06_第六章_数列

第六章 数 列 ★ 知 识 网 络 ★ 第1讲 数列的概念 ★ 知 识 梳理 ★ 1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. 2.通项公式：如果数列 的第项与序号之间可以用一个式子 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即. 3.递推公式：如果已知数列 的第一项（或前几项），且任何一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即或，那么这个式子叫做数列 的递推公式. 如数列 中，，其中是数列 的递推公式. 4.数列的前项和与通项的公式 ①； ②. 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列. ①递增数列:对于任何,均有. ②递减数列:对于任何,均有. ③摆动数列:例如: ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数使. ⑥无界数列:对于任何正数,总有项 使得. ★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点：理解数列的概念和几种简单表示方法；掌握数列的通项公式的求法. 2.难点：用函数的观点理解数列. 3.重难点：正确理解数列的概念，掌握数列通项公式的一般求法. 求数列的通项、判断单调性、求数列通项的最值等通常应用数列的有关概念和函数的性质. 问题1：已知 是数列 的前项和，，则此数列是( ) A.递增数列 B.递减数列 C.常数数列 D.摆动数列 分析：将已知条件转化为数列项之间的关系，根据数列单调性作出判定. 解析：， 两式相减，得， 当时，，，选C. 问题2：数列 中，，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是( ) A. B. C. D. 分析：由已知条件判定数列单调性，注意的取值范围. 解析：， · 时，递减；时，递减.结合图象，选C. ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点1 数列的通项公式 题型1 已知数列的前几项，求通项公式 【例1】求下列数列的一个通项公式： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 【解题思路】写出数列的通项公式，应注意观察数列中和的联系与变化情况，应特别注意：自然数列、正奇数列、正偶数列，和相关数列，等差、等比数列，以及由它们组成的数列，从中找出规律性，并分别写出通项公式. 【解析】⑴联想数列即数列，可得数列的通项公式； ⑵将原数列改写为分母分别为分子分别为 呈周期性变化，可以用，或，或表示. （或，或） ⑶分子为正偶数列，分母为得 ⑷观察数列可知： 本题也可以利用关系式求解. 【名师指引】⑴联想和转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法. ⑵求数列的通项公式，应运用观察、分析、归纳、验证的方法.易错之处在于每个数列由前几项找规律不准确，以及观察、分析、归纳、验证这四个环节做的不够多，应注意对每一数列认真找出规律和验证. 题型2 已知数列的前项和，求通项公式 【例2】已知下列数列 的前项和 ，分别求它们的通项公式 . ⑴； ⑵. 【解题思路】利用，这是求数列通项的一个重要公式. 【解析】⑴当时，， 当时，. 当时，，. ⑵当时，， 当时，. 当时，，. 【名师指引】任何一个数列，它的前项和 与通项 都存在关系： 若 适合 ，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示. 题型3 已知数列的递推式，求通项公式 【例3】数列 中， ，求 ，并归纳出 . 【解题思路】已知 的递推公式 求前几项，可逐步计算. 【解析】 ， ， ， ， ， 由 ，可以归纳出 . 【名师指引】由递推公式求通项，可以考虑“归纳—猜想—证明”的方法，也可以构造新数列. 【新题导练】 1.已知有穷数列：，其中后一项比前一项大2. ⑴求此数列的通项公式； ⑵是否为此数列的项？ 【解析】⑴设数列的第项为，则 令，故该数列的通项公式 ⑵令，解得， ， 不是有穷数列的项. 2.数列 中，，求的值. 【解析】由，得 当时，；当时， 两式相除，得. ， . 3.数列 中，，求 ，并归纳出 . 【解析】 ，，， 由，可以归纳出 考点2 与数列的通项公式有关的综合问题 题型1 已知数列通项公式，求项数及最大（最小）项 【例4】数列 中，. ⑴是数列中的第几项？ ⑵为何值时，有最小值？并求最小值. 【解题思路】数列的通项与之间构成二次函数，可结合二次函数知识去探求. 【解析】⑴由，解得， 是数列中的第项. ⑵ ， 或时，. 【名师指引】利用二次函数知识解决数列问题时，必须注意其定义域为正整数. 题型2 已知数列通项公式，判断数列单调性及有界性 【例5】数列 中，. ⑴求数列 的最小项； ⑵判断数列 是否有界，并说明理由. 【解题思路】⑴转化为判断数列的单调性，即证，或；⑵从“数列的有界性”定义入手. 【解析】⑴ ， 数列 是递增数列，数列 的最小项为. ⑵ ， 数列 有界. 【名师指引】数列是特殊的函数，判断函数的单调性、有界性的方法同样适用于数列. 【新题导练】 4.数列 中，，求取最小值时的值. 【解析】， 时，取最小值. 5.数列 中，，求数列 的最大项和最小项. 【解析】 ， 又 ， ，数列 是递增数列 数列 的最小项为，没有最大项. ★ 抢 分 频 道 ★ 基础巩固训练 1.设数列，则是这个数列的（ ） A．