为递增数列；若 ,或 则 为递减数列；若 ，则 为摆动数列；若 ，则 为常数列. (4) 当 时， ，这里 ，但 ，这是等比数列前 项和公式的一个特征，据此很容易根据 ，判断数列 是否为等比数列。如若 是等比数列，且 ，则 ＝ （答：－1） (5) .如设等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，若 成等差数列，则 的值为​​_____（答：－2） (6) 在等比数列 中，当项数为偶数 时， ；项数为奇数 时， . (7)如果数列 既成等差数列又成等比数列，那么数列 是非零常数数列，故常数数列 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如设数列 的前 项和为 （ ）， 关于数列 有下列三个命题：①若 ，则 既是等差数列又是等比数列；②若 ，则 是等差数列；③若 ，则 是等比数列。这些命题中，真命题的序号是 （答：②③） ⑧等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；等比数列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn； 6.数列的通项的求法： ⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。如已知数列 试写出其一个通项公式：__________（答： ） ⑵已知 （即 ）求 ，用作差法： 。如①已知 的前 项和满足 ，求 （答： ）；②数列 满足 ，求 （答： ） ⑶已知 求 ，用作商法： 。如数列 中， 对所有的 都有 ，则 ______（答： ） ⑷若 求 用累加法： EMBED Unknown。如已知数列 满足 ， EMBED Unknown，则 =________（答： ） ⑸已知 求 ，用累乘法： EMBED Unknown。如已知数列 中， ，前 项和 ，若 ，求 （答： ） ⑹已知递推关系求 ，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如 、 （ 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 的等比数列后，再求 。如①已知 ，求 （答： ）；②已知 ，求 （答： ）；（2）形如 的递推数列都可以用倒数法求通项。如①已知 ，求 （答： ）；②已知数列满足 =1， ，求 （答： ） 注意：（1）用 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（ ，当 时， ）；（2）一般地当已知条件中含有 与 的混合关系时，常需运用关系式 ，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解。如数列 满足 ，求 （答： ） 7.数列求和的常用方法： （1）公式法：直接利用或可通过转化为等差、等比数列的求和公式求解。特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式： ， ， .如（1）等比数列 的前 项和Sｎ＝2ｎ－１，则 ＝_____（答： ）；（2）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢2进1”，如 表示二进制数，将它转换成十进制形式是 ，那么将二进制 转换成十进制数是_______（答： ） （2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常把数列的各项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差或等比数列，然后利用公式求和。如求： （答： ） （3）倒序相加法：倒序相加法：数列特点：与首末等距离的两项之和等于首末两项之和，则采用此法。（联系：等差数列的前n项和推导过程以及高斯小时后巧解算术题））. 如已知 ，则 ＝______（答： ） （4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，即数列是一个“差·比”数列，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前 和公式的推导方法）. 如设 为等比数列， ，已知 ， ，①求数列 的首项和公比；②求数列 的通项公式.（答：① ， ；② ）； （5）裂项相消法：裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负抵消，从而前n项化成首尾若干少数项之和。如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ① ； ② ； ③ ， ； ④ ⑤ ； ⑥ ⑦ ； 如（1）求和： （答： ）；（2）在数列 中， ，且Sｎ＝９，则n＝_____（答：99）； （6）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。如①求数列1×4，2×5，3×6，…， ，…前 项和 = 　（答： ）；②求和： （答： ） 8. “分期付款”、“森林木材”型应用问题 (1)这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题，则常选用“统一法”统一到“最后”解决. (2)利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金 元，每期利率为 ，则 期后本利和为： （等差数列问题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款（复利）模型：若贷款（向银行借款） 元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，分 期还清。如果每期利率为 （按复利），那么每期等额还款 元应满足： （等比数列问题）. � 7 _1324502254.unknown _1324502318.unknown _1324502351.unknown _1324502367.unknown _1324502375.unknown _1324502379.unknown _1324502381.unknown _1324502382.unknown _1324502380.unknown _1324502377.unknown _1324502378.unknown _1324502376.unknown _1324502371.unknown _1324502373.unknown _1324502374.unknown _1324502372.unknown _1324502369.unknown _1324502370.unknown _1324502368.unknown _1324502359.unknown _1324502363.unknown _1324502365.unknown _1324502366.unknown _1324502364.unknown _1324502361.unknown _1324502362.unknown _1324502360.unknown _1324502355.unknown _1324502357.unknown _1324502358.unknown _1324502356.unknown _1324502353.unknown _1324502354.unknown _1324502352.unknown _1324502334.unknown _1324502343.unknown _1324502347.unknown _1324502349.unknown _1324502350.unknown _1324502348.unknown _1324502345.unknown _1324502346.unknown _1324502344.unknown _1324502338.unknown _1324502340.unknown _1324502342.unknown _1324502339.unknown _1324502336.unknown _1324502337.unknown _1324502335.unknown _1324502326.unknown _1324502330.unknown _1324502332.unknown _1324502333.unknown _1324502331.unknown _1324502328.unknown _1324502329.unknown _1324502327.unknown _1324502322.unknown _1324502324.unknown _1324502325.unknown _1324502323.unknown _1324502320.unknown _1324502321.unknown _1324502319.unknown _1324502286.unknown _1324502302.unknown _1324502310.unknown _1324502314.unknown _1324502316.unknown _1324502317.unknown _1324502315.unknown _1324502312.unknown _1324502313.unknown _1324502311.unknown _1324502306.unknown _1324502308.unknown _1324502309.unknown _1324502307.unknown _1324502304.unknown _1324502305.unknown _1324502303.unknown _1324502294.unknown _1324502298.unknown _1324502300.unknown _1324502301.unknown _1324502299.unknown _1324502296.unknown _1324502297.unknown _1324502295.unknown _1324502290.unknown _1324502292.unknown _1324502293.unknown _1324502291.unknown _1324502288.unknown _1324502289.unknown _1324502287.unknown _1324502270.unknown _1324502278.unknown _1324502282.unknown _1324502284.unknown _1324502285.unknown _1324502283.unknown _1324502280.unknown _1324502281.unknown _1324502279.unknown _1324502274.unknown _1324502276.unknown _1324502277.unknown _1324502275.unknown _1324502272.unknown _1324502273.unknown _1324502271.unknown _1324502262.unknown _1324502266.unknown _1324502268.unknown _1324502269.unknown _1324502267.unknown _1324502264.unknown _1324502265.unknown _1324502263.unknown _1324502258.unknown _1324502260.unknown _1324502261.unknown _1324502259.unknown _1324502256.unknown _1324502257.unknown _1324502255.unknown _1324502124.unknown _1324502188.unknown _1324502221.unknown _1324502238.unknown _1324502246.unknown _1324502250.unknown _1324502252.unknown _1324502253.unknown _1324502251.unknown _1324502248.unknown _1324502249.unknown _1324502247.unknown 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