数列不等式综合题示例

数列不等式综合题示例 数列不等式综合题，是高考数学的常见 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 . 这类试题，对数列方面的考查多属基础知识和基本技能的层级，而对不等式的考查，其中口径往往比较宽，难度的调控幅度比较大，有时达到很高的层级. 试题排序，靠后者居多，常以难题的面貌出现，对综合能力的考查深刻. 这类试题，时常以递推关系或间接的形式设定数列. 对数列的提问，多涉及通项、前n项和或数列中的某些指定的参数，有时也会涉及多个数列. 至于有关不等工的提问，可以是含变量n或其他参变量的不等式的证明或求解，抑或求某些量的取值范围，或者是不同量间的大小比较，等等. 试题的综合程度有时不大，有时很大，既有中低档次的题目，又有中高档次的题目，而且多数年份属于后者. 对数列不等式综合题的解答，往往要求能够熟练应用相关的基础知识和基本技能，同时还应具备比较娴熟的代数变换技能和技巧. 下面借助若干实例，谈谈解答这类试题的个人点滴体验，希望有助考生理解. 例1 设等比数列 的公比为 ，前n项和 （Ⅰ）求 的取值范围； （Ⅱ）设 ，记 的前n项和为 ，试比较 与 的大小 分析 设定的数列 是满足 的一类等比数列，而不是确定的一个具体数列， 而不是确定的一个具体数列. 提出的两个问题都属于不等式问题. （Ⅰ）的求解可按等价关系建立关于q的不等式，解之可得；也可对q作分类讨论，再归纳出 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 . （Ⅱ）的求解，可用差值法，也可用比值法. （Ⅰ）的解： 方法一 因为q是等比数列 的公比，Sn是数列的前n项和，所以 ，且 因此， 等价于： 且下列条件之一成立： ①q=1； ② ③ 解不等式组②得： ；解不等式组③得： 或 . 综合得q的取值范围为 . 方法二 根据等比数列性质，在题设下，必有 ，公比 . 当 时， ； 当 或 时， ； 当q=1时， . 综合得q的取值范围为 （Ⅱ）的解： 方法一 ∵ ， ∴ ， 因为 且 ，所以得： 对任意正整数n，有： 若 或 ，则 ，即 ； 若 或 ，则 ，即 ； 若 或q=2，则 ，即 . 方法二 ∵ ， ，∴ ， ∵ 的两根为 和2， ∴ 依题设 ，且由（Ⅰ）知 或 ，所以得：对任意正整数n，有： 当 当 当 或 时， . 体验 （1）求取值范围，务必勿忘其充要性. 只顾必要性，忘了充分性，易使范围扩大；只顾充分性，忘了必要性，易使范围缩小. 上述（Ⅰ）的解法一，采用等价性陈述方式；解法二，采用了从必要性入手，再讨论充分性，然后综合得解. （2）对等比数列，前n项的和Sn依赖于a1和q的两上参量. 由前述讨论可见：使 的充要条件为a1>0且 . 因此，严格地说，第（Ⅰ）问的完整答案似乎应为：在等比数列 中， ，而当 时，q的取值范围为空集，当 时，q的取值范围为 . 不过，对该题也可作这样的理解：在题设下，不可能出现 的情况，而第（Ⅰ）问要求的只是q的取值范围. 所以前述的解答也算完整. （3）上述（Ⅱ）的两个解法，差值法与比值法. 由于Tn与Sn仅相差一个因子（q的二次式），所以两法几乎没有本质差别，只是陈述表达形式有所不同. 在前述的解法中，都应用了等比数列和二次函数式（方程）的基本知识，但具体的知识点有所差别，有的是最基础的入门知识，有的是经过派生的常用性质. 学会灵活运用基本知识解题，减少记忆量，提高活用技能，是解题训练的一项重要任务. （4）本题虽属中低档题，但也具备相当的综合性，展现了高考试题的常见特点. 例2 设数列 的前 项的和 ， （Ⅰ）求首项 与通项 ； （Ⅱ）设 ， ，证明： 分析 取n=1，由已知等式即可求得a1. 为求通项an，可先将已知条件化为关于an+1与an的递推关系求解，也可先求Sn，再得an. 至于不等式的证明，可将公式化简，进行论证. （Ⅰ）的解： 方法一 依设，得 ，∴a1=2. 当 时， ， 整理得 ，∴ ， 得通项 方法二 依设，得 因为 ，所以 ，得a1=2. 当 时， ，∴ ， 整理得 ∴ 即有 得通项 方法三 同上法得a1=2， ① ∴ ， ， 整理得 即有 ② 由2×②－①得 当n=1时，该式也成立，所以，通项为 . 方法四 因为 ，当 时 ，所以由题设得 ， 当 时， . ∴ ， ① 从而， ， 即得 ∴ ② 由2×②－3×①，整理得 该式对n=1也成立，从而得通项 即 （Ⅱ）的证明： 方法一 ∵ ∴ 方法二 ∵ ， ∴ 得 ∴ 猜测 （i）当n=1时，上面已证明猜测成立； （ii）假设当 时，猜测成立，即 ， 则 即当n=k+1时猜测也成立. 综合（i）（ii）得对任意正整数n，猜测都成立. 所以， 体验 （1）已知数列前n项的和Sn与通项an的关系式，为求通项的解析式，通常要将条件转化为数列 的递推关系式或数列 的递推关系式，然后，再作进一步推演，这时要用到公式 许多时候，容易忽略 ，这个式子，同时，对于另一式子中n的取值范围，也容易忽视，以致出现差错. 对此，必须警觉. （2）根据递推关系 求通项an，是常见的数列试题. 近几年的高考数学考试中，这类试题较多出现. 其中， 可以是常数、等比数列、等比数列与常数之和、等比数列与等差数列之和，等等形式. 本题（Ⅰ）的四种解法，反映了解答这类问题的基本思路和常用方法，其核心思想是：转化为等比数列的问题进行解答，或借助解方程的方法求解. 能否成功，关键在于代数变换与换元是否有效. 具体的运用非常灵活，就本题（Ⅰ）的解法而言，尚有多种解答 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 可供选择，远非只是上述的4种. （3）关于不等式 的证明，上述两种证法有典型意义. 证法一采用裂项的技术，将不等式化简，达到证明目的，十分精练. 用好这一技术，须具有良好的观察能力和裂项的经验. 因此，平时要注意经验的积累和一定的操作训练，当存在数列 满足 时，则有 ，从而达到将和式化简的目的. 这里的关键是数列 的发现. 举个例说，可用这项技术，求等比数列前n项的求和公式： 设 ，则有 ， ∴ . 也可写成 . （4）上述（Ⅱ）的证法二，采用了由特殊到一般的思维方式，根据开始的几个特殊情形，探索规律，对一般情形作出“猜测”，进而应用数学归纳法，作出证明，完成解答. 