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项 【解析】C．，选C． 2.(2008年华师附中)数列 的前项和为，且，则数列 的首项为（ ） A．或 B． C． D．或 【解析】D．中令，得，或 3.(2009恩城中学)已知定义在正整数集上的函数满足条件：，, ,则的值为（ ） A．－2 B． 2 C．4 D．－4 【解析】B．利用数列的周期性，周期为4， 4.数列中数值最大的项是第 项. 【解析】3 5.(2009恩城中学文)观察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，则可得出一般结论 . 【解析】 6.数列 中，，，则的值是（ ） A． B． C． D． 【解析】C．利用数列的周期性，除前4项后，周期为6， 综合拔高训练 7.(2009恩城中学节选)已知数列的首项，其前项和．求数列 的通项公式． 【解析】由，，① ∴，② ①－②得：，即，， ∵，∴． 8.设数列 的第项是二次函数，，求. 【解析】设，由 ，. 9.数列 中，. ⑴求这个数列的第10项； ⑵是否为该数列的项，为什么？ ⑶求证：； ⑷在区间内有无数列的项，若有，有几项？若无，说明理由. 【解析】⑴ ， ； ⑵令，无整数解， 不是该数列的项. ⑶ ，， ， ⑷由，得 ， 当且仅当时，在区间内有数列的项. 第2讲 等差数列 ★ 知 识 梳理 ★ 1.等差数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，常数 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前项和公式 ⑴通项公式，为首项，为公差. ⑵前项和公式或. 3.等差中项 如果成等差数列，那么叫做与的等差中项. 即：是与的等差中项，，成等差数列. 4.等差数列的判定方法 ⑴定义法：（，是常数） 是等差数列； ⑵中项法：() 是等差数列. 5.等差数列的常用性质 ⑴数列 是等差数列，则数列、（是常数）都是等差数列； ⑵在等差数列 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为. ⑶；(,是常数)；(,是常数，) ⑷若，则； ⑸若等差数列 的前项和，则是等差数列； ⑹当项数为，则； 当项数为，则. ★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点：理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式、前项和公式并能解决实际问题；理解等差中项的概念,掌握等差数列的性质. 2.难点：利用等差数列的性质解决实际问题. 3.重难点：正确理解等差数列的概念，灵活运用等差数列的性质解题. ⑴求等差数列的公差、求项、求值、求和、求最值等通常运用等差数列的有关公式及其性质. 问题1：已知,且和都是等差数列，则 分析：问题转化为：在插入若干个数，使其成等差，利用等差数列公差的求法公式解答. 解析：设等差数列和的公差分别是 则，，， 同理，得，. ⑵求“首末项和为常数”的数列的和，一般用倒序相加法. 问题2：已知函数则 ① ； ② . 分析：①可以直接代入计算，也可以整体处理；②寻找规律，整体处理. 解析：，经计算，得， . ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点1等差数列的通项与前n项和 题型1已知等差数列的某些项，求某项 【例1】已知 为等差数列，，则 【解题思路】可以考虑基本量法，或利用等差数列的性质 【解析】方法1： 方法2：， 方法3：令，则 方法4： 为等差数列， 也成等差数列，设其公差为，则为首项，为第4项. 方法5： 为等差数列，三点共线 【名师指引】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法. 题型2已知前项和及其某项，求项数. 【例2】⑴已知为等差数列 的前项和，，求； ⑵若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数. 【解题思路】⑴利用等差数列的通项公式求出及，代入可求项数； ⑵利用等差数列的前4项和及后4项和求出，代入可求项数. 【解析】⑴设等差数列的首项为，公差为，则 ⑵ 【名师指引】解决等差数列的问题时，通常考虑两种方法：⑴基本量法；⑵利用等差数列的性质. 题型3求等差数列的前n项和 【例3】已知为等差数列 的前项和，. ⑴求； ⑵求； ⑶求. 【解题思路】利用求出，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题. 【解析】4.， 当时，， 当时，， 当时，， . 由，得，当时，；当时，. ⑴； ⑵ ； ⑶当时，， 当时， 【名师指引】含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论. 【新题导练】 1.已知 为等差数列，（互不相等），求. 【解析】 2.已知为等差数列 的前项和，，则 . 【解析】设等差数列的公差为，则 . 3.已知个数成等差数列，它们的和为，平方和为，求这个数. 【解析】设这个数分别为则 解得 当时，这个数分别为：； 当时，这个数分别为： 4.已知为等差数列 的前项和，，求. 【解析】方法1：设等差数列的公差为，则 ； 方法2： . 考点2 证明数列是等差数列 【例4】已知为等差数列 的前项和，. 求证：数列是等差数列. 【解题思路】利用等差数列的判定方法⑴定义法；⑵中项法. 【解析】方法1：设等差数列 的公差为，， （常数） 数列是等差数列. 方法2：， ， ， 数列是等差数列. 