一轮复习--递推数列

高考资源网（www.ks5u.com），您身边的高考专家 浙江义乌中学高三一轮复习资料递推数列题型归纳解析 各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。 类型1 解法：把原递推公式转化为 ，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列 满足 ， ，求 。 解：由条件知： 分别令 ，代入上式得 个等式累加之，即 所以 ， 变式:（2004，全国I，个理22．本小题满分14分） 已知数列 ，且a2k=a2k－1+(－1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,……. （I）求a3, a5； （II）求{ an}的通项公式. 解： EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ，即 EMBED Equation.3 ， …… …… 将以上k个式子相加，得 将 代入，得 ， 。 经检验 也适合， EMBED Equation.3 类型2 解法：把原递推公式转化为 ，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列 满足 ， ，求 。 解：由条件知 ，分别令 ，代入上式得 个等式累乘之，即 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 又 ， 例:已知 ， ，求 。 解： 。 变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}的通项 解：由已知，得 ，用此式减去已知式，得 当 时， ，即 ，又 ， ，将以上n个式子相乘，得 EMBED Equation.3 类型3 （其中p，q均为常数， ）。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为： ，其中 ，再利用换元法转化为等比数列求解。 例:已知数列 中， ， ，求 . 解：设递推公式 可以转化为 即 .故递推公式为 ,令 ，则 ,且 .所以 是以 为首项，2为公比的等比数列，则 ,所以 . 变式:（2006，重庆,文,14） 在数列 中，若 ，则该数列的通项 EMBED Equation.DSMT4 _______________ （key: ） 变式:（2006. 福建.理22.本小题满分14分）已知数列 满足 （I）求数列 的通项公式；（II）若数列{bn}滿足 证明：数列{bn}是等差数列；（Ⅲ）证明： （I）解： 是以 为首项，2为公比的等比数列 即　 （II）证法一： 　① 　 　② ②－①，得 即 　 ③－④，得　 即　 是等差数列 证法二：同证法一，得　 令 得 设 下面用数学归纳法证明　 （1）当 时，等式成立 （2）假设当 时， 那么 这就是说，当 时，等式也成立 根据（1）和（2），可知 对任何 都成立 是等差数列 （III）证明： EMBED Equation.DSMT4 变式:递推式： 。解法：只需构造数列 ，消去 带来的差异． 类型4 （其中p，q均为常数， ）。 （或 ,其中p，q, r均为常数） 。 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以 ，得： 引入辅助数列 （其中 ），得： 再待定系数法解决。 例:已知数列 中， , ，求 。 解：在 两边乘以 得： 令 ，则 ,解之得： 所以 变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分） 设数列 的前 项的和 ， （Ⅰ）求首项 与通项 ；（Ⅱ）设 ， ，证明： 解：（I）当 时， EMBED Equation.3 ； 当 时， ，即 ，利用 （其中p，q均为常数， ）。 （或 ,其中p，q, r均为常数）的方法，解之得： (Ⅱ)将 代入①得 Sn= eq \f(4,3)×(4n－2n)－ eq \f(1,3)×2n+1 + eq \f(2,3) = eq \f(1,3)×(2n+1－1)(2n+1－2) = eq \f(2,3)×(2n+1－1)(2n－1) Tn= eq \f(2n,Sn) = eq \f(3,2)× eq \f(2n, (2n+1－1)(2n－1)) = eq \f(3,2)×( eq \f(1,2n－1) － eq \f(1,2n+1－1)) 所以, = eq \f(1,2i－1) － eq \f(1,2i+1－1)) = eq \f(3,2)×( eq \f(1,21－1) － eq \f(1,2i+1－1)) < eq \f(3,2) 类型5 递推公式为 （其中p，q均为常数）。 解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为 其中s，t满足 解法二(特征根法)：对于由递推公式 ， 给出的数列 ，方程 ，叫做数列 的特征方程。若 是特征方程的两个根，当 时，数列 的通项为 ，其中A，B由 决定（即把 和 ，代入 ，得到关于A、B的方程组）；当 时，数列 的通项为 ，其中A，B由 决定（即把 和 ，代入 ，得到关于A、B的方程组）。 解法一（待定系数——迭加法）:数列 ： ， ，求数列 的通项公式。由 ，得 ，且 。 则数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，于是 。把 代入，得 ， ， ， 。把以上各式相加，得 EMBED Equation.3 。 。 解法二（特征根法）：数列 ： ， 的特征方程是： 。 , EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 。又由 ，于是 故 例:已知数列 中， , , ，求 。 