这也是解答数学问题的一种常用方法. 该法成功与否，关键在于猜测，为了使猜测有效和正确，在考查特殊情形时，应避免机械的数字计算和瞎猜，须讲究方法. 例如，上述在考查 与 的变化规律 ，充分注意所要证明的不等式 的特点，把观察的侧重点放在差值 的估计上：把T1=1写成 ；把 写成 ；把 写成 . 为一般规律的发现提供了方便，提高了猜测的成功率. 例3 数列 满足a1=1，且 . （Ⅰ）用数学归纳法证明： ； （Ⅱ）已知不等式 对 成立. 证明： . 其中无理数 e =2.71828 … . 分析 根据题设的递推关系，难以求得通项，为了证明给定的不等式，宜用放缩法. （Ⅰ）的证明； （1）当n=2时， ； （2）假设 时，不等式成立，即 ，则 ，即当 时，不等式也成立. 综合（1）（2），得 . （Ⅱ）的证明； 方法一 ∵ ， ∴ ， 取自然对数，得：当 时， ， ∴ 即 ， ∵ ，∴ 成立. 方法二 首先，用数学归纳法证明不等式 . （1）当n=1，2，3，4时， 依次取值2，4，8，16， 依次取值0，2，6，12，所以不等式成立； （2）假设 时，不等式成立，即 ，所以 ， ∵ ，∴ ， 即 ，从而 ，即当n=k+1时不等式成立. 综合（1）（2），证得 . 其次，当 时， ，依设得 ， 由（Ⅰ）知 ，故有 ， ∴ 得 ， ∴ . ∵ ，∴ e <3e， ∵2.77.2q， 得an<3e-1<7.162.73=19.683>16，∴ ， 得 ，∴ ； 其次 ，综合，证得 . 因为 ，所以，这里不仅证明了（Ⅱ）的不等式，而且获得更强的结论. （2）用数学归纳法证（Ⅰ），无难点，但在（Ⅱ）的证法二中，证不等式 时，不仅要检验n=1时，不等式成立，还要检验n取值为2，3，4的情形，然后作归纳假设 时，不等式成立，再去证 时，不等式也成立. 从这里可体验到：应用数学归纳法时，必须根据归纳假设及其接着的归纳证明的需要，确定应该检验哪些特殊的n值；其次，归纳假设的设定，也并非千篇一律，不是所有的情形都假设 时结论成立. 有时必须假定为 时结论成立，或假定为当 时结论成立，等等，这要视归纳证明（即证 时结论成立）的需要而定. PAGE - 1 - _1266670651.unknown _1266674201.unknown _1266754908.unknown _1266757611.unknown _1266760113.unknown _1266823294.unknown _1266824572.unknown _1266825280.unknown _1266825744.unknown _1266825942.unknown _1266826174.unknown _1266826321.unknown _1266826362.unknown _1266827249.unknown _1266826342.unknown _1266826148.unknown _1266825952.unknown _1266825826.unknown _1266825872.unknown _1266825770.unknown _1266825567.unknown _1266825636.unknown _1266825433.unknown _1266824740.unknown _1266825013.unknown _1266825057.unknown _1266824989.unknown _1266824654.unknown _1266824708.unknown _1266824596.unknown _1266823802.unknown _1266824260.unknown _1266824491.unknown _1266824556.unknown _1266824409.unknown _1266824214.unknown _1266824249.unknown _1266823952.unknown _1266823484.unknown _1266823621.unknown _1266823669.unknown _1266823607.unknown _1266823446.unknown _1266823460.unknown _1266823336.unknown _1266822273.unknown _1266823063.unknown _1266823167.unknown _1266823228.unknown _1266823243.unknown _1266823189.unknown _1266823103.unknown _1266823148.unknown _1266822529.unknown _1266822922.unknown _1266822961.unknown _1266823013.unknown _1266822865.unknown _1266822420.unknown _1266822432.unknown _1266822311.unknown _1266822041.unknown _1266822182.unknown _1266822229.unknown _1266822058.unknown _1266821977.unknown _1266822023.unknown _1266760129.unknown _1266758636.unknown _1266759561.unknown _1266759782.unknown _1266759966.unknown _1266760065.unknown _1266759841.unknown _1266759631.unknown _1266759663.unknown _1266759597.unknown _1266759321.unknown _1266759467.unknown _1266759528.unknown _1266759359.unknown _1266758761.unknown _1266758879.unknown _1266758695.unknown _1266757912.unknown _1266758089.unknown _1266758502.unknown _1266758534.unknown _1266758479.unknown _1266758331.unknown _1266758008.unknown _1266757795.unknown _1266757829.unknown _1266757746.unknown _1266755994.unknown _1266756826.unknown _1266757115.unknown _1266757519.unknown _1266756952.unknown _1266756573.unknown _1266756587.unknown _1266756140.unknown _1266755526.unknown _1266755706.unknown _1266755965.unknown _1266755675.unknown _1266755356.unknown _1266755384.unknown _1266755005.unknown _1266752829.unknown _1266753317.unknown _1266753929.unknown _1266754712.unknown _1266754855.unknown _1266754525.unknown _1266753547.unknown _1266753850.unknown _1266753439.unknown _1266753006.unknown _1266753154.unknown _1266753230.unknown _1266753087.unknown _1266753105.unknown _1266752936.unknown _1266674205.unknown _1266674208.unknown _1266752742.unknown _1266674206.unknown _1266674203.unknown _1266674204.unknown _1266674202.unknown _1266671287.unknown _1266671839.unknown _1266674197.unknown _1266674199.unknown _1266674200.unknown _1266674198.unknown _1266674193.unknown _1266674195.unknown _1266674196.unknown _1266674194.unknown _1266674189.unknown _1266674191.unknown _1266674192.unknown _1266674190.unknown _1266671905.unknown _1266671950.unknown _1266674188.unknown _1266671877.unknown _1266671415.unknown _1266671799.unknown _1266671816.unknown _1266671737.unknown _1266671386.unknown _1266671401.unknown _1266671341.unknown _1266670866.unknown _1266671185.unknown _1266671247.unknown _1266671267.unknown _1266671203.unknown _1266671014.unknown _1266671038.unknown _1266670948.unknown _1266670764.unknown _1266670806.unknown _1266670833.unknown _1266670793.unknown _1266670757.unknown _1266670758.unknown _1266670671.unknown _1266670756.unknown _1266669590.unknown _1266669604.unknown _1266670559.unknown _1266670607.unknown _1266670627.unknown _1266670587.unknown _1266670500.unknown _1266670535.unknown _1266669952.unknown _1266669594.unknown _1266669596.unknown _1266669597.unknown _1266669595.unknown _1266669592.unknown _1266669593.unknown _1266669591.unknown _1179729342.unknown _1266666600.unknown _1266668693.unknown _1266669588.unknown _1266669589.unknown _1266669586.unknown _1266669587.unknown _1266669237.unknown _1266669585.unknown _1266668810.unknown _1266667007.unknown _1266668518.unknown _1266666802.unknown _1211223622.unknown _1266665477.unknown _1266665502.unknown _1211223728.unknown _1211223752.unknown _1211223814.unknown _1211223727.unknown _1211223520.unknown _1211223536.unknown _1179729343.unknown _1179729338.unknown _1179729340.unknown _1179729341.unknown _1179729339.unknown _1179729336.unknown _1179729337.unknown _1179729335.unknown