【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有： ⑴定义法：（，是常数） 是等差数列； ⑵中项法：() 是等差数列； ⑶通项公式法：（是常数） 是等差数列； ⑷前项和公式法：（是常数，） 是等差数列. 【新题导练】 5.设为数列 的前项和，， ⑴求常数的值； ⑵求证：数列是等差数列. 【解析】⑴，， ⑵由⑴知：， 当时，， ，数列是等差数列. 考点3 等差数列的性质 【例5】⑴已知为等差数列 的前项和，，则 ； ⑵已知为等差数列 的前项和，，则 . 【解题思路】利用等差数列的有关性质求解. 【解析】⑴； ⑵方法1：令，则 . ，， ； 方法2：不妨设 . ， ； 方法3： 是等差数列，为等差数列 三点共线. . 【名师指引】利用等差数列的有关性质解题，可以简化运算. 【新题导练】 6.含个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（ ） 【解析】（本两小题有多种解法） ，.选B. 7.设、分别是等差数列 、 的前项和，，则 . 【解析】 填. 考点4 等差数列与其它知识的综合 【例6】已知为数列 的前项和，；数列满足：， ，其前项和为 ⑴求数列 、的通项公式； ⑵设为数列的前项和，，求使不等式对都成立的最大正整数的值. 【解题思路】⑴利用与的关系式及等差数列的通项公式可求；⑵求出后，判断的单调性. 【解析】⑴， 当时，； 当时， 当时，，； ，是等差数列，设其公差为. 则， . ⑵ ，是单调递增数列. 当时， 对都成立 所求最大正整数的值为. 【名师指引】本题综合考察等差数列、通项求法、数列求和、不等式等知识，利用了函数、方程思想，这是历年高考的重点内容. 【新题导练】 8.已知为数列 的前项和，，. ⑴求数列 的通项公式； ⑵数列 中是否存在正整数，使得不等式对任意不小于的正整数都成立？若存在，求最小的正整数，若不存在，说明理由. 【解析】⑴当时， ，且， 是以为公差的等差数列，其首项为. 当时， 当时，，； ⑵，得或， 当时，恒成立，所求最小的正整数 ★ 抢 分 频 道 ★ 基础巩固训练 1.(2009广雅中学)设数列是等差数列，且，，是数列的前项和，则 A． B． C． D． 【解析】C． 另法：由，，得，，计算知 2.在等差数列 中，，则 . 【解析】 3.数列 中，，当数列 的前项和取得最小值时， . 【解析】 由知 是等差数列， 4.已知等差数列 共有项，其奇数项之和为，偶数项之和为，则其公差是 . 【解析】 已知两式相减，得 5.设数列中，，则通项 . 【解析】 利用迭加法（或迭代法），也可以用归纳—猜想—证明的方法. 6.从正整数数列中删去所有的平方数，得到一个新数列，则这个新数列的第项是 . 【解析】 综合拔高训练 7.(2009广雅中学)已知等差数列中，. ⑴求数列的通项公式； ⑵若数列满足，设，且，求的值. 【解析】⑴设数列的公差为，则 ⑵， 令，得∴当时， 8.已知为等差数列 的前项和， ⑴当为何值时，取得最大值； ⑵求的值； ⑶求数列的前项和 【解析】⑴等差数列 中，公差 ，令 当时，；当时，.当时，取得最大值； ⑵数列 是等差数列 ； ⑶由⑴得，当时，；当时，. 9.(2009执信中学)已知数列满足 ⑴证明：数列是等比数列； ⑵求数列的通项公式； ⑶若数列满足证明是等差数列. 【解析】⑴证明： ,, 是以为首项，2为公比的等比数列。 ⑵解：由（I）得 ⑶证明： 　① 　② ②－①，得 即，　　③ 　④ ④－③，得 即， 是等差数列. 10.(2008北京）数列 满足，是常数. ⑴当时，求及的值； ⑵数列 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由； ⑶求的取值范围，使得存在正整数，当时总有. 【解析】⑴由于，且， 所以当时，得， 故.从而. ⑵数列 不可能为等差数列.证明如下： 由，得 若存在，使 为等差数列，则，即 于是 这与 为等差数列矛盾，所以，对任意， 都不可能是等差数列. ⑶记根据题意可知，且，即且 ，这时总存在，满足：当时，bn＞0；当时， 所以，由及可知，若为偶数，则，从而当时； 若为奇数，则，从而当时 因此“存在，当时总有”的充分必要条件是：为偶数， 记，则满足： 故的取值范围是 第3讲 等比数列 ★ 知 识 梳理 ★ 1.等比数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数 列，常数称为等比数列的公比. 2.通项公式与前项和公式 ⑴通项公式：，为首项，为公比 . ⑵前项和公式：①当时， ②当时，. 3.等比中项 如果成等比数列，那么叫做与的等比中项. 即：是与的等差中项，，成等差数列. 4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：（，是常数） 是等比数列； ⑵中项法：()且 是等比数列. 5.等比数列的常用性质 ⑴数列 是等比数列，则数列、（是常数）都是等比数列； ⑵在等比数列 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为. ⑶ ⑷若，则； ⑸若等比数列 的前项和，则、、、是等比数列. ★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点：理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式、前项和公式并能解决实际问题；理解等比中项的概念,掌握等比数列的性质. 2.难点：利用等比数列的性质解决实际问题. 3.重难点：正确理解等比数列的概念，灵活运用等比数列的性质解题. ⑴求等比数列的公比、、求值、判定等比数列等通常运用等比数列的概念、公式及其性质. 问题1：已知等比数列 的前项和(是非零常数),则数列 是( ) A.