解：由 可转化为 即 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 或 这里不妨选用 （当然也可选用 ，大家可以试一试），则 EMBED Equation.3 是以首项为 ，公比为 的等比数列,所以 ,应用类型1的方法，分别令 ，代入上式得 个等式累加之，即 EMBED Equation.3 又 ，所以 。 变式:（2006，福建,文,22,本小题满分14分）已知数列 满足 （I）证明：数列 是等比数列；（II）求数列 的通项公式；（III）若数列 满足 证明 是等差数列 （I）证明： 是以 EMBED Equation.DSMT4 为首项，2为公比的等比数列 （II）解：由（I）得 　　 （III）证明： EMBED Equation.DSMT4 　① ② ②－①，得 即 　③　 　④ ④－③，得 即 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 是等差数列 类型6 递推公式为 与 的关系式。(或 ) 解法：这种类型一般利用 与 消去 或与 EMBED Equation.3 消去 进行求解。 例：已知数列 前n项和 .（1）求 与 的关系；（2）求通项公式 . 解：（1）由 得： 于是 所以 EMBED Equation.3 . （2）应用类型4（ （其中p，q均为常数， ））的方法，上式两边同乘以 得： 由 .于是数列 是以2为首项，2为公差的等差数列，所以 EMBED Equation.3 变式:（06陕西,理,) 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an 解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3 又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，② 由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0 ∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2) 当a1=3时，a3=13，a15=73 a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3;当a1=2时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3 变式: (05,江西,文,已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3 求数列{an}的通项公式. 解： EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ，两边同乘以 ，可得 令 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 …… …… EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 又 EMBED Equation.3 ， ， EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 。 EMBED Equation.3 类型7 EMBED Equation.3 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令 ，与已知递推式比较，解出 ,从而转化为 是公比为 的等比数列。 例:设数列 ： ，求 . 解：设 ，将 代入递推式，得 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 …（１）则 ,又 ，故 代入（１）得 说明：（1）若 为 的二次式，则可设 ;(2)本题也可由 , （ ）两式相减得 转化为 求之. 变式:（2006，山东,文,22,本小题满分14分） 已知数列｛ ｝中， 在直线y=x上，其中n=1,2,3… (Ⅰ)令 (Ⅱ)求数列 (Ⅲ)设 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 的前n项和,是否存在实数 ，使得数列 为等差数列？若存在，试求出 若不存在,则说明理由 解：（I）由已知得 EMBED Equation.DSMT4 又 EMBED Equation.DSMT4 是以 为首项，以 为公比的等比数列 （II）由（I）知， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 将以上各式相加得： （III）解法一：存在 ，使数列 是等差数列 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 数列 是等差数列的充要条件是 、 是常数 即 又 EMBED Equation.DSMT4 当且仅当 ，即 时，数列 为等差数列 解法二：存在 ，使数列 是等差数列 由（I）、（II）知， EMBED Equation.DSMT4 又 EMBED Equation.DSMT4 当且仅当 时，数列 是等差数列 类型8 EMBED Equation.3 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为 ，再利用待定系数法求解。 例：已知数列｛ ｝中， EMBED Equation.3 ，求数列 解：由 两边取对数得 ， 令 ，则 ，再利用待定系数法解得： 。 变式:（05江西,理）已知数列 EMBED Equation.3 （1）证明 （2）求数列 的通项公式an. 解：用数学归纳法并结合函数 的单调性证明： （1）方法一 用数学归纳法证明：1°当n=1时， ∴ ，命题正确.2°假设n=k时有 则 EMBED Equation.DSMT4 而 又 ∴ 时命题正确. 