高中数学竞赛专题讲座——数列

高考资源网（www.ks5u.com），您身边的高考专家 高中数学竞赛专 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 试题讲座——数列 一、选择题部分 1．（2006年江苏）已知数列的通项公式，则的最大项是（ B ） 2（2006安徽初赛）正数列满足，则 （ ） A、98 B、99 C、100 D、101 3. （2006吉林预赛）对于一个有n项的数列P=(p1，p2，…，pn)，P的“蔡查罗和”定义为s1、s2、…sn、的算术平均值，其中sk=p1+p2+…pk(1≤k≤n)，若数列(p1，p2，…，p2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p1，p2，…，p2006)的“蔡查罗和”为 （ A ） A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 1004 4．(集训试题)已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn-n-6|<的最小整数n是 （ ） A．5 B．6 C．7 D．8 解：由递推式得：3(an+1-1)=-(an-1)，则{an-1}是以8为首项，公比为-的等比数列， ∴Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+…+(an-1)==6-6×(-)n，∴|Sn-n-6|=6×()n<，得：3n-1>250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C。 5．(集训试题)给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=，则= （ ） A．1 B．-1 C．2+ D．-2+ 解：xn+1=，令xn=tanαn，∴xn+1=tan(α​n+), ∴xn+6=xn, x1=1，x2=2+, x3=-2-, x4=-1, x5=-2+, x6=2-, x7=1，……，∴有。故选A。 6、（2006陕西赛区预赛）已知数列的前n项和分别为，记则数列{}的前10项和为 ( C ) A . B. C. D. 7．（2006年浙江省预赛）设为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如。记，，则＝ (A) 20 (B) 4 (C) 42 (D) 145. （ D ） 解： 将记做，于是有 从16开始，是周期为8的周期数列。故 正确 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 为D。 二、填空题部分 1.数列的各项为正数,其前n项和​满足,则=______. 2．（200 6天津）已知都是偶数，且，，若成等差数列，成等比数列，则的值等于 194 ． 3. （2006吉林预赛）如图所示，在杨辉三角中斜线上方的数所组成的数列1，3，6，10，…，记这个数列前n项和为S(n)，则=___________。 4．（2006年江苏）等比数列的首项为，公比．设表示这个数列的前项的积，则当 12 时，有最大值． 5. 在轴的正方向上，从左向右依次取点列 ，以及在第一象限内的抛物线上从左向右依次取点列，使（）都是等边三角形，其中是坐标原点，则第2005个等边三角形的边长是 2005。 【解】：设第n个等边三角形的边长为。则第n个等边三角形的在抛物线上的顶点的坐标为（， ）。 再从第n个等边三角形上，我们可得的纵坐标为 。从而有，即有 。 由此可得 （1） , 以及 （2） （1）－（2）即得 . 变形可得 . 由于，所以 。在（1）式中取n ＝ 1，可得 ，而，故。 因此第2005个等边三角形的边长为 。 6.(2005年浙江)已知数列，满足, 且， 则= 。 【解】：由 ，推出 。因此有 . 即有 。 从而可得 。 7. (2005全国)记集合将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（　　　　） A． B． C．　 D． 解：用表示k位p进制数，将集合M中的每个数乘以，得 中的最大数为。在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400-2004=396。而将此数除以，便得M中的数故选C。 8．（2004 全国）已知数列满足关系式，则的值是_________________________。 解：设 即 故数列是公比为2的等比数列， 。 。 9．（2005四川）设为整数，集合中的数由小到大组成数列：，则　　　131　 　　。 解：∵为整数且，∴最小取2，此时符合条件的数有 ，可在中取，符合条件有的数有 同理，时，符合条件有的数有 时，符合条件有的数有 时，符合条件有的数有 时，符合条件有的数有 因此，是中的最小值，即 三、解答题部分 1．（200 6天津）已知数列满足，，，其中是给定的实数，是正整数，试求的值，使得的值最小． 【解】令，由题设，有，且………5分 于是，即． ∴．　　　（※）　…………………10分 又，，则． ∴当的值最小时，应有，，且． 即，．　…………………… 15分 由（※）式，得 由于，且，解得， ∴当时，的值最小．　　…………………………………………… 20分 2．（2006陕西赛区预赛）(20分)已知,设,记。 (1)求 的表达式; (2)定义正数数列。试求数列的通项公式。. 3．（2006安徽初赛）已知数列满足，对于所有，有，求的通项公式． 4. （2006吉林预赛）设{an}为一个实数数列，a1=t，an+1=4an(1－an)。求有多少个不同的实数t使得a2006=0。 （ 22004+1） 5．（2006年南昌市）将等差数列{}:中所有能被3或5整除的数删去后,剩下的数自小到大排成一个数列{},求的值. 解:由于,故若是3或5的倍数,当且仅当是3或5的倍数. 现将数轴正向分成一系列长为60的区间段:(0,+()＝(0,60]∪(60,120]∪(120,180]∪…,注意第一个区间段中含有{}的项15个,即3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59.其中属于{}的项8个,为:,,,,,,,,于是每个区间段中恰有15个{}的项,8个{}的项,且有,k∈N,1≤r≤8. 由于2006＝8×250+6,而,所以. 6．（2004湖南）设数列满足条件：，且) 求证：对于任何正整数n，都有 证明：令 ,则有 ，且 ， 于是 由算术-几何平均值不等式，可得+ 注意到 ，可知 ，即 7．（2006年上海） 数列定义如下：，且当时， 已知，求正整数n． 解 由题设易知，．又由，可得，当n为偶数时，；当是奇数时，． ………………（4分） 由，所以n为偶数，于是，所以，是奇数． 于是依次可得：， 是偶数，，是奇数， ，是偶数，，是奇数， ，是偶数，，是偶数， ，是奇数， ……………（9分） ，是偶数，，是奇数， ，是偶数， ， 所以，，解得，n＝238． ……………… （14分） 13. (2005全国)数列满足： 证明：（1）对任意为正整数；(2)对任意为完全平方数。 证明：（1）由题设得且严格单调递增.将条件式变形得两边平方整理得　① 　② ①-②得 　③ 由③式及可知，对任意为正整数.…………………………10分 （2）将①两边配方，得④ 由③≡ ∴≡≡0（mod3）∴为正整数 ④式成立.是完全平方数.……………………………………20分 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m � EMBED Equation.3 ��� 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.com _1213968368.unknown