等差数列 B.等比数列 C.等差数列或等比数列 D.非等差数列 分析：先由求出，再根据等差、等比数列定义作出判定. 解析：， 当且时， 是等比数列；当时， 是等差数列，选C. ⑵求实数等比数列的中项要注意符号，求和要注意分类讨论. 问题2：若实数数列是等比数列，则 . 分析：本题容易错认为，由等比数列的等比中项公式，得 解析：是等比数列，，得 又是等比数列，，. ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点1等比数列的通项与前n项和 题型1已知等比数列的某些项，求某项 【例1】已知 为等比数列，，则 【解题思路】可以考虑基本量法，或利用等比数列的性质 【解析】方法1： 方法2：， 方法3： 为等比数列 【名师指引】给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质，再考虑基本量法. 题型2 已知前项和及其某项，求项数. 【例2】⑴已知为等比数列 前项和，，，公比，则项数 . ⑵已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为，中间两数之和为，求这四个数. 【解题思路】⑴利用等比数列的通项公式及求出及，代入可求项数；⑵利用等差数列、等比数列设出四个实数代入已知，可求这四个数. 【解析】⑴由，，公比，得. ⑵方法1：设这四个数分别为，则； 方法2：设前个数分别为，则第个数分别为，则 ，解得或； 方法3：设第个数分别为，则第个数为，第个数为，则 或； 方法4：设第个数分别为，设第个数分别为； 方法5：设第个数分别为，则设第个数分别为，则 或 【名师指引】平时解题时，应注意多方位、多角度思考问题，加强一题多解的练习，这对提高我们的解题能力大有裨益. 题型3 求等比数列前项和 【例3】等比数列中从第5项到第10项的和. 【解题思路】可以先求出，再求出，利用求解；也可以先求出及， 由成等比数列求解. 【解析】由，得， ，， 【例4】已知为等比数列 前项和，，求 【解题思路】可以先求出，再根据的形式特点求解. 【解析】， 即 【例5】已知为等比数列 前项和，，求. 【解题思路】分析数列通项形式特点，结合等比数列前项和公式的推导，采用错位相减法求和. 【解析】 ，----------------① -------------② ①—②，得 【名师指引】根据数列通项的形式特点，等比数列求和的常用方法有：公式法、性质法、分解重组法、错位相减法，即数列求和从“通项”入手. 【新题导练】 1.已知 为等比数列，，求的值. 【解析】设等比数列 的公比为， ，，； 2.如果将依次加上同一个常数后组成一个等比数列，则这个等比数列的公比为 . 【解析】设这个常数为，则成等比数列， ，解得，. 3.已知为等比数列的前项和，，则 ； 【解析】或， 当时，； 当时，无整数解. 4.已知等比数列中，，则其前3项的和的取值范围是 . 【解析】∵等比数列中 ∴ ∴当公比时，； 当公比时，， ∴ 5.已知为等比数列 前项和，，，，前项中的数值最大的项为54，求. 【解析】由，，，知， ，,又前项中的数值最大的项为: ，， 考点2 证明数列是等比数列 【例6】已知数列 和满足：，，，其中为实数，. ⑴ 对任意实数，证明数列 不是等比数列； ⑵ 试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论. 【解题思路】⑴证明数列 不是等比数列，只需举一个反例；⑵证明数列是等比数列， 常用：①定义法；②中项法. 【解析】⑴ 证明：假设存在一个实数，使 是等比数列，则有， 即矛盾. 所以 不是等比数列. ⑵ 解：因为 又，所以 当，此时不是等比数列； 当时，由上可知，此时是等比数列. 【名师指引】等比数列的判定方法： ⑴定义法：（，是常数） 是等比数列； ⑵中项法：()且 是等比数列. 【新题导练】 6.已知数列的首项，，…．证明：数列是等比数列； 【解析】 ， ， ，又，， 数列是以为首项，为公比的等比数列. 考点3 等比数列的性质 【例7】已知为等比数列 前项和，，，则 . 【解题思路】结合题意考虑利用等比数列前项和的性质求解. 【解析】 是等比数列，为等比数列， . 【名师指引】给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质，再考虑基本量法. 【新题导练】 7.已知等比数列 中，，则 . 【解析】 是等比数列， . 考点4 等比数列与其它知识的综合 【例8】设为数列 的前项和，已知 ⑴证明：当时，是等比数列； ⑵求的通项公式 【解题思路】由递推公式求数列的通项公式，主要利用： ，同时注意分类讨论思想. 【解析】由题意知，且 ， 两式相减，得，即 ① ⑴当时，由①知 于是 又，所以是首项为，公比为的等比数列。 ⑵当时，由（Ⅰ）知，即 当时，由①得 因此 得 【名师指引】退一相减是解决含有的递推公式的重要手段，使其转化为不含的递推公式，从而针对性的解决；在由递推公式求通项公式时，重视首项是否可以吸收是易错点，同时重视分类讨论，做到条理清晰是关键. 【新题导练】 8.设为数列 的前项和，，，. ⑴ 设，求数列的通项公式； ⑵ 若，求的取值范围． 【解析】⑴依题意，，即， 由此得．因此，所求通项公式为 ，． ① ⑵ 由①知 ，，于是， 当时， ， ， 当时，，又． 综上，所求的的取值范围是． ★ 抢 分 频 道 ★ 基础巩固训练 1.设 是公比为正数的等比数列，若，则数列 前7项的和为（ ） 【解析】C. 由，得，， 2.设等比数列的公比， 前n项和为，则（ ） 【解析】C. 3.已知等比数列满足，则（ ） 【解析】A.，， 4.已知等比数列的前三项依次为，，，则（ ） A． B． C． D． 【解析】C.，， 5.已知是等比数列，，则=（ ） 【解析】C．