由1°、2°知，对一切n∈N时有 方法二：用数学归纳法证明： 1°当n=1时， ∴ ； 2°假设n=k时有 成立， 令 ， 在[0，2]上单调递增，所以由假设有： 即 也即当n=k+1时 成立，所以对一切 （2）解法一： 所以　　 , 又bn=－1，所以 解法二： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 由（I）知， ，两边取以2为底的对数， EMBED Equation.3 令 EMBED Equation.3 ,则 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 或 变式:（06山东理）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，… （1）证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；（2）设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项； （3）记bn= ，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+ =1 解：（Ⅰ）由已知 ， ，两边取对数得 ，即 EMBED Equation.DSMT4 是公比为2的等比数列 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 （*） = 由（*）式得 （Ⅲ） ， ， ，又 ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，又 ， 类型9 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为 。 例：已知数列｛an｝满足： ，求数列｛an｝的通项公式。 解：取倒数： EMBED Equation.3 是等差数列， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 变式:（2006，江西,理,22,本大题满分14分）已知数列｛an｝满足：a1＝ ，且an＝ （1）求数列｛an｝的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1(a2(……an(2(n！ 解：（1）将条件变为：1－ ＝ ，因此｛1－ ｝为一个等比数列，其首项为 1－ ＝ ，公比 ，从而1－ ＝ ，据此得an＝ （n(1）…………1( （2）证：据1(得，a1(a2(…an＝ 为证a1(a2(……an(2(n！ 只要证n(N(时有 ( …………2( 显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个n(N(，有 (1－（ ）…3(用数学归纳法证明3(式：n＝1时，3(式显然成立，设n＝k时，3(式成立， 即 (1－（ ） 则当n＝k＋1时， (〔1－（ ）〕(（ ） ＝1－（ ）－ ＋ （ ） (1－（ ＋ ）即当n＝k＋1时，3(式也成立 故对一切n(N(，3(式都成立 利用3(得， (1－（ ）＝1－ ＝1－ ( 故2(式成立，从而结论成立 类型10 解法：如果数列 满足下列条件：已知 的值且对于 ，都有 （其中p、q、r、h均为常数，且 ），那么，可作特征方程 ,当特征方程有且仅有一根 时,则 是等差数列;当特征方程有两个相异的根 、 时，则 是等比数列。 例：已知数列满足性质：对于 且 求 的通项公式. 解: 数列的特征方程为 变形得 其根为 故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有 ∴ ∴ 即 例：已知数列 满足：对于 都有 （1）若 求 （2）若 求 （3）若 求 （4）当 取哪些值时，无穷数列 不存在？ 解：作特征方程 变形得 特征方程有两个相同的特征根 依定理2的第（1）部分解答. (1)∵ 对于 都有 (2)∵ ∴ 令 ，得 .故数列 从第5项开始都不存在， 当 ≤4， 时， . (3)∵ ∴ ∴ 令 则 ∴对于 ∴ (4)、显然当 时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知， 时，数列 是存在的，当 时，则有 令 则得 且 ≥2. ∴当 （其中 且N≥2）时，数列 从第 项开始便不存在. 于是知：当 在集合 或 且 ≥2}上取值时，无穷数列 都不存在. 变式:（2005，重庆,文,22,本小题满分12分） 数列 记 （Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值； （Ⅱ）求数列 的通项公式及数列 的前n项和 解法一：由已知,得 ,其特征方程为 解之得, 或 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 解法二： （I） （II）因 ， 故猜想 因 ，（否则将 代入递推公式会导致矛盾） 故 的等比数列. , EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 解法三： （Ⅰ）由 整理得 （Ⅱ）由 所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 解法四： （Ⅰ）同解法一 （Ⅱ） 从而 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 类型11 或 解法：这种类型一般可转化为 与 是等差或等比数列求解。 