， 6.(2009广雅中学)在等比数列中，已知，，则 . 【解析】．利用成等比数列，得 综合拔高训练 7.(2009执信中学) 等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和． 【解析】解：设数列的公差为，则 ， ， ． 由成等比数列得， 即， 整理得， 解得或． 当时，；当时，， 于是． 8.(2009金山中学)已知数列的前项和为，； ⑴求，的值； ⑵证明数列是等比数列，并求． 【解析】⑴由 得 由 ，得 ⑵ 显然，所以，是以为公比的等比数列， 9.(2008湖北) 已知数列和满足：，，， 其中为实数，. ⑴ 对任意实数，证明数列 不是等比数列； ⑵ 证明：当，数列是等比数列； ⑶设为数列的前项和，是否存在实数，使得对任意正整数，都有？ 若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 【解析】⑴证明：假设存在一个实数，使 是等比数列，则有， 即矛盾. 所以 不是等比数列. ⑵ 解：因为 又，所以，当时， 由上可知， 此时是以为首项，为公比的等比数列. ⑶当时，由⑵得 ，于是 ， 当时，，从而上式仍成立.要使对任意正整数n , 都有.即 令，则 当n为正奇数时，；当n为正偶数时，. 的最大值为于是可得 . 综上所述，存在实数，使得对任意正整数，都有，的取值范围为. 第4讲 数列的通项的求法 ★ 知 识 梳理 ★ 数列通项的常用方法： ⑴利用观察法求数列的通项. ⑵利用公式法求数列的通项：①；② 等差、等比数列 公式. ⑶应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①；② ⑶构造等差、等比数列求通项： 1 ；②；③；④. ★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点：掌握由常见数列递推关系式求通项公式的方法. 2.难点：由数列递推关系式的特点，选择合适的方法. ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点 求数列的通项公式 题型1 利用公式法求通项 【例1】已知为数列 的前项和，求下列数列 的通项公式： ⑴ ； ⑵. 【解题思路】已知关系式，可利用，这是求数列通项的一个重要公式. 【解析】⑴当时，， 当时，. 而时，，. ⑵当时，， 当时，. 而时，，. 【名师指引】任何一个数列，它的前项和 与通项 都存在关系： 若 适合 ，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示. 题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项 【例2】⑴已知数列 中，，求数列 的通项公式； ⑵已知为数列 的前项和，，，求数列 的通项公式. 【解题思路】⑴已知关系式，可利用迭加法或迭代法； ⑵已知关系式，可利用迭乘法. 【解析】⑴方法1：（迭加法） ， 方法2：（迭代法）， ，. ⑵，，当时， . 【名师指引】⑴迭加法适用于求递推关系形如“”； 迭乘法适用于求递推关系形如““；⑵迭加法、迭乘法公式： ① ② . 题型3 构造等比数列求通项 【例3】已知数列 中，，求数列 的通项公式. 【解题思路】递推关系形如“”是一种常见题型，适当变形转化为等比数列. 【解析】， 是以为公比的等比数列，其首项为 【名师指引】递推关系形如“” 适用于待定系数法或特征根法： ①令； ② 在中令，； ③由得，. 【例4】已知数列 中，，求数列 的通项公式. 【解题思路】递推关系形如“” 适当变形转化为可求和的数列. 【解析】方法1：，，令 则 ， 方法2：，，令 则 ，转化为““ （解法略） 【名师指引】递推关系形如“”通过适当变形可转化为： “”或“求解. 【例5】已知数列 中，，求数列 的通项公式. 【解题思路】递推关系形如“”可用待定系数法或特征根法求解. 【解析】令 由或， 数列是等比数列， . 【名师指引】递推关系形如“”，通过适当变形转化为可求和的数列. 【新题导练】 1.已知为数列 的前项和， ，求数列 的通项公式. 【解析】当时，， 当时，. 是以为公比的等比数列，其首项为， 2.已知数列 中，，求数列 的通项公式. 【解析】由得， . 3.⑴已知数列 中，，求数列 的通项公式； ⑵已知数列 中，，求数列 的通项公式. 【解析】⑴，； ⑵令，得 ，， 4.已知数列 中，，求数列 的通项公式. 【解析】，，令 数列是等差数列，，. 5.（2008全国Ⅱ卷理节选） 设数列 的前项和为，已知，设， 求数列的通项公式． 【解析】依题意，，即， 由此得， 6.(2008广东文节选) 已知数列 中，，求数列 的通项公式. 【解析】由 得 又，所以数列是以1为首项，公比为的等比数列， ． ★ 抢 分 频 道 ★ 基础巩固训练 1.若数列的前项和（，且），则此数列是( ) 等差数列 等比数列 等差数列或等比数列 既不是等差数列，也不是等比数列 【解析】C. ， 当时，，是等差数列；且时，是等比数列．选C. 2.数列中，，则数列的通项( ) 【解析】 ,使用迭乘法，得 3.数列中，,且，则( ) 【解析】 由，得， ， 4.设是首项为1的正项数列，且， 则数列的通项 . 【解析】 5.数列中，，则的通项 . 【解析】 由，得 6.数列中，，则的通项 . 【解析】 由，得 ， 综合拔高训练 7.数列中，，求数列的通项公式. 【解析】，，. 数列是以2为公比的等比数列，其首项为 8.已知数列 中，，求数列 的通项公式. 【解析】，. 数列是以3为公比的等比数列，其首项为 ，. 令，则 ， ，. 第5讲 数列求和 ★ 知 识 梳 理 ★ 1.基本数列的前项和 ⑴ 等差数列的前项和： ⑵ 等比数列的前项和： ①当时，；②当时，； ⑶ 基本数列的前项和：. 2. 数列求和的常用方法：公式法；性质法；拆项分组法；裂项相消法；错位相减法；倒序相加法. ★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点：掌握由数列通项公式求数列的前项之和的方法； 2.难点：利用裂项相消法、错位相减法求数列的前项之和. 3.重难点：灵活选择数列求和的方法，注意裂项相消法求和中项数及项的处理. ⑴抓住等差，等比数列的项的性质，整体代值可简化解题过程. 问题1：⑴已知为等比数列 的前项和，公比， 则 ； ⑵等差数列 中，公差，且， 则 . 分析：利用（或转化为）等差、数列等比前项和公式是最基本的方法；⑴要求前99项中序号为3的倍数项的和可进行整体考虑；⑵把当作一个整体考虑. 解析：⑴ ， ⑵，且， ⑵裂项相消法求和中注意项数及项的处理. 问题2：数列的前项和 分析：此数列的第项应为（注意不是？），裂项求和时注意项数. 解析：此数列的第项， 数列的前项和 · ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点 已知数列的通项公式，求数列前n项之和 题型1 公式法、性质法求和 【例1】⑴等比数列中的第5项到第10项的和为： ⑵等差数列的前项和为18，前项为和28，则前项和为 【解题思路】⑴可以先求出，再求出，利用求解；也可以先求出及， 由成等比数列求解；⑵利用等差数列的性质求解. 【解析】⑴利用等比数列前项和公式求解. 由，得， ，， ⑵利用等差数列的性质求解. 是等差数列，为等差数列，三点共线. . 【名师指引】利用等差（等比）数列的有关性质解题，可以简化运算. 题型2 拆项分组法求和 【例2】求数列的前项和. 【解题思路】根据通项公式，通过观察、分析、研究，可以分解通项公式中的对应项，达到求和的目的. 【解析】 . 【名师指引】若数列的通项公式可分解为若干个可求和的数列，则将数列通项公式分解，分别求和，最终达到求和目的. 题型3 裂项相消法求和 【例3】求和：. 【解题思路】观察通项公式的特点，发现. 【解析】 原式. 【名师指引】数列的常见拆项有：；； ；. 题型4错位相减法求和 【例4】若数列的通项，求此数列的前项和. 【解题思路】利用等比数列前项和公式的推导方法求和，一般可解决形如一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题. 【解析】， ① ② ①-②，得 . . 【名师指引】若一个数列是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所得数列，求和问题适用错位相减法. 题型5 倒序相加法求和 【例5】设，求： ⑴； ⑵ 【解题思路】观察及的特点，发现. 【解析】，. ⑴ ⑵原式. 【名师指引】通过分析对应的通项，可结合等差数列前项和的推导方法求解. ☆ ⑴ 数列求和应该从通项入手； ⑵ 数列求和的常用方法：公式法、性质法、拆项分组法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法. 【新题导练】 1.已知等比数列中，为的两个根，则 . 【解析】由已知得，，，. 2.设函数定义如下表，数列满足且，则 . x 1 2 3 4 5 4 1 3 5 2 【解析】经计算得，是一个以4为周期的周期数列， 注意项数的处理. 3.求数列的前项和. 【解析】 . 4.求数列的前项和. 【解析】 . 5.⑴ 求和：； ⑵ 求和：； ⑶ 求和：. 【解析】⑴ 原式 . ⑵ 原式 . ⑶ . 6.求数列的前项和. 【解析】 ① ①得， ② ①-②得， 当时，； 当时， . 7.求和： 【解析】 ， ① 则 ② ①+②得，. ★ 抢 分 频 道 ★ 基础巩固训练 1.数列中，，则数列的前项的绝对值之和为( ) 【解析】C.，，所求绝对值之和为 2.的结果为( ) 【解析】C.用错位相减法 3.在项数为的等差数列中，所有奇数项和与偶数项和的比是( ) 【解析】A.利用等差数列的性质 4.数列中，，若的前项和为，则项数为( ) 【解析】B. ，， 5.的结果为 . 【解析】 ，用裂项相消法. 6.数列中，，则数列的前项和为 . 【解析】 由，得， ，， 7.数列中，，则数列的前项和为 . 【解析】 综合拔高训练 8.设是数列的前项和，，. ⑴求的通项； ⑵设，求数列的前项和. 【解析】⑴，时，， 整理得，， 数列是以为公差的等差数列，其首项为 ，； ⑵由⑴知， 9.(2009恩城中学)观察下面由奇数组成的数阵，回答下列问题： ⑴求第六行的第一个数； ⑵求第20行的第一个数； ⑶求第20行的所有数的和． 【解析】解：⑴第六行的第一个数为31； ⑵∵第行的最后一个数是，第行共有个数，且这些数构成一个等差数列，设第 行的第一个数是，∴，∴，∴第20行的第一个数为381 ⑶第20行构成首项为381，公差为2的等差数列，且有20个数，设第20行的所有数的和为， 则. 第6讲 数列的综合问题 ★ 知 识 梳理 ★ 1.等差数列的补充性质 ⑴若有最大值，可由不等式组来确定； ⑵若有最小值，可由不等式组来确定. 2.若干个数成等差、等比数列的设法 ⑴三个数成等差的设法：；四个数成等差的设法：. ⑵三个数成等比的设法：；四个数成等比的设法：. 3.用函数的观点理解等差、等比数列 ⑴等差数列中，， 当时，是递增数列，是的一次函数； 当时，是常数列，是的常数函数； 当时，是递减数列，是的一次函数. ⑵等比数列中，， 当或时，是递增数列； 当或时，是递减数列； 当时，是一个常数列；当时，是一个摆动数列. 4.