例：（I）在数列 中， ，求 （II）在数列 中， ，求 类型12 归纳猜想法 解法：数学归纳法 变式:（2006，全国II,理,22,本小题满分12分）设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通项公式 提示:1 为方程的根,代入方程可得 将n=1和n=2代入上式可得 2 求出 等,可猜想 并用数学归纳法进行证明，本题主要考察 一般数列的通项公式与求和公式间的关系 3 方程的根的意义(根代入方程成立) 4 数学归纳法证明数列的通项公式(也可以把 分开为 ,可得 解：(Ⅰ)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1， 于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝EQ \f(1,2) 当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－EQ \f(1,2)， 于是(a2－EQ \f(1,2))2－a2(a2－EQ \f(1,2))－a2＝0，解得a1＝EQ \f(1,6) (Ⅱ)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，即Sn2－2Sn＋1－anSn＝0 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得 Sn－1Sn－2Sn＋1＝0　①由(Ⅰ)知S1＝a1＝EQ \f(1,2)，S2＝a1＋a2＝EQ \f(1,2)＋EQ \f(1,6)＝EQ \f(2,3) 由①可得S3＝EQ \f(3,4) 由此猜想Sn＝EQ \f(n,n＋1)，n＝1，2，3，… ……8分 下面用数学归纳法证明这个结论 (i)n＝1时已知结论成立 (ii)假设n＝k时结论成立，即Sk＝EQ \f(k,k＋1)， 当n＝k＋1时，由①得Sk＋1＝EQ \f(1,2－S\S\do(k))，即Sk＋1＝EQ \f(k＋1,k＋2)，故n＝k＋1时结论也成立 综上，由(i)、(ii)可知Sn＝EQ \f(n,n＋1)对所有正整数n都成立 　　……10分 于是当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝EQ \f(n,n＋1)－EQ \f(n－1,n)＝EQ \f(1,n(n＋1))， 又n＝1时，a1＝EQ \f(1,2)＝EQ \f(1,1×2)，所以 ｛an｝的通项公式an＝EQ \f(n,n＋1)，n＝1，2，3，… ……12分 本题难度较大,不过计算较易,数列的前面一些项的关系也比较容易发现 类型13双数列型 解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。 例：已知数列 中， ；数列 中， 。当 时， , ，求 , . 解：因 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 所以 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 即 …………（1） 又因为 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 所以 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 …… .即 EMBED Equation.3 ………（2）由（1）、（2）得： ， 类型14周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。 例：若数列 满足 ，若 ，则 的值为___________。 变式:（2005，湖南,文，5） 已知数列 满足 ，则 = （ ） A．0 B． C． D． 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.com _1211343072.unknown _1211795728.unknown _1225821778.unknown _1226150039.unknown _1226150972.unknown _1229336951.unknown _1234568128.unknown _1234568130.unknown _1234568132.unknown _1234568133.unknown _1234568134.unknown _1234568131.unknown _1234568129.unknown _1234568126.unknown _1234568127.unknown _1229336967.unknown _1226151143.unknown _1226151242.unknown _1227272307.unknown _1226151575.unknown _1226151184.unknown _1226151059.unknown _1226151087.unknown _1226151027.unknown _1226150298.unknown _1226150667.unknown _1226150924.unknown _1226150532.unknown _1226150660.unknown _1226150419.unknown _1226150446.unknown _1226150176.unknown _1226150259.unknown _1226150088.unknown _1225824584.unknown _1225824962.unknown _1225889091.unknown _1225889222.unknown _1225993802.unknown _1226150023.unknown _1225889263.unknown _1225889488.unknown _1225889498.unknown _1225889410.unknown _1225889256.unknown _1225889133.unknown 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