解答数列综合问题的注意事项 ⑴ 认真审题、展开联想、沟通联系； ⑵ 将实际应用问题转化为数学问题； ⑶ 将数列与其它知识（如函数、方程、不等式、解几、三角等）联系起来. ★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点：掌握常见数列应用问题的解法；掌握数列与其它知识的综合应用. 2.难点：如何将实际应用问题转化为数学问题，综合运用所学知识解决数列问题. ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点 数列的综合应用 题型1 等差、等比数列的综合应用 【例1】已知等差数列 与等比数列中，，求的通项. 【解题思路】由等比数列知：成等比，从而找出的关系. 【解析】设等差数列 的公差为，等比数列的公比为， 是等比数列，成等比，则 ，解得 或. 当时， ，， ； 当时，，， . 【名师指引】综合运用等差、等比数列的有关公式和性质是解决等差、等比数列综合问题的关键. 【例2】已知为数列 的前项和，，. ⑴设数列中，，求证：是等比数列； ⑵设数列中，，求证：是等差数列； ⑶求数列 的通项公式及前项和. 【解题思路】由于和中的项与 中的项有关，且，可利用、的关系作为切入点. 【解析】⑴，，两式相减，得 ， 又，，由，，得 ，是等比数列，. ⑵由⑴知，，且 是等差数列，. ⑶，且， 当时，， ， 【名师指引】⑴等差、等比数列的证明方法主要有定义法、中项法；⑵将“”化归为 是解题的关键. 题型2 数列与函数、方程、不等式的综合应用 【例3】（2008韶关模拟）设函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，有． ⑴求，判断并证明函数的单调性； ⑵数列 满足,且 ①求 通项公式； ②当时，不等式对不小于的正整 数恒成立，求的取值范围. 【解题思路】从已知得到递推关系式，再由等差数列的定义入手；恒成立问题转化为左边的最小值. 【解析】⑴，在上减函数（解法略） ⑵ ① 由单调性 ，故 等差数列 ② 是递增数列 当时， ， 即 而，∴，故的取值范围是 【名师指引】数列与函数、方程、不等式的综合问题，要注意将其分解为数学分支中的问题来解决. 题型3 数列的应用问题 【例4】在一直线上共插有13面小旗，相邻两面之距离为，在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗,要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上?最短路程是多少? 【解题思路】本题求走的总路程最短,是一个数列求和问题,而如何求和是关键,应先画一草图,研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程,然后求和. 【解析】设将旗集中到第面小旗处,则从第一面旗到第面旗处,共走路程为,然后回到第二面处再到第面处是,从第面处到第面处路程为20，从第面处到第面取旗再到第面处,路程为，总的路程: . 由于,当时,有最小值. 答: 将旗集中以第7面小旗处,所走路程最短. 【名师指引】本例题是等差数列应用问题. 应用等差数列前项和的公式，求和后，利用二次函数求最短距离时，要特别注意自变量的取值范围. 【例5】用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,… 依次类推,每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块,到第十层恰好把砖块用完，问共用了多少块? 【解题思路】建立上层到底层砖块数与的关系式是关键，应分清它是等差，还是数列等比数列. 【解析】设从上层到底层砖块数分别为,则, 易得,即 因此,每层砖块数构成首项为2,公比为2的等比数列,则 (块) 答:共用2046块. 【名师指引】建立与的关系式后，转化为求数列通项的问题. 【例6】2002年底某县的绿化面积占全县总面积的％，从2003年开始,计划每年将非绿化面积的 8％绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的2％被非绿化. ⑴设该县的总面积为1,2002年底绿化面积为,经过年后绿化的面积为,试用表示 ； ⑵求数列的第项； ⑶至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过60%(参考数据:) 【解题思路】当年的绿化面积等于上年被非绿化后剩余面积加上新绿化面积. 【解析】⑴设现有非绿化面积为,经过年后非绿化面积为. 于是.依题意,是由两部分组成,一部分是原有的绿化面积减去被非绿化部分后剩余的面积,另一部分是新绿化的面积, 于是 ⑵. 数列是公比为,首项的等比数列. ∴. ⑶ . 答:至少需要7年的努力,才能使绿化率超过60％. 【名师指引】解答数列应用性问题，关键是如何建立数学模型，将它转化为数学问题. 【新题导练】 1.四个实数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求原来的四个数. 【解析】设后三个数分别为，则 前三个数成等比数列，第一个数为，， 解得，当时，；当时，. 原来的四个数分别为或. 2.已知为数列 的前项和，点在直线上． ⑴若数列成等比，求常数的值； ⑵求数列 的通项公式； ⑶数列 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项； 若不存在，请说明理由． 【解析】⑴由题意知，，得， ，； ⑵，，由⑴知： ； ⑶设存在，使成等差数列， 即 ，， （※）， 因为，为偶数，为奇数，这与（※）式产生矛盾． 所以这样的三项不存在． 3.(2009金山中学)数列首项，前项和与之间满足 （1）求证：数列是等差数列 （2）求数列的通项公式 （3）设存在正数，使对于一切都成立，求的最大值。 【解析】（1）因为时，得 由题意 又 是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）有 时，. 又 （3）设 则 在上递增 故使恒成立只需 又 又 ，所以，的最大值是. 4.夏季高山上的温度从脚起，每升高，降低℃，已知山顶处的温度是℃，山脚处的温度为℃，问此山相对于山脚处的高度是多少米. 【解析】每升高米温度降低℃，∴该处温度的变化是一个等差数列问题. 山底温度为首项,山顶温度为末项,所以， 解之可得，此山的高度为. 5.由原点向三次曲线引切线,切于不同于点的点 ，再由引此曲线的切线，切于不同于的点，如此继续地作下去,……,得到点列，试回答下列问题： ⑴求； (2)求与的关系式； (3)若，求证:当为正偶数时, ；当为正奇数时, . 【解析】⑴由 ① 得y′=3x2－6ax＋b. 过曲线①上点的切线的方程是： 由它过原点，有 ⑵ 过曲线①上点的切线ln+1的方程是： ,由过曲线①上点，有 ∵，以除上式，得 以除之，得 (3)方法1 由(2)得 故数列{x n－a}是以x 1－a= eq \f(a,2) 为首项,公比为－ eq \f(1,2) 的等比数列, ∵，∴当为正偶数时, 当为正奇数时, 方法2 = 以下同解法1. ★ 抢 分 频 道 ★ 基础巩固训练 1.首项为的数列 既是等差数列，又是等比数列，则这个的前项和为（ ） A. B. C. D. 【解析】D.由题意，得数列 是非零常数列， 2.等差数列 及等比数列中，则当时有 A. B. C. D. 【解析】D.特殊法， 及为非零常数列时，；取，时， 3. 已知成等比数列，是的等差中项，是的等差中项，则 . 【解析】2. 特殊法，取， 4.⑴为等差数列 的前项和，，，问数列的前几项和最大？ ⑵公差不为零的等差数列 中，，成等比数列，求数列 的前项和. 【解析】⑴方法1：设，由，得， 即 ，， 当时，有最大值为 方法2：由，得， 是等差数列， .由， 是等差数列，， 当时，有最大值为 ⑵设，，成等比数列， ， 5.已知，数列的前项和，若数列的每一项总小于它后面的项，求的取值范围. 【解析】当时，当时， ， 由题意，得，即 ⑴当时，，，； ⑵当时，，， 综上，的取值范围 6.等差数列 中，，其公差；数列是等比数列，，其公比 ⑴若，试比较与的大小，说明理由； ⑵若，试比较与的大小，说明理由. 【解析】方法1：的图象大致如下图所示： ⑴ 由图⑴可知，； ⑵ 由图⑵可知，. 方法2：（用作差比较法，略）. 综合拔高训练 7.某养渔场，据统计测量，第一年鱼的重量增长率为200﹪，以后每年的增长率为前一年的一半. ⑴饲养5年后，鱼重量预计是原来的多少倍？ ⑵如因死亡等原因，每年约损失预计重量的10﹪，那么，经过几年后，鱼的总质量开始下降？ 【解析】⑴设鱼原来的产量为，200﹪ ， ⑵由⑴可知，，而鱼每年都损失预计产量的10﹪，即实际产量只有原来的. 设底年鱼的总量开始减少，则 ，即 ，解得， 经过5年后，鱼的总量开始减少. 8.数列的前项和为，点在直线． ⑴若数列成等比数列，求常数的值； ⑵求数列的通项公式； ⑶数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项； 若不存在，请说明理由． 【解析】⑴由题意知， 得，∴ ⑵，，由⑴知： ⑶设存在S，P，r, 即 （＊） 因为s、p、r为偶数 1+2，（＊）式产生矛盾．所以这样的三项不存在． 9.(2001全国)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加. ⑴设年内（本年度为第一年）总收入为万元，旅游业总收入为万元，写出表达式 ⑵至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ 【解析】3.⑴第一年投入为800万元，第二年投入为万元，第年的投入为 万元.所以，年内的总投入为： ； 第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为万元， 第年旅游业收入为万元.所以，年内的旅游业总收入为 ⑵设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，由此， 即 化简得，设，代入上式得， 解此不等式，得，或（舍去）即，由此得 答：至少经过5年旅游业的总收入能超过总投入. 10.（2009执信中学）设函数.若方程的根为和, 且. (1)求函数的解析式； (2)已知各项均不为零的数列满足: (为该数列前项和),求该数列的通项. 【解析】 ⑴设 ,, 又 ， ⑵由已知得 两式相减得, 或. 当，，若，则，这与矛盾. . ⑶由, 或. 若，则；若，则 在时单调递减. ，在时成立. 第十章综合检测 （120分钟，150分） 一、选择题（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.等差数列中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【解析】C. 2.等比数列的前项和为，第项与第项的和为，则数列的首项为（ ） A. B. C. D. 【解析】C. ， 3.设为数列的前项和，，则达到最小值时，的值为（ ） A. B. C. D. 【解析】C. ，时，达到最小值. 4.设为数列的前项和，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【解析】D. ， 5.等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【解析】B. 由题意，得 ， 6.数列中，，若前项和，则项数等于（ ） A. B. C. D. 【解析】D. ，得 7.某工厂去年的产值为，计划在